Тема урока: Изображение отношений с помощью графа. Сравнение

26.04.2024 | Химия

Человек может рассказать не только о свойствах объекта, но и об отношениях , в которых этот объект находится с другими объектами .
Например:
«Иван - сын Андрея»;
«Эверест выше Эльбруса»;
«Винни Пух дружит с Пятачком»;
«21 кратно 3»;
«Кострома такой же старинный город, как и Москва»;
«Текстовый процессор входит в состав программного обеспечения компьютера».

В каждом из приведенных предложений выделено имя отношения, которое обозначает характер связи между двумя объектами.

Отношения могут существовать не только между двумя объектами, но и между объектом и множеством объектов, например:
«Дискета является носителем информации»;
«Камчатка - это полуостров (является полуостровом)».

В каждом из этих предложений описано отношение «является элементом множества» .

Отношение может связывать два множества объектов, например:
«Колеса входят в состав автомобилей»;
«Бабочки - это насекомые (являются разновидностью насекомых)».

Попарно связаны одним и тем же отношением могут быть несколько объектов. Соответствующее словесное описание может оказаться очень длинным, и тогда в нем трудно разобраться.

Пусть про населенные пункты А, Б, В, Г, Д и Е известно, что некоторые из них соединены железной дорогой: населенный пункт А соединен железной дорогой с населенными пунктами В, Г и Е, населенный пункт Е - с населенными пунктами В, Г и Д .

Для большей наглядности имеющиеся связи («соединен железной дорогой») можно изобразить линиями на схеме отношений. Объекты на схеме отношений могут быть изображены кругами, овалами, точками, прямоугольниками и т. д. (рис. 1.2).

Имена некоторых отношений изменяются, когда меняются местами имена объектов, например : «выше» - «ниже», «приходится отцом» - «приходится сыном». В этом случае направление отношения обозначают стрелкой на схеме отношений.

Так, на рис. 1.3 каждая стрелка направлена от отца к его сыну и поэтому отражает отношение «приходится отцом», а не «приходится сыном». Например: «Андрей приходится отцом Ивану».

Стрелки можно не использовать, если удается сформулировать и соблюсти правило взаимного расположения объектов на схеме. Например , если на рис. 1.3 имена детей всегда располагать ниже имени их отца, то можно обойтись без стрелок.

Такие отношения , как «приходится сыном», «соединен железной дорогой», «покупает», «лечит» и т. д. , могут связывать только объекты некоторых видов . А в отношениях «входит в состав» и «является разновидностью» могут находиться любые объекты .

Коротко о главном

В сообщении об объекте могут быть приведены не только свойства данного объекта, но и отношения, которые связывают его с другими объектами. Имя отношения обозначает характер этой связи. Отношения могут связывать не только два объекта, но и объект с множеством объектов или два множества.

Любые отношения между объектами можно наглядно описать с помощью схемы отношений . Объекты на схеме отношений могут быть изображены кругами, овалами, точками, прямоугольниками и т. д. Связи между объектами могут быть изображены линиями или стрелками.

Вопросы и задания

1. Назовите имя отношения в каждом приведенном предложении. Какое имя можно будет дать отношению, если имена объектов в предложении поменять местами? В каких парах имя отношения при этом не изменится?
а) Колобок поет песню Лисе.
б) Конек-Горбунок помогает Ивану.
в) В Москве есть Манежная площадь.
г) Пилюлькин лечит Сиропчика.
д) Страшила путешествует вместе с Элл и.

2. Для каждой пары объектов укажите соответствующее отношение.

3. Какую связь отражает каждая схема отношений на рис. 1.4-1.8? Выберите правильный ответ из следующих вариантов:
«является разновидностью»;
«входит в состав»;
«является условием (причиной)»;
«предшествует».

Разновидности объектов и их классификация

Из двух множеств , связанных отношением «является разновидностью» , одно является подмножеством другого . Например, множество попугаев является подмножеством множества птиц, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел.

Схему отношения «является разновидностью» мы будем называть схемой разновидностей (рис. 1.9). Такие схемы используются в учебниках, каталогах и энциклопедиях для описания самых разных объектов, например растений, животных, сложных предложений, транспортных средств и т. д.

На схеме разновидностей имя подмножества всегда располагается ниже имени включающего его множества.

Объекты подмножества обязательно обладают всеми признаками объектов множества (наследуют признаки множества) и кроме них имеют еще свой, дополнительный признак (или несколько признаков). Этим дополнительным признаком может быть свойство или действие. Например, любое домашнее животное нужно кормить, собаки, кроме того, лают и кусаются, а ездовые собаки, кроме того, еще и бегают в упряжке.

