Формулы импульса тела и импульса силы. Импульс тела
Импульс тела
Импульсом тела называется величина, равная произведению массы тела на его скорость.
Следует помнить, что речь идет о теле, которое можно представить как материальную точку. Импульс тела ($р$) называют также количеством движения. Понятие количества движения было введено в физику Рене Декартом (1596—1650). Термин «импульс» появился позже (impulsus в переводе с латинского означает «толчок»). Импульс является векторной величиной (как и скорость) и выражается формулой:
$p↖{→}=mυ↖{→}$
Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением скорости.
За единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой $1$ кг, движущегося со скоростью $1$ м/с, следовательно, единицей импульса является $1$ кг $·$ м/с.
Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила в течение промежутка времени $∆t$, то постоянным будет и ускорение:
$a↖{→}={{υ_2}↖{→}-{υ_1}↖{→}}/{∆t}$
где, ${υ_1}↖{→}$ и ${υ_2}↖{→}$ — начальная и конечная скорости тела. Подставив это значение в выражение второго закона Ньютона, получим:
${m({υ_2}↖{→}-{υ_1}↖{→})}/{∆t}=F↖{→}$
Раскрыв скобки и воспользовавшись выражением для импульса тела, имеем:
${p_2}↖{→}-{p_1}↖{→}=F↖{→}∆t$
Здесь ${p_2}↖{→}-{p_1}↖{→}=∆p↖{→}$ — изменение импульса за время $∆t$. Тогда предыдущее уравнение примет вид:
$∆p↖{→}=F↖{→}∆t$
Выражение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$ представляет собой математическую запись второго закона Ньютона.
Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы . Поэтому изменение импульса точки равно изменению импульса силы, действующей на нее.
Выражение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$ называется уравнением движения тела . Следует заметить, что одно и то же действие — изменение импульса точки — может быть получено малой силой за большой промежуток времени и большой силой за малый промежуток времени.
Импульс системы тел. Закон изменения импульса
Импульсом (количеством движения) механической системы называется вектор, равный сумме импульсов всех материальных точек этой системы:
${p_{сист}}↖{→}={p_1}↖{→}+{p_2}↖{→}+...$
Законы изменения и сохранения импульса являются следствием второго и третьего законов Ньютона.
Рассмотрим систему, состоящую из двух тел. Силы ($F_{12}$ и $F_{21}$ на рисунке, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называются внутренними.
Пусть кроме внутренних сил на систему действуют внешние силы ${F_1}↖{→}$ и ${F_2}↖{→}$. Для каждого тела можно записать уравнение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$. Сложив левые и правые части этих уравнений, получим:
${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_{12}}↖{→}+{F_{21}}↖{→}+{F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$
Согласно третьему закону Ньютона ${F_{12}}↖{→}=-{F_{21}}↖{→}$.
Следовательно,
${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$
В левой части стоит геометрическая сумма изменений импульсов всех тел системы, равная изменению импульса самой системы — ${∆p_{сист}}↖{→}$.С учетом этого равенство ${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$ можно записать:
${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$
где $F↖{→}$ — сумма всех внешних сил, действующих на тело. Полученный результат означает, что импульс системы могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы направлено так же, как суммарная внешняя сила. В этом суть закона изменения импульса механической системы.
Внутренние силы изменить суммарный импульс системы не могут. Они лишь меняют импульсы отдельных тел системы.
Закон сохранения импульса
Из уравнения ${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$ вытекает закон сохранения импульса. Если на систему не действуют никакие внешние силы, то правая часть уравнения ${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$ обращается в ноль, что означает неизменность суммарного импульса системы:
${∆p_{сист}}↖{→}=m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=const$
Система, на которую не действуют никакие внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой.
Закон сохранения импульса гласит:
Суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой.
Полученный результат справедлив для системы, содержащей произвольное число тел. Если сумма внешних сил не равна нулю, но сумма их проекций на какое-то направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление не меняется. Так, например, система тел на поверхности Земли не может считаться замкнутой из-за силы тяжести, действующей на все тела, однако сумма проекций импульсов на горизонтальное направление может оставаться неизменной (при отсутствии трения), т. к. в этом направлении сила тяжести не действует.
Реактивное движение
Рассмотрим примеры, подтверждающие справедливость закона сохранения импульса.
Возьмем детский резиновый шарик, надуем его и отпустим. Мы увидим, что когда воздух начнет выходить из него в одну сторону, сам шарик полетит в другую. Движение шарика является примером реактивного движения. Объясняется оно законом сохранения импульса: суммарный импульс системы «шарик плюс воздух в нем» до истечения воздуха равен нулю; он должен остаться равным нулю и во время движения; поэтому шарик движется в сторону, противоположную направлению истечения струи, и с такой скоростью, что его импульс по модулю равен импульсу воздушной струи.
Реактивным движением называют движение тела, возникающее при отделении от него с какой- либо скоростью некоторой его части. Вследствие закона сохранения импульса направление движения тела при этом противоположно направлению движения отделившейся части.
На принципе реактивного движения основаны полеты ракет. Современная космическая ракета представляет собой очень сложный летательный аппарат. Масса ракеты складывается из массы рабочего тела (т. е. раскаленных газов, образующихся в результате сгорания топлива и выбрасываемых в виде реактивной струи) и конечной, или, как говорят, «сухой» массы ракеты, остающейся после выброса из ракеты рабочего тела.
Когда реактивная газовая струя с большой скоростью выбрасывается из ракеты, сама ракета устремляется в противоположную сторону. Согласно закону сохранения импульса, импульс $m_{p}υ_p$, приобретаемый ракетой, должен быть равен импульсу $m_{газ}·υ_{газ}$ выброшенных газов:
$m_{p}υ_p=m_{газ}·υ_{газ}$
Отсюда следует, что скорость ракеты
$υ_p=({m_{газ}}/{m_p})·υ_{газ}$
Из этой формулы видно, что скорость ракеты тем больше, чем больше скорость выбрасываемых газов и отношение массы рабочего тела (т. е. массы топлива) к конечной («сухой») массе ракеты.
Формула $υ_p=({m_{газ}}/{m_p})·υ_{газ}$ является приближенной. В ней не учитывается, что по мере сгорания топлива масса летящей ракеты становится все меньше и меньше. Точная формула для скорости ракеты была получена в 1897 г. К. Э. Циолковским и носит его имя.
Работа силы
Термин «работа» был введен в физику в 1826 г. французским ученым Ж. Понселе. Если в обыденной жизни работой называют лишь труд человека, то в физике и, в частности, в механике принято считать, что работу совершает сила. Физическую величину работы обычно обозначают буквой $А$.
Работа силы — это мера действия силы, зависящая от ее модуля и направления, а также от перемещения точки приложения силы. Для постоянной силы и прямолинейного перемещения работа определяется равенством:
$A=F|∆r↖{→}|cosα$
где $F$ — сила, действующая на тело, $∆r↖{→}$ — перемещение, $α$ — угол между силой и перемещением.
Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения и косинуса угла между ними, т. е. скалярному произведению векторов $F↖{→}$ и $∆r↖{→}$.
Работа — величина скалярная. Если $α 0$, а если $90°
При действии на тело нескольких сил полная работа (сумма работ всех сил) равна работе результирующей силы.
Единицей работы в СИ является джоуль ($1$ Дж). $1$ Дж — это работа, которую совершает сила в $1$ Н на пути в $1$ м в направлении действия этой силы. Эта единица названа в честь английского ученого Дж. Джоуля (1818-1889): $1$ Дж = $1$ Н $·$ м. Часто применяются также килоджоули и миллиджоули: $1$ кДж $= 1 000$ Дж, $1$ мДж $= 0.001$ Дж.
Работа силы тяжести
Рассмотрим тело, скользящее по наклонной плоскости с углом наклона $α$ и высотой $Н$.
Выразим $∆x$ через $H$ и $α$:
$∆x={H}/{sinα}$
Учитывая, что сила тяжести $F_т=mg$ составляет угол ($90° - α$) с направлением перемещения, используя формулу $∆x={H}/{sin}α$, получим выражение для работы силы тяжести $A_g$:
$A_g=mg·cos(90°-α)·{H}/{sinα}=mgH$
Из этой формулы видно, что работа силы тяжести зависит от высоты и не зависит от угла наклона плоскости.
Отсюда следует, что:
- работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а лишь от начального и конечного положения тела;
- при перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю, т. е. сила тяжести — консервативная сила (консервативными называются силы, обладающие таким свойством).
Работа сил реакции , равна нулю, поскольку сила реакции ($N$) направлена перпендикулярно перемещению $∆x$.
Работа силы трения
Сила трения направлена противоположно перемещению $∆x$ и составляет с ним угол $180°$, поэтому работа силы трения отрицательна:
$A_{тр}=F_{тр}∆x·cos180°=-F_{тр}·∆x$
Так как $F_{тр}=μN, N=mg·cosα, ∆x=l={H}/{sinα},$ то
$A_{тр}=μmgHctgα$
Работа силы упругости
Пусть на нерастянутую пружину длиной $l_0$ действует внешняя сила $F↖{→}$, растягивая ее на $∆l_0=x_0$. В положении $x=x_0F_{упр}=kx_0$. После прекращения действия силы $F↖{→}$ в точке $х_0$ пружина под действием силы $F_{упр}$ сжимается.
Определим работу силы упругости при изменении координаты правого конца пружины от $х_0$ до $х$. Поскольку сила упругости на этом участке изменяется линейно, в законе Гука можно использовать ее среднее значение на этом участке:
$F_{упр.ср.}={kx_0+kx}/{2}={k}/{2}(x_0+x)$
Тогда работа (с учетом того, что направления ${F_{упр.ср.}}↖{→}$ и ${∆x}↖{→}$ совпадают) равна:
$A_{упр}={k}/{2}(x_0+x)(x_0-x)={kx_0^2}/{2}-{kx^2}/{2}$
Можно показать, что вид последней формулы не зависит от угла между ${F_{упр.ср.}}↖{→}$ и ${∆x}↖{→}$. Работа сил упругости зависит лишь от деформаций пружины в начальном и конечном состояниях.
Таким образом, сила упругости, подобно силе тяжести, является консервативной силой.
Мощность силы
Мощность — физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена.
Другими словами, мощность показывает, какая работа совершается за единицу времени (в СИ — за $1$ с).
Мощность определяется формулой:
где $N$ — мощность, $А$ — работа, совершенная за время $∆t$.
Подставив в формулу $N={A}/{∆t}$ вместо работы $A$ ее выражение $A=F|{∆r}↖{→}|cosα$, получим:
$N={F|{∆r}↖{→}|cosα}/{∆t}=Fυcosα$
Мощность равна произведению модулей векторов силы и скорости на косинус угла между этими векторами.
Мощность в системе СИ измеряется в ваттах (Вт). Один ватт ($1$ Вт) — это такая мощность, при которой за $1$ с совершается работа $1$ Дж: $1$ Вт $= 1$ Дж/с.
Эта единица названа в часть английского изобретателя Дж. Ватта (Уатта), построившего первую паровую машину. Сам Дж. Ватт (1736-1819) пользовался другой единицей мощности — лошадиной силой (л. с.), которую он ввел для того, чтобы можно было сравнивать работоспособности паровой машины и лошади: $1$ л.с. $= 735.5$ Вт.
В технике часто применяются более крупные единицы мощности — киловатт и мегаватт: $1$ кВт $= 1000$ Вт, $1$ МВт $= 1000000$ Вт.
Кинетическая энергия. Закон изменения кинетической энергии
Если тело или несколько взаимодействующих между собой тел (система тел) могут совершать работу, то говорят, что они обладают энергией.
Слово «энергия» (от греч. energia — действие, деятельность) нередко употребляется в быту. Так, например, людей, которые могут быстро выполнять работу, называют энергичными, обладающими большой энергией.
Энергия, которой обладает тело вследствие движения, называется кинетической энергией.
Как и в случае определения энергии вообще, о кинетической энергии можно сказать, что кинетическая энергия — это способность движущегося тела совершать работу.
Найдем кинетическую энергию тела массой $m$, движущегося со скоростью $υ$. Поскольку кинетическая энергия — это энергия, обусловленная движением, нулевым состоянием для нее является то состояние, в котором тело покоится. Найдя работу, необходимую для сообщения телу данной скорости, мы найдем его кинетическую энергию.
Для этого подсчитаем работу на участке перемещения $∆r↖{→}$ при совпадении направлений векторов силы $F↖{→}$ и перемещения $∆r↖{→}$. В этом случае работа равна
где $∆x=∆r$
Для движения точки с ускорением $α=const$ выражение для перемещения имеет вид:
$∆x=υ_1t+{at^2}/{2},$
где $υ_1$ — начальная скорость.
Подставив в уравнение $A=F·∆x$ выражение для $∆x$ из $∆x=υ_1t+{at^2}/{2}$ и воспользовавшись вторым законом Ньютона $F=ma$, получим:
$A=ma(υ_1t+{at^2}/{2})={mat}/{2}(2υ_1+at)$
Выразив ускорение через начальную $υ_1$ и конечную $υ_2$ скорости $a={υ_2-υ_1}/{t}$ и подставив в $A=ma(υ_1t+{at^2}/{2})={mat}/{2}(2υ_1+at)$ имеем:
$A={m(υ_2-υ_1)}/{2}·(2υ_1+υ_2-υ_1)$
$A={mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2}$
Приравняв теперь начальную скорость к нулю: $υ_1=0$, получим выражение для кинетической энергии:
$E_K={mυ}/{2}={p^2}/{2m}$
Таким образом, движущееся тело обладает кинетической энергией. Эта энергия равна работе, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость тела от нуля до значения $υ$.
Из $E_K={mυ}/{2}={p^2}/{2m}$ следует, что работа силы по перемещению тела из одного положения в другое равна изменению кинетической энергии:
$A=E_{K_2}-E_{K_1}=∆E_K$
Равенство $A=E_{K_2}-E_{K_1}=∆E_K$ выражает теорему об изменении кинетической энергии.
Изменение кинетической энергии тела (материальной точки) за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за это время силой, действующей на тело.
Потенциальная энергия
Потенциальной энергией называется энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела.
Поскольку энергия определяется как способность тела совершать работу, то потенциальную энергию, естественно, определяют как работу силы, зависящую только от взаимного расположения тел. Таковой является работа силы тяжести $A=mgh_1-mgh_2=mgH$ и работа силы упругости:
$A={kx_0^2}/{2}-{kx^2}/{2}$
Потенциальной энергией тела, взаимодействующего с Землей, называют величину, равную произведению массы $m$ этого тела на ускорение свободного падения $g$ и на высоту $h$ тела над поверхностью Земли:
Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют величину, равную половине произведения коэффициента упругости (жесткости) $k$ тела на квадрат деформации $∆l$:
$E_p={1}/{2}k∆l^2$
Работа консервативных сил (тяжести и упругости) с учетом $E_p=mgh$ и $E_p={1}/{2}k∆l^2$ выражается следующим образом:
$A=E_{p_1}-E_{p_2}=-(E_{p_2}-E_{p_1})=-∆E_p$
Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии.
Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком.
Знак «минус» в правой части уравнения $A=E_{p_1}-E_{p_2}=-(E_{p_2}-E_{p_1})=-∆E_p$ означает, что при совершении работы внутренними силами (например, падение тела на землю под действием силы тяжести в системе «камень — Земля») энергия системы убывает. Работа и изменение потенциальной энергии в системе всегда имеют противоположные знаки.
Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то физический смысл в механике имеет только изменение энергии. Поэтому выбор нулевого уровня энергии произволен и определяется исключительно соображениями удобства, например, простотой записи соответствующих уравнений.
Закон изменения и сохранения механической энергии
Полной механической энергией системы называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий:
Она определяется положением тел (потенциальная энергия) и их скоростью (кинетическая энергия).
Согласно теореме о кинетической энергии,
$E_k-E_{k_1}=A_p+A_{пр},$
где $А_р$ — работа потенциальных сил, $А_{пр}$ — работа непотенциальных сил.
В свою очередь, работа потенциальных сил равна разности потенциальной энергии тела в начальном $Е_{р_1}$ и конечном $Е_р$ состояниях. Учитывая это, получим выражение для закона изменения механической энергии:
$(E_k+E_p)-(E_{k_1}+E_{p_1})=A_{пр}$
где левая часть равенства — изменение полной механической энергии, а правая — работа непотенциальных сил.
Итак, закон изменения механической энергии гласит:
Изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил.
Механическая система, в которой действуют только потенциальные силы, называется консервативной.
В консервативной системе $А_{пр} = 0$. Отсюда следует закон сохранения механической энергии:
В замкнутой консервативной системе полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем):
$E_k+E_p=E_{k_1}+E_{p_1}$
Закон сохранения механической энергии выводится из законов механики Ньютона, которые применимы для системы материальных точек (или макрочастиц).
Однако закон сохранения механической энергии справедлив и для системы микрочастиц, где сами законы Ньютона уже не действуют.
Закон сохранения механической энергии является следствием однородности времени.
Однородность времени состоит в том, что при одинаковых начальных условиях протекание физических процессов не зависит от того, в какой момент времени эти условия созданы.
Закон сохранения полной механической энергии означает, что при изменении кинетической энергии в консервативной системе должна меняться и ее потенциальная энергия, так что их сумма остается постоянной. Это означает возможность превращения одного вида энергии в другой.
В соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю (равную сумме кинетической энергии хаотического движения молекул относительно центра масс тела и потенциальной энергии взаимодействия молекул друг с другом), электромагнитную, химическую (которая складывается из кинетической энергии движения электронов и электрической энергии их взаимодействия друг с другом и с атомными ядрами), ядерную и пр. Из сказанного видно, что деление энергии на разные виды достаточно условно.
Явления природы обычно сопровождаются превращением одного вида энергии в другой. Так, например, трение частей различных механизмов приводит к превращению механической энергии в тепло, т. е. во внутреннюю энергию. В тепловых двигателях, наоборот, происходит превращение внутренней энергии в механическую; в гальванических элементах химическая энергия превращается в электрическую и т. д.
В настоящее время понятие энергии является одним из основных понятий физики. Это понятие неразрывно связано с представлением о превращении одной формы движения в другую.
Вот как в современной физике формулируется понятие энергии:
Энергия — общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы.
Простые механизмы. КПД механизмов
Простыми механизмами называются приспособления, изменяющие величину или направление приложенных к телу сил.
Они применяются для перемещения или подъема больших грузов с помощью небольших усилий. К ним относятся рычаг и его разновидности — блоки (подвижный и неподвижный), ворот, наклонная плоскость и ее разновидности — клин, винт и др.
Рычаг. Правило рычага
Рычаг представляет собой твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной опоры.
Правило рычага гласит:
Рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны их плечам:
${F_2}/{F_1}={l_1}/{l_2}$
Из формулы ${F_2}/{F_1}={l_1}/{l_2}$, применив к ней свойство пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов), можно получить такую формулу:
Но $F_1l_1=M_1$ — момент силы, стремящейся повернуть рычаг по часовой стрелке, а $F_2l_2=M_2$ — момент силы, стремящейся повернуть рычаг против часовой стрелки. Таким образом, $M_1=M_2$, что и требовалось доказать.
Рычаг начал применяться людьми в глубокой древности. С его помощью удавалось поднимать тяжелые каменные плиты при постройке пирамид в Древнем Египте. Без рычага это было бы невозможно. Ведь, например, для возведения пирамиды Хеопса, имеющей высоту $147$ м, было использовано более двух миллионов каменных глыб, самая меньшая из которых имела массу $2.5$ тонн!
В наше время рычаги находят широкое применение как на производстве (например, подъемные краны), так и в быту (ножницы, кусачки, весы).
Неподвижный блок
Действие неподвижного блока аналогично действию рычага с равными плечами: $l_1=l_2=r$. Приложенная сила $F_1$ равна нагрузке $F_2$, и условие равновесия имеет вид:
Неподвижный блок применяют, когда нужно изменить направление силы, не меняя ее величину.
Подвижный блок
Подвижный блок действует аналогично рычагу, плечи которого составляют: $l_2={l_1}/{2}=r$. При этом условие равновесия имеет вид:
где $F_1$ — приложенная сила, $F_2$ — нагрузка. Применение подвижного блока дает выигрыш в силе в два раза.
Полиспаст (система блоков)
Обычный полиспаст состоит из $n$ подвижных и $n$ неподвижных блоков. Его применив дает выигрыш в силе в $2n$ раз:
$F_1={F_2}/{2n}$
Степенной полиспаст состоит из п подвижных и одного неподвижного блока. Применение степенного полиспаста дает выигрыш в силе в $2^n$ раз:
$F_1={F_2}/{2^n}$
Винт
Винт представляет собой наклонную плоскость, навитую на ось.
Условие равновесия сил, действующих на винт, имеет вид:
$F_1={F_2h}/{2πr}=F_2tgα, F_1={F_2h}/{2πR}$
где $F_1$ — внешняя сила, приложенная к винту и действующая на расстоянии $R$ от его оси; $F_2$ — сила, действующая в направлении оси винта; $h$ — шаг винта; $r$ — средний радиус резьбы; $α$ — угол наклона резьбы. $R$ — длина рычага (гаечного ключа), вращающего винт с силой $F_1$.
Коэффициент полезного действия
Коэффициент полезного действия (КПД) — отношение полезной работы ко всей затраченной работе.
Коэффициент полезного действия часто выражают в процентах и обозначают греческой буквой $η$ («эта»):
$η={A_п}/{A_3}·100%$
где $А_п$ — полезная работа, $А_3$ — вся затраченная работа.
Полезная работа всегда составляет лишь часть полной работы, которую затрачивает человек, используя тот или иной механизм.
Часть совершенной работы тратится на преодоление сил трения. Поскольку $А_3 > А_п$, КПД всегда меньше $1$ (или $< 100%$).
Поскольку каждую из работ в этом равенстве можно выразить в виде произведения соответствующей силы на пройденный путь, то его можно переписать так: $F_1s_1≈F_2s_2$.
Отсюда следует, что, выигрывая с помощью механизма в силе, мы во столько же раз проигрываем в пути, и наоборот . Этот закон называют золотым правилом механики.
Золотое правило механики является приближенным законом, так как в нем не учитывается работа по преодолению трения и силы тяжести частей используемых приспособлений. Тем не менее оно бывает очень полезным при анализе работы любого простого механизма.
Так, например, благодаря этому правилу сразу можно сказать, что рабочему, изображенному на рисунке, при двукратном выигрыше в силе подъема груза на $10$ см придется опустить противоположный конец рычага на $20$ см.
Столкновение тел. Упругий и неупругий удары
Законы сохранения импульса и механической энергии применяются для решения задачи о движении тел после столкновения: по известным импульсам и энергиям до столкновения определяются значения этих величин после столкновения. Рассмотрим случаи упругого и неупругого ударов.
Абсолютно неупругим называется удар, после которого тела образуют единое тело, движущееся с определенной скоростью. Задача о скорости последнего решается с помощью закона сохранения импульса системы тел с массами $m_1$ и $m_2$ (если речь идет о двух телах) до и после удара:
$m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=(m_1+m_2)υ↖{→}$
Очевидно, что кинетическая энергия тел при неупругом ударе не сохраняется (например, при ${υ_1}↖{→}=-{υ_2}↖{→}$ и $m_1=m_2$ она становится равной нулю после удара).
Абсолютно упругим называется удар, при котором сохраняется не только сумма импульсов, но и сумма кинетических энергий ударяющихся тел.
Для абсолютно упругого удара справедливы уравнения
$m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=m_1{υ"_1}↖{→}+m_2{υ"_2}↖{→};$
${m_{1}υ_1^2}/{2}+{m_{2}υ_2^2}/{2}={m_1(υ"_1)^2}/{2}+{m_2(υ"_2)^2}/{2}$
где $m_1, m_2$ — массы шаров, $υ_1, υ_2$ —скорости шаров до удара, $υ"_1, υ"_2$ —скорости шаров после удара.
Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.
Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.
Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.
Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара - 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч - 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.
Изменение импульса тела
Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара.
1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры , сила тяжести .
Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола.
2) Изменение импульса 
тела изображено на рисунке
3) Из второго закона Ньютона
Главное запомнить
1) Формулы импульса тела, импульса силы;
2) Направление вектора импульса;
3) Находить изменение импульса тела
Вывод второго закона Ньютона в общем виде
График F(t). Переменная сила
Импульс силы численно равен площади фигуры под графиком F(t).
Если же сила непостоянная во времени, например линейно увеличивается F=kt , то импульс этой силы равен площади треугольника. Можно заменить эту силу такой постоянной силой, которая изменит импульс тела на ту же величину за тот же промежуток времени
Средняя равнодействующая сила
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Тестирование онлайн
Замкнутая система тел
Это система тел, которые взаимодействуют только друг с другом. Нет внешних сил взаимодействия.
В реальном мире такой системы не может быть, нет возможности убрать всякое внешнее взаимодействие. Замкнутая система тел - это физическая модель, как и материальная точка является моделью. Это модель системы тел, которые якобы взаимодействуют только друг с другом, внешние силы не берутся во внимание, ими пренебрегают.
Закон сохранения импульса
В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел не изменяется при взаимодействии тел. Если импульс одного тела увеличился, то это означает, что у какого-то другого тела (или нескольких тел) в этот момент импульс уменьшился ровно на такую же величину.
Рассмотрим такой пример. Девочка и мальчик катаются на коньках. Замкнутая система тел - девочка и мальчик (трением и другими внешними силами пренебрегаем). Девочка стоит на месте, ее импульс равен нулю, так как скорость нулевая (см. формулу импульса тела). После того как мальчик, движущийся с некоторой скоростью, столкнется с девочкой, она тоже начнет двигаться. Теперь ее тело обладает импульсом. Численное значение импульса девочки ровно такое же, на сколько уменьшился после столкновения импульс мальчика.
Одно тело массой 20кг движется со скоростью , второе тело массой 4кг движется в том же направлении со скоростью . Чему равны импульсы каждого тела. Чему равен импульс системы?
Импульс системы тел - это векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. В нашем примере, это сумма двух векторов (так как рассматриваются два тела), которые направлены в одну сторону, поэтому
Сейчас вычислим импульс системы тел из предыдущего примера, если второе тело двигается в обратном направлении.
Так как тела двигаются в противоположных направлениях, получаем векторную сумму импульсов разнонаправленных. Подробнее о сумме векторов .
Главное запомнить
1) Что такое замкнутая система тел;
2) Закон сохранения импульса и его применение
3.2. Импульс
3.2.2. Изменение импульса тела
Для применения законов изменения и сохранения импульса необходимо уметь рассчитывать изменение импульса.
Изменение импульса Δ P → тела определяется формулой
Δ P → = P → 2 − P → 1 ,
где P → 1 = m v → 1 - начальный импульс тела; P → 2 = m v → 2 - его конечный импульс; m - масса тела; v → 1 - начальная скорость тела; v → 2 - его конечная скорость.
Для вычисления изменения импульса тела целесообразно применять следующий алгоритм :
1) выбрать систему координат и найти проекции начального P → 1 и конечного P → 2 импульсов тела на координатные оси:
P 1 x , P 2 x ;
P 1 y , P 2 y ;
∆P x = P 2 x − P 1 x ;
∆P y = P 2 y − P 1 y ;
3) вычислить модуль вектора изменения импульса Δ P → как
Δ P = Δ P x 2 + Δ P y 2 .
Пример 4. Тело падает под углом 30° к вертикали на горизонтальную плоскость. Определить модуль изменения импульса тела за время удара, если к моменту соприкосновения с плоскостью модуль импульса тела равен 15 кг · м/с. Удар тела о плоскость считать абсолютно упругим.
Решение. Тело, падающее на горизонтальную поверхность под некоторым углом α к вертикали и соударяющееся с данной поверхностью абсолютно упруго,
- во-первых, сохраняет неизменным модуль своей скорости, а значит, и величину импульса:
P 1 = P 2 = P ;
- во-вторых, отражается от поверхности под тем же углом, под каким падает на нее:
α 1 = α 2 = α,
где P 1 = mv 1 - модуль импульса тела до удара; P 2 = mv 2 - модуль импульса тела после удара; m - масса тела; v 1 - величина скорости тела до удара; v 2 - величина скорости тела после удара; α 1 - угол падения; α 2 - угол отражения.
Указанные импульсы тела, углы и система координат показаны на рисунке.
Для расчета модуля изменения импульса тела воспользуемся алгоритмом :
1) запишем проекции импульсов до удара и после удара тела о поверхность на координатные оси:
P 1 x = mv sin α, P 2 x = mv sin α;
P 1 y = −mv cos α, P 2 y = mv cos α;
2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам
Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v sin α − m v sin α = 0 ;
Δ P y = P 2 y − P 1 y = m v cos α − (− m v cos α) = 2 m v cos α ;
Δ P = (Δ P x) 2 + (Δ P y) 2 = (Δ P y) 2 = | Δ P y | = 2 m v cos α .
Величина P = mv задана в условии задачи; следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле
Δ P = 2 P cos 30 ° = 2 ⋅ 15 ⋅ 0,5 3 ≈ 26 кг ⋅ м/с.
Пример 5. Камень массой 50 г брошен под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Найти модуль изменения импульса камня за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Если сопротивление воздуха отсутствует, то тело движется по симметричной параболе; при этом
- во-первых, вектор скорости в точке падения тела составляет с горизонтом угол β, равный углу α (α - угол между вектором скорости тела в точке бросания и горизонтом):
- во-вторых, модули скоростей в точке бросания v 0 и в точке падения тела v также одинаковы:
v 0 = v ,
где v 0 - величина скорости тела в точке бросания; v - величина скорости тела в точке падения; α - угол, который составляет вектор скорости с горизонтом в точке бросания тела; β - угол, который составляет с горизонтом вектор скорости в точке падения тела.
Векторы скорости тела (векторы импульса) и углы показаны на рисунке.
Для расчета модуля изменения импульса тела во время полета воспользуемся алгоритмом :
1) запишем проекции импульсов для точки бросания и для точки падения на координатные оси:
P 1 x = mv 0 cos α, P 2 x = mv 0 cos α;
P 1 y = mv 0 sin α, P 2 y = −mv 0 sin α;
2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам
Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v 0 cos α − m v 0 cos α = 0 ;
Δ P y = P 2 y − P 1 y = − m v 0 sin α − m v 0 sin α = − 2 m v 0 sin α ;
3) вычислим модуль изменения импульса как
Δ P = (Δ P x) 2 + (Δ P y) 2 = (Δ P y) 2 = | Δ P y | = 2 m v 0 sin α ,
где m - масса тела; v 0 - модуль начальной скорости тела.
Следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле
Δ P = 2 m v 0 sin 45 ° = 2 ⋅ 50 ⋅ 10 − 3 ⋅ 20 ⋅ 0,5 2 ≈ 1,4 кг ⋅ м/с.
Проделаем несколько несложных преобразований с формулами. По второму закону Ньютона силу можно найти: F=m*a. Ускорение находится следующим образом: a=v⁄t . Таким образом получаем: F=m*v /t.
Определение импульса тела: формула
Выходит, что сила характеризуется изменением произведения массы на скорость во времени. Если обозначить это произведение некой величиной, то мы получим изменение этой величины во времени как характеристику силы. Эту величину назвали импульсом тела. Импульс тела выражается формулой:
где p импульс тела, m масса, v скорость.
Импульс это векторная величина, при этом его направление всегда совпадает с направлением скорости. Единицей импульса является килограмм на метр в секунду (1 кг*м/с).
Что же такое импульс тела: как понять?
Попробуем по-простому, «на пальцах» разобраться, что такое импульс тела. Если тело покоится, то его импульс равен нулю. Логично. Если скорость тела изменяется, то у тела появляется некий импульс, который характеризует величину приложенной к нему силы.
Если воздействие на тело отсутствует, но оно движется с некоторой скоростью, то есть имеет некий импульс, то его импульс означает, какое воздействие способно оказать данное тело при взаимодействии с другим телом.
В формулу импульса входит масса тела и его скорость. То есть чем большей массой и/или скоростью обладает тело, тем большее воздействие оно может оказать. Это понятно и из жизненного опыта.
Чтобы сдвинуть тело небольшой массы, нужна небольшая сила. Чем больше масса тела, тем большее придется приложить усилие. То же самое касается и скорости, которую сообщают телу. В случае же воздействия самого тела на другое, импульс также показывает величину, с которой тело способно действовать на другие тела. Эта величина напрямую зависит от скорости и массы исходного тела.
Импульс при взаимодействии тел
Возникает еще один вопрос: что произойдет с импульсом тела при его взаимодействии с другим телом? Масса тела измениться не может, если оно остается целым, а вот скорость может измениться запросто. При этом скорость тела изменится в зависимости от его массы.
В самом деле, понятно, что при столкновении тел с очень разными массами, скорость их изменится по-разному. Если летящий на большой скорости футбольный мяч врежется в неготового к этому человека, например зрителя, то зритель может упасть, то есть приобретет некоторую небольшую скорость, но точно не полетит как мячик.
А все потому, что масса зрителя намного больше массы мяча. Но при этом сохранится неизменным общий импульс этих двух тел.
Закон сохранения импульса: формула
В этом и заключается закон сохранения импульса: при взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным. Закон сохранения импульса действует только в замкнутой системе, то есть в такой системе, в которой нет воздействия внешних сил или их суммарное действие равно нулю.
В реальности практически всегда на систему тел оказывается стороннее воздействие, но общий импульс, как и энергия, не пропадает в никуда и не возникает из ниоткуда, он распределяется между всеми участниками взаимодействия.
Если на тело массой m за определенный промежуток времени Δ t действует сила F → , тогда следует изменение скорости тела ∆ v → = v 2 → - v 1 → . Получаем, что за время Δ t тело продолжает движение с ускорением:
a → = ∆ v → ∆ t = v 2 → - v 1 → ∆ t .
Основываясь на основном законе динамики, то есть втором законе Ньютона, имеем:
F → = m a → = m v 2 → - v 1 → ∆ t или F → ∆ t = m v 2 → - m v 1 → = m ∆ v → = ∆ m v → .
Определение 1Импульс тела , или количество движения – это физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения.
Импульс тела считается векторной величиной, которая измеряется в килограмм-метр в секунду (к г м / с) .
Определение 2
Импульс силы – это физическая величина, равняющаяся произведению силы на время ее действия.
Импульс относят к векторным величинам. Существует еще одна формулировка определения.
Определение 3
Изменение импульса тела равняется импульсу силы.
При обозначении импульса p → второй закон Ньютона записывается как:
F → ∆ t = ∆ p → .
Данный вид позволяет формулировать второй закон Ньютона. Сила F → является равнодействующей всех сил, действующих на тело. Равенство записывается как проекции на координатные оси вида:
F x Δ t = Δ p x ; F y Δ t = Δ p y ; F z Δ t = Δ p z .
Рисунок 1 . 16 . 1 . Модель импульса тела.
Изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось.
Определение 4
Одномерное движение – это движение тела по одной из координатный осей.
Пример 1
На примере рассмотрим свободное падение тела с начальной скоростью v 0 под действием силы тяжести за промежуток времени t . При направлении оси O Y вертикально вниз импульс силы тяжести F т = mg , действующий за время t , равняется m g t . Такой импульс равняется изменению импульса тела:
F т t = m g t = Δ p = m (v – v 0) , откуда v = v 0 + g t .
Запись совпадает с кинематической формулой определения скорости равноускоренного движения. По модулю сила не изменяется из всего интервала t . Когда она изменяема по величине, тогда формула импульса требует подстановки среднего значения силы F с р из временного промежутка t . Рисунок 1 . 16 . 2 показывает, каким образом определяется импульс силы, которая зависит от времени.
Рисунок 1 . 16 . 2 . Вычисление импульса силы по графику зависимости F (t)
Необходимо выбрать на временной оси интервал Δ t , видно, что сила F (t) практически неизменна. Импульс силы F (t) Δ t за промежуток времени Δ t будет равняться площади заштрихованной фигуры. При разделении временной оси на интервалы на Δ t i на промежутке от от 0 до t , сложить импульсы всех действующих сил из этих промежутков Δ t i , тогда суммарный импульс силы будет равняться площади образования при помощи ступенчатой и временной осей.
Применив предел (Δ t i → 0) , можно найти площадь, которая будет ограничиваться графиком F (t) и осью t . Использование определения импульса силы по графику применимо с любыми законами, где имеются изменяющиеся силы и время. Данное решение ведет к интегрированию функции F (t) из интервала [ 0 ; t ] .
Рисунок 1 . 16 . 2 показывает импульс силы, находящийся на интервале от t 1 = 0 с до t 2 = 10 .
Из формулы получим, что F с р (t 2 - t 1) = 1 2 F m a x (t 2 - t 1) = 100 Н · с = 100 к г · м / с.
То есть, из примера видно F с р = 1 2 F m a x = 10 Н.
Имеются случаи, когда определение средней силы F с р возможно при известных времени и данных о сообщенном импульсе. При сильной ударе по мячу с массой 0 , 415 к г можно сообщить скорость, равную v = 30 м / с. Приблизительным временем удара является значение 8 · 10 – 3 с.
Тогда формула импульса приобретает вид:
p = m v = 12 , 5 к г · м / с.
Чтобы определить среднюю силу F с р во время удара, необходимо F с р = p ∆ t = 1 , 56 · 10 3 Н.
Получили очень большое значение, которое равняется телу массой 160 к г.
Когда движение происходит по криволинейной траектории, то начальное значение p 1 → и конечное
p 2 → могут быть различны по модулю и по направлению. Для определения импульса ∆ p → применяют диаграмму импульсов, где имеются векторы p 1 → и p 2 → , а ∆ p → = p 2 → - p 1 → построен по правилу параллелограмма.
Пример 2
Для примера приводится рисунок 1 . 16 . 2 , где нарисована схема импульсов мяча, отскакивающего от стены. При подаче мяч с массой m со скоростью v 1 → налетает на поверхность под углом α к нормали и отскакивает со скоростью v 2 → с углом β . При ударе в стену мяч подвергался действию силы F → , направленной также, как и вектор ∆ p → .
Рисунок 1 . 16 . 3 . Отскакивание мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов.
Если происходит нормальное падение мяча с массой m на упругую поверхность со скоростью v 1 → = v → , тогда при отскоке она изменится на v 2 → = - v → . Значит, за определенный промежуток времени импульс изменится и будет равен ∆ p → = - 2 m v → . Используя проекции на О Х, результат запишется как Δ p x = – 2 m v x . Из рисунка 1 . 16 . 3 видно, что ось О Х направлена от стенки, тогда следует v x < 0 и Δ p x > 0 . Из формулы получим, что модуль Δ p связан с модулем скорости, который принимает вид Δ p = 2 m v .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