Важно понимать , что сами по себе объекты не делятся ни на какие множества и подмножества . Например , арбузу совершенно «безразлично», относят его к семейству тыквенных растений, к подмножеству полосатых или шарообразных объектов. Подмножества объектов выделяет и обозначает человек, потому что ему так удобнее усваивать и передавать информацию. Дело в том, что человек одновременно может концентрировать свое внимание лишь на 5-9 объектах. Для упрощения работы с множеством объектов его делят на несколько частей; каждую из этих частей опять делят на части; те, в свою очередь, еще раз и т. д. Деление большого множества на подмножества происходит не стихийно, а по некоторым признакам его объектов.

Подмножество объектов, имеющих общие признаки, называется классом . Деление множества объектов на классы называется классификацией . Признаки, по которым один класс отличается от другого, называются основанием классификации.

Классификация называется естественной, если в качестве ее основания взяты существенные признаки объектов. Примером естественной классификации является классификация живых существ, предложенная Карлом Линнеем (1735 г.). В настоящее время ученые разделяют множество всех живых существ на пять основных царств: растения, грибы, животные, простейшие и прокариоты. Каждое царство разделено на уровни - систематические единицы. Высший уровень называется типом. Каждый тип делится на классы, классы - на отряды, отряды - на семейства, семейства - на роды, а роды - на виды.

Классификация называется искусственной , если в качестве ее основания взяты несущественные признаки объектов. К искусственным классификациям относятся вспомогательные классификации (алфавитно-предметные указатели, именные каталоги в библиотеках). Пример искусственной классификации - деление множества звезд на небе на созвездия, проводившееся по признакам, которые к самим звездам не имели никакого отношения.

Можно предложить следующую классификацию объектов, с которыми взаимодействует пользователь в операционной системе Windows (рис. 1.10).

Коротко о главном

Схема разновидностей - это схема отношений «является разновидностью» между множествами и подмножествами объектов.

У объектов подмножества есть дополнительные признаки, кроме тех, которые есть у объектов множества, включающего данное подмножество.

Подмножество объектов, имеющих общие признаки, называется классом. Деление множества объектов на классы называется классификацией. Признаки, по которым один класс отличается от другого, называются осно¬ванием классификации.

Вопросы и задания

1. Для каждого из указанных подмножеств назовите множество, с которым оно связано отношением «является разновидностью» (назовите общее имя, отвечающее на вопрос «Что это такое?»):
а) местоимение;
б) запятая;
в) джойстик;
г) параллелограмм;
д) ратуша;
е) басня;
ж) капилляр.

2. Найдите в списке шесть пар множеств, между которыми существуют отношения «является разновидностью». Определите в каждой такой паре имя подмножества. Назовите для него хотя бы одно дополнительное свойство:
книга;
бензин;
врач;
молоко;
строитель;
учебник;
жидкость;
справочник;
человек.

3. Выберите из списка имена девяти множеств, связанных отношениями «является разновидностью». Составьте схему разновидностей:
яблоня;
хвойное дерево;
сосна;
пихта;
дерево;
лиственное дерево;
яблоко;
ствол;
фруктовое дерево;
береза;
дуб;
лиственница;
корень;
желудь.

4. Используя предложенную классификацию паралле-лограммов, опишите свойства квадрата, наследующего их сразу у двух предков - прямоугольника и ромба. Какими дополнительными свойствами обладает квадрат:
а) по отношению к прямоугольнику;
б) по отношению к ромбу?

5. В каждом пункте перечислены объекты, сгруппированные по классам. Например: стол, компьютер, лук / корова, ручка, кастрюля / село, знамя, перо - это существительные, классифицированные по родам. Определите основания классификаций:
а) ель, сосна, кедр, пихта / береза, осина, липа, тополь;
б) картофель, лук, огурцы, помидоры / яблоки, апельсины, груши, мандарины;
в) рожь, тишь, ложь, рысь / пшеница, тишина, истина, кошка;
г) рубашка, пиджак, платье, сарафан / пальто, шуба, плащ, штормовка;
д) волк, медведь, лиса, лось / корова, собака, кошка, лошадь.

6. Предложите свою классификацию компьютерных объектов «файл» и «документ».

Практическая работа №2
«Работаем с объектами файловой системы»

1. Откройте окно Мой компьютер . Просмотрите файлы и папки, расположенные на диске С: .

2. Воспользуйтесь кнопками Вперед и Назад на панели инструментов Обычные кнопки для перемещения между ранее просмотренными объектами.

3. Выберите в меню Вид команды: Эскизы страниц, Плитка, Значки, Таблица. Проследите за изменениями в отображении папок и файлов. Найдите на панели инструментов Обычные кнопки кнопку, обеспечивающую быстрое изменение вида содержимого папок.

4. С помощью кнопки Папки отобразите в левой части окна панель Обозревателя Папки . С ее помощью еще раз просмотрите файлы и папки, расположенные на диске С: . Проследите за изменениями, происходящими в правой части окна.

5. С помощью кнопки Поиск найдите собственную папку - папку, в которой хранятся ваши работы. Для этого в окне Помощника по поиску щелкните на ссылке Файлы и папки . В соответствующих полях укажите имя папки и область поиска.

6. Откройте собственную папку. В ней должны быть вложенные папки Документы, Заготовки_6, Заготовки_7, Презентации и Рисунки. Просмотрите содержимое этих папок.

7. Папка Заготовки_6 содержит файлы, которыми вы пользовались при выполнении работ компьютерного практикума в пошлом году. Так как эта папка вам больше не нужна, удалите ее (например, командой контекстного меню).

8. Папки Документы, Презентации и Рисунки содержат ваши прошлогодние работы. Их хотелось бы сохранить.

Создайте в собственной папке папку Архив. Для этого переведите указатель мыши в чистую область окна собственной папки и щелкните правой кнопкой мыши (вызов контекстного меню). Выполните команду [Создать-Папку] .

Поочередно переместите папки Документы, Презентации и Рисунки в папку Архив. Для этого:
1) выделите папку Документы и, удерживая нажатой левую кнопку мыши, перетащите папку Документы в нанку Архив;
2) откройте контекстное меню панки Презентации, выполните команду Вырезать. Откройте папку Архив и с помощью контекстного меню вставьте в нее папку Презентации;
3) вырежьте папку Рисунки и вставьте ее в папку Архив с помощью команд строки меню.

9. С помощью контекстного меню переименуйте папку Заготовки_7 в Заготовки.

10. Убедитесь, что ваша папка имеет структуру, аналогичную приведенной ниже:

Стоянии одной единицы слева и справа от данного числа. После этого дети легко назовут искомые числа: для 7 - это будут чис ла 6 и 8, для 11 - это 10 и 12 и т. д. Упражнение 24. Задача с недостающим данным: неизвест но, сколько марок наклеивали на каждый конверт. Для опреде ленности будем считать, что на каждый конверт наклеивали од ну марку. Р е ш е н и е: 12 – 6 = 6. Упражнение 27. Напоминаем, что пока задача решается без использования вычитания. Рассуждаем так: «На рисунке составлены пары «морковка - редиска». 7 редисок без пар оста лось. Это значит, что редисок на 7 больше, чем морковок, а морковок на 7 меньше, чем редисок». Можно рассуждать и так: «Для составления всех пар не хватило 7 морковок. Это значит, что морковок на 7 меньше, чем редисок». Полезно, чтобы уче ники сами дали такие пояснения. Рабочая тетрадь № 1 Упражнение 3. По данному рисунку легко составить следу ющую задачу: «На верхней полке 5 чашек, на средней - 6, а на нижней столько чашек, сколько их на верхней и средней полках вместе. Сколько чашек на нижней полке?» Решение очевидно. Упражнение 6. В каждом случае нужно изобразить стрел кой машину, обратную данной, а затем выполнить необходи мые вычисления. Упражнение 7. Используйте данное упражнение для разви тия речи детей. Пусть они расскажут, какие действия и в какой последовательности будут выполнять: «Возьмем линейку, при ложим нулевой штрих (штрих с числом 0) к левому концу отрез ка (точке, изображенной слева) и повернем линейку так, чтобы она была под правым концом отрезка. Теперь карандашом про ведем отрезок и узнаем его длину. Второй конец отрезка распо ложен около штриха с числом 6. Следовательно, длина отрезка равна 6 см. Число 6 запишем в рамке». Можно иначе рассуждать: «Приложим к точкам линейку так, чтобы левый конец отрезка был у нулевого штриха линейки. Проведем отрезок и прочитаем число, написанное у правого его конца. Длина отрезка - 6 см». Упражнение 8. Задание занимательного характера. Пред ложите детям самостоятельно догадаться и рассказать, как его выполнить. О т в е т: синус. 81 Упражнение 11. Текст задачи дан с предметной нагляд ностью, что существенно облегчит выбор действия. В данном случае для ответа на вопрос надо просто пересчитать все изоб раженные на рисунке орехи. Их 4 и 8: (4 + 8), всего 12. Упражнение 12. Эта задача потруднее предыдущей. Ее мож но легко решить, если выложить фишки. Итак, выкладываем 12 фишек (каждая фишка означает открытку, которая была у Юры). У Юры осталось 5 открыток (отсчитаем слева или справа 5 фишек и отодвинем их в сторону). Юле он подарил 7 открыток (12 без 5). Р е ш е н и е: 12 – 5 = 7. О т в е т: 7. Упражнение 14 служит для развития графических умений. Это задание выполняется учащимися самостоятельно. Упражнение 17. Для многих детей задача может оказаться трудной. Поэтому работу над ней можно провести так. Прочи тав полностью текст, обратите внимание на вопрос. «В вопросе есть слова «На сколько меньше...». Ответ на такой вопрос мы находили, изображая фишки в две строки, составляя пары. Прочитаем еще раз вопрос: «На сколько меньше конфет стало в вазе?» Что для этого нужно знать? Сколько в вазе было конфет и сколько их взяли. Сколько конфет взяли - найти легко: 4 и 6. А вот сколько их было - неизвестно. Давайте подумаем: надо ли нам знать, сколько конфет было в вазе? Нет, не нужно. Ведь в вазе стало меньше конфет на столько, сколько их взяли. Сколько же взяли, каким действием узнать? (Сложением.) Какие числа сложить? (4 и 6). Запишем решение: 4 + 6 = 10. О т в е т: на 10». Упражнение 18. Задача аналогична предыдущей. Отличие в том, что в данном случае количество воды в бочке увеличилось на столько ведер, сколько их налили в бочку, т. е. на 11 (6 + 5 = 11). Упражнение 21. Точки можно отмечать и на концах сторон, т. е. в вершинах треугольника. Например: а) б) в) Упражнение 22. На рисунке уже изображены 4 вершины четырехугольника. Предложите учащимся рассказать, как надо 82 правильно его начертить. Они должны сказать, что нужно взять линейку и с ее помощью соединить точки по порядку от резками. Затем раскрасить четырехугольник. Тема 4. Сравнение чисел Понятия «больше» и «меньше», связанные с чис лами, встречались в курсе и раньше. Однако теперь наиболее пристальное внимание уделяется теоретической подготовке де тей. На уроках 32–34 учащиеся будут учиться сравнивать числа двумя способами. Первый связан с местом числа в натуральном ряду: чем раньше называют число при счете, тем оно меньше, и чем позже, тем оно больше. Второй способ связан с расположе нием чисел на шкале линейки: чем левее число на шкале, тем оно меньше; чем правее, тем больше. На заметку учителю Знаки « < » и « > » для записи результатов сравнения чисел не вводятся в первом классе. Вместо них используются цветные стрелки: красная заменяет слово «больше», а синяя - «меньше». Можно сравнивать не только два, но и более чисел. В результате получаются рисунки, называемые в математике графами. Высказывания о числах, связанных отношениями «меньше» и «больше», изображают с помощью цветных стрелок так: с. кр. 9 12 10 6 9 меньше 12 10 больше 6 С помощью графов с цветными стрелками можно изобра жать и другие отношения, например, такие: «Платье дороже блузки», «Миша моложе Коли», «Карандаш длиннее ручки». При этом целесообразно договориться о том, чтобы синие стрелки заменяли по смыслу сходные слова со словом меньше: моложе, короче, дешевле, ниже, ближе и т. д., а красные - слова, сходные по смыслу со словом больше: старше, длиннее, дороже, выше, дальше и т. п. 83 Например: К к. с. с. П Б М С с. Платье дороже блузки. Миша моложе Коли, Коля моложе Сережи, Миша моложе Сережи. Вспомним математику Каждую стрелку, соединяющую две точки графа, называют его ребром, а каждую точку - вершиной. На рисунке представлен граф, имеющий 4 вершины и 6 ребер (синие стрелки означают «меньше»): 3 с. с. с. 1 с. 5 с. с. 8 Ребро может иметь вид петли, если изображается отноше ние «равно» или сходное с ним отношение по смыслу: «такой же длины (ширины, высоты, цены)» и пр. На графе изображе но отношение «меньше или равно» между числами 10, 15, 20 и граф «равно» между числами 1, 3, 8, 5. Граф «равно» состоит из одних петель. с. 10 15 3 с. с. 20 1 8 5 Используя понятие графа, можно решать интересные и со держательные задачи. Например: «На графе данного отношения изображены не все ребра (надо изобразить недостающие)», «Определить по данному графу, какое отношение изображено (определить цвет стрелок)» и т. д. Примеры таких задач вы най дете в рабочей тетради № 2. 84 На уроках 32–34 сравниваются числа и изображения отно шений с помощью графов; на уроках 35, 36 учащиеся знакомятся с правилом разностного сравнения и учатся его применять для решения задач, содержащих вопрос: «На сколько больше (мень ше)?..»; на уроках 37–39 решаются задачи на нахождение числа, большего или меньшего данного числа на несколько единиц. Правила сравнения чисел (уроки 32, 33) Как ввести новый материал Материал учебника делится на два урока: на первом выпол няются упражнения 1–7, а на втором - 8–14. Вначале рассмотрите рисунок в учебнике на с. 62 (упр. 1) . На нем представлена следующая ситуация: рабочий идет вдоль железнодорожного полотна и пишет на столбах по порядку числа (прочитайте их с учащимися вслух). Далее задавайте во просы, сформулированные в тексте; после того как дети ответят на них, прочитайте правило. Это правило им не нужно дословно запоминать. Аналогичную работу проведите с упражнением 8 на с. 63 учебника. Как работать с упражнениями Учебник Упражнения 2, 3. Рекомендуемая форма ответа: «Девятнад цать больше тринадцати, так как при счете девятнадцать называ ют позже тринадцати», «Одиннадцать меньше четырнадцати, так как при счете одиннадцать называют раньше четырнадца ти». Обращайте внимание на правильное склонение учащимися числительных. Упражнение 5. Нередко объясняя, почему одних предме тов больше, чем других (в данном случае синих шариков боль ше, чем красных), ребенок говорит: «Синих шариков больше, чем красных, так как при счете число 4 называют позже, чем число 3». Это обоснование относится совсем к другому вопро су: «Почему 4 больше 3?» Поэтому точным ответом следует счи тать такой: «Синих шариков больше, чем красных, так как 4 больше 3». Если вы потом захотите спросить учащихся, а поче 85 му 4 больше 3, тогда уместен тот ответ, который мы привели выше: «4 больше 3, так как при счете 4 называют позже, чем 3». Упражнение 8. В этом упражнении дан второй способ срав нения чисел с помощью шкалы линейки. Здесь дети впервые знакомятся с тем фактом, что нуль меньше любого другого чис ла, а любое другое число больше нуля. Упражнение 12. При ответе на вопросы учащиеся пересчи тывают буквы и сравнивают числа. Упражнение 13. Нередко в качестве самого большого числа ученики называют то, которое они знают: десять, сто, тысячу, миллион или какое нибудь иное число, а самым маленьким счи тают 1. И то, и другое неверно. Сначала выслушайте ответы и, если надо, скорректируйте их. Поясните, что самого большого числа нет: какое бы большое число они ни назвали, к этому числу можно прибавить 1 и получить большее число. Самым малень ким числом для первоклассников пока является число 0 (нуль). Рабочая тетрадь № 2 Упражнение 2. Предупредите учащихся, что, выполняя за дание: «Выпиши числа, которые больше 10 (меньше 20)», по своему усмотрению нужно выбрать лишь по три числа и запи сать их в окошках. Упражнение 3. Профессии людей: агроном, врач, учитель, строитель, маляр. Упражнение 5. О т в е т: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Всего 6 чисел. Изображение отношений с помощью графов (урок 34) Как ввести новый материал Начните с краткого рассказа. «Сравнивая два предмета по размерам, мы можем определить, какой из них больше, мень ше, выше, ниже, длиннее, короче. Предметы можно сравни вать по их цене, т. е. узнавать, какой из них дороже или де шевле другого. Мы сравнивали числа, узнавали, какое из них больше или меньше другого, результаты сравнения выражали словами. Получались предложения (в математике их называют высказываниями). Например: «Юра по росту выше Коли», 86 «Зонтик дешевле плаща», «Три меньше шести», «Восемь боль ше нуля». Сегодня вы научитесь кратко записывать такие высказывания. Давайте договоримся вместо слов больше, выше, старше, длиннее рисовать красную стрелку, а вместо слов мень ше, ниже, моложе, короче - синюю. Посмотрите на классную доску. На ней кратко записано несколько верных высказыва ний о числах. Синяя стрелка заменяет слово меньше, а крас ная - больше: с. с. к. к. 5 7 9 6 10 5 2 8 Давайте прочитаем каждое из этих высказываний. При этом будем помнить, что, читая высказывание, сначала назы ваем то число, от которого идет стрелка, потом, двигаясь по стрелке, произносим слово («больше» или «меньше»), а затем называем число, к которому идет стрелка. Давайте попробу ем прочитать первое высказывание: какое число называем первым (пять), какое слово произносим («меньше»), какое число называем вторым (семь). Что получается? (Пять мень ше семи.) Теперь самостоятельно прочитайте остальные высказывания». Как работать с упражнениями Учебник Упражнение 1. Вопрос учащимся: «Какое слово заменяет красная стрелка, синяя стрелка?» Прочитайте слова над стрел ками. Прочитаем предложение (высказывание) о парах пред метов. Сначала об арбузе и яблоке. Помните, сначала называем предмет, от которого идет стрелка, затем произносим слово больше, наконец называем предмет, к которому подходит стрелка. Кто сможет прочитать высказывание? (Арбуз больше яблока.) Теперь второе высказывание - о цыпленке и медведе. (Цыпле нок меньше медведя.)» Упражнение 2. На рисунках изображены высказывания: «Стакан выше чашки», «Береза ниже ели». Упражнение 3 (тренировочного характера). Учащимся дается задание прочитать каждое высказывание, помня о том, что синяя стрелка означает слово меньше, а красная - больше. Обратите их внимание на последний рисунок, на котором 87 изображены две стрелки. Читаем высказывания: «Восемь боль ше шести», «Десять больше четырех». На заметку учителю Нередко, читая высказывание типа «8 меньше 10», изображен с. ного с помощью графа 8 10 , дети читают и «обратное» отношение: «10 больше 8». Но оно на данном графе не изображено, поэтому читать его не нужно. Упражнение 4. Объясните учащимся, что в каждом из за даний: «Прочитать высказывания» сравниваются попарно три числа: 1 и 3, 3 и 8, 1 и 8 сначала в отношении «меньше», затем в отношении «больше». Обратите их внимание на то, что рисун ки отличаются цветом и направлением стрелок. Читаем выска зывания: «Один меньше трех», «Три меньше восьми», «Один меньше восьми»; «Три больше одного», «Восемь больше трех», «Восемь больше одного». Упражнения 5, 8 и 9 решаются с использованием фишек, которые раскладываются в два ряда (строки) одна под другой. Эти упражнения включены в данный урок в качестве подгото вительных для следующих двух уроков. Упражнение 7. На каждом рисунке изображены два отноше ния - «больше» и «меньше». На первом рисунке: «12 меньше 18», «18 больше 12». На втором рисунке высказывания можно по разному читать, но при этом полезно выбрать какой нибудь порядок. Например, прочитать сначала все высказывания, изображенные с помощью синих стрелок, потом все высказы вания, изображенные с помощью красных стрелок, а можно читать высказывания парами (0 меньше 1, 1 больше 0 и т. д.). Рабочая тетрадь № 2 Упражнения 1, 2. На рисунках предметы представлены па рами. Чтобы у всех детей получились одинаковые рисунки, до говоритесь с ними сравнивать предметы, нарисованные слева, с предметами, нарисованными справа, используя при этом стрелки соответствующего цвета. Таким образом, стрелки бу дут идти в направлении слева направо (от точки до точки). Итак, учащиеся должны провести красную стрелку от масленка к белому грибу, синюю стрелку от маленькой рыбки к большой, 88 красную стрелку от круга сыра к маленькому куску сыра. Читать высказывания не надо. В упражнении 2 после проведения всех стрелок предложи те детям прочитать высказывания о предметах, которые полу чились. Например: «Ваза выше свечи», «Курица ниже страуса». Упражнение 3. Прежде чем выполнять рисунки, предложи те учащимся объяснить, от какого числа к какому пойдет стрел ка и какого она будет цвета. Например, читаем высказывание «6 больше 3». Проводим красную стрелку от 6 к 3. В последнем случае около точек надо написать и числа: слева - 11, справа - 6. Упражнения 4–6. Детям необходимо сказать о том, что на рисунках изображены верные высказывания о числах. Нужно определить цвет стрелок и нарисовать их по штриховым лини ям цветными карандашами. Покажем рассуждения на одном примере. На рисунке стрелка идет от 18 к 9, 18 больше 9, следо вательно, стрелка должна быть красного цвета. Рисуем ее. Упражнение 9. В данном случае попарно сравниваются чис ла, причем везде стрелки идут от меньших чисел к бо´льшим. Значит, все стрелки - синие. Недостает стрелки, идущей от 0 к 2 (0 меньше 2). Упражнение 10. Данные числа можно сравнивать как в отно шении «больше», так и в отношении «меньше». Для определенно сти выберите одно из этих отношений и предложите учащимся провести все стрелки. Их три. Можно выполнить работу по ва риантам: одни учащиеся проводят все синие стрелки, сравнивая числа в отношении «меньше», а другие - все красные стрелки, сравнивая числа в отношении «больше». Упражнение 11. Стрелки на рисунке должны означать сло во «больше». Недостающие стрелки, которые надо провести: от 4 к 3, от 4 к 1, от 3 к 2, от 3 к 1. Всего на рисунке должно быть 6 стрелок. Применение вычитания для сравнения двух чисел (уроки 35, 36) Как ввести новый материал К введению правила сравнения двух чисел с помощью вычитания дети практически уже готовы, так как раньше они выполняли достаточное число упражнений, узнавая, на сколь 89 ко одних предметов больше или меньше, чем других. При этом использовались фишки. Теперь учащиеся будут это узнавать, используя действие вычитания из большего числа меньшее. Рассматриваем рисунок в учебнике на с. 67 (упр. 1) . Ставим вопрос: «На сколько коробок больше, чем шариков?» На рисунке составлены пары: коробка - шарик. Для составления всех пар не хватило трех шариков, три коробки - лишние. Это значит, что коробок на 3 больше, чем шариков, а шариков на 3 меньше, чем коробок. Можно сказать так: «Шариков столько же, сколько коробок, без трех». Число 3 можно определить и без рисунка. Для этого нужно из числа коробок вычесть число шариков. Выполнив несколько тренировочных упражнений, вве дите на следующем уроке правило, которое сформулировано в учебнике на с. 68. Как работать с упражнениями Учебник Упражнения 2, 3. Обе задачи сначала решите с помощью фишек, раскладывая их парами, потом используйте действие вычитания. Записи: 10 – 6 = 4 и 12 – 5 = 7 - выполните на дос ке и в тетрадях. Упражнение 5. Учитель изображает рисунок на доске, а дети - в своих тетрадях. 16 17 18 В ходе этой работы введите понятия «граф», «вершина графа», «ребро графа». Упражнение 8 предназначено для тренировки учащихся в использовании правила сравнения чисел. Р е к о м е н д у е м а я м е т о д и к а. Задаем вопросы: «Как узнать, на сколько 3 меньше 5? (Чтобы узнать, на сколько одно число меньше другого, надо из большего числа вычесть мень шее.) Назовите большее число (5), меньшее число (3). Какое действие выполняем? (Вычитание.) Из какого числа вычтем какое число? (Из 5 вычтем 3.) Сколько получится? (2.)» Первые несколько примеров решите с подробным разбором. В дальней 90

I Организационный момент

II Актуализация знаний. Устный счёт.

· Сосчитайте до 20 и обратно.

· Сосчитайте от 11 до 19.

· Сосчитайте от 16 до 7.

· Какое число на 2 единицы левее 15?

· Какие 2 числа идут за числом 18?

· «Заблудились» числа. Найдите эти числа и восстановите порядок.

· Назовите числа данного ряда а) большие 17; б) меньшие 7.

· Как определить по шкале число больше или меньше данного?

· Какое число при счёте называют раньше: большее ил меньшее?

· Какое число больше: 5 или 6? Почему?

· Какое число меньше 32 или 23? Почему?

Итог: - Я вижу, что вы запомнили, как сравнивать числа.

III Подводящий диалог.

Умеете ли вы сравнивать предметы по размерам? Какими словами для этого пользуетесь?

А какими словами вы пользуетесь, если сравниваете предметы по высоте?

А если сравниваете предметы по длине?

Когда мы сравниваем что-либо, мы произносим предложения или высказывания. Н-р: «Серёжа выше Коли», «Учебник дороже тетради».

Попробуйте составить высказывание с заданным словом «дешевле».

А со словом «моложе»?

Что вы сейчас составили?

А как называются эти предложения на языке математики?

IV Сообщение темы урока.

Сегодня вы научитесь изображать высказывания графически.

V Проблемный вопрос.

Как вы думаете, чем можно заменить слова «меньше» и «больше»?

VI Открытие новых знаний

Проверим ваши предположения. (Снять и перевернуть аншлаги: больше, выше, длиннее, тяжелее – на обороте граф красного цвета. Аналогично с аншлагами меньше, ниже, короче, легче – граф синего цвета).

Вывод: - Итак, чтобы обозначить слова больше, выше, длиннее, тяжелее, мы используем граф красного цвета, а чтобы обозначить слова меньше, ниже, короче, легче - граф синего цвета.

Работа по учебнику стр. 90-91№1.Составим первое предложение.

Помните: сначала называем предмет, от которого идёт стрелка затем произносим слово, которое написано над стрелкой, и называем предмет, к которому подходит стрелка.

Кто прочитает первое высказывание

Чтение вывода

VII Работа по учебнику. Тренировочные упражнения.

С.91, № 2 - 3.

IX Работа в тетради. Упражнения в графическом изображении отношений.

С. 60-61, № 1 – 3

Итог: - Как графически изобразить слово «больше»? А слово «меньше»?

X Повторение и закрепление изученного.

Работа в тетради №3 № 6.

Как удобнее сложить числа 3 и 9?

Какое правило знаете?

Пометьте «галочкой» примеры, которые надо решать, опираясь на это правило.

Работа по учебнику.

Стр. 93 №9 (работа с геометрическим материалом).

Расскажите, как мы измеряем отрезки? Какой отрезок самый длинный? Какой самый короткий?

Сравните длину зелёного и синего отрезков. Какой стрелочкой мы обозначим это отношение?

Стр. 93 №10(работа с таблицей)

Найдите ответы на вопросы, используя данные таблицы.

Стр. 94 №18

Как мы будем рассуждать, решая эту задачу?

Отношение 11 больше 10 изобразить графически.

XI Итог урока.

Что нового узнали на уроке?

Какие задания понравились?

Урок математики

Тема: Решение задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз (урок обобщения и систематизации знаний)

Цели: создание условий для развития умения решать задачи на нахождение числа большего или меньшего данного в несколько раз

УУД:

Познавательные:

общеучебные –

правильно выбирать арифметическое действие (умножение или деление) для решения задач на нахождение числа, большего или меньшего данного числа в несколько раз;

называть результаты всех табличных случаев умножения и деления, а также сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания;

выполнять устно и письменно сложение и вычитание чисел в переделах 100;

определять арифметические действия для решения разнообразных текстовых задач;

осуществлять самоконтроль правильности вычислений

логические –

построение рассуждений в форме связи простых суждений;

находить разные способы решения задач;

оценивать предлагаемое решение задачи и обосновывать свою оценку.

Регулятивные:

учитывать правило в планировании и контроле способа решения.

Коммуникативные:

учитывать разные мнения и стремиться к координации разных позиций в сотрудничестве.

Личностные:

расширяют познавательные интересы, учебные мотивы;

умеют работать в паре;

понимают значение границ собственного знания и «незнания».

Оборудование:

диск «ЭОР к учебнику М.И. Моро. Математика 2 класс»;

карточки для рефлексии;

карточки для индивидуальной работы, для работы в парах и группах.

Ход урока

I . Мотивирование к учебной деятельности

Цель: включение обучающихся в деятельность на личностно-значимом уровне: «Хочу, потому что могу».

Приём рефлексии «Одним словом»: учащимся необходимо выбрать 3 слова из 12, которые наиболее точно передают их состояние в начале урока, а затем в конце:

II . Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии

Цель: повторение изученного материала и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

Индивидуально:

Изобрази стрелками отношения больше между данными числами. Составь высказывания о каждой паре чисел.

12 . . 23

Один ученик на карточке, другой у доски (с обратной стороны) с взаимопроверкой:

Исправь ошибки:

63: 9 = 8 (7) 3 ∙ 6 = 18 (5 + 4) ∙ 2 = 16 (18)

8 ∙ 6 = 54 (48) 45: 5 = 8 (9) 4 ∙ (8 ∙ 0) = 4 (0)

7 ∙ 4 = 28 27: 3 = 7 (9) 56: (7 ∙ 1) = 8

Устный счёт

1. На сколько 15 > 5 (на 10)

Во сколько раз 15 > 5 (в 3 раза)

- Как узнать, на сколько единиц одно число больше или меньше другого? (Во сколько раз?)

Составьте вопросы, используя числа 7 и 28 и слово «меньше».

2. Вставьте пропущенные числа и знаки действий:

5 * □ = 15 (+ 10; ∙ 3) 40 * □ = 5 (: 8; - 35)

9 * □ = 9 (+ 0; - 0; : 1; ∙ 1) 28 * □ = 0 (- 28; ∙ 0)

3. Чему равна седьмая часть числа 63; пятая часть числа 35? (9; 7)

Восьмая часть числа равна 8. Найди это число. (64)

Девятая часть числа равна 2. Найди это число. (18)

4. Пирожок стоит 6 рублей, а булочка на 3 рубля дороже. Сколько денег надо заплатить за булочку? (9 рублей) *Мама купила по 2 булочки с маком и творогом и один пирожок. Сколько денег заплатила мама? (42 рубля) *Мама расплатилась купюрой в 50 рублей. Сколько сдачи получила мама? (8 рублей) А если мама расплатится купюрой в 100 рублей? (58 рублей)

5*. Говорят, что точка В лежит на линии между точками А и С, если двигаясь по этой линии из А в С (или из С в А) мы обязательно пройдём через точку В. Эта ситуация показана на рисунке 1.

Проведи через точки М, К, Р, показанные на рисунке 2, линию так, чтобы точка Р лежала на ней между точками М и К.

Что такое высказывание? Какие высказывания о парах чисел ты составил(а)?

III . Включение в систему знаний и повторение

Звучит 1-й куплет песни «То ли ещё будет…»

Как могут быть связаны наш урок и эта песня? (Возможно, мы будем решать очень трудные задачи. Тема нашего урока: «Решение задач»…)

Зачем нужно уметь решать задачи? Как в жизни вам это может пригодиться?

Сегодня у нас обобщающий урок. Какие знания нам понадобятся? (Мы должны знать, что значит увеличить и уменьшить число в несколько раз. Как сравнивать числа. Таблицу умножения и деления…)

За компьютером:

Числа от 1 до 100. Умножение и деление

Задачи на нахождение произведения

Задание 1; задание 2

Периметр прямоугольника

Задание 2

1. Фронтальная работа: решение задачи с лишними данными; изменение вопроса – тетрадь с. 36 № 7.

2. Работа в парах (на карточках)

Запиши выражения и найди их значение:

Сумму чисел 20 и 12 уменьши в 4 раза ( 20 + 12) : 4 = 8

Разность чисел 11 и 9 увеличь в 8 раз (11 – 9) ∙ 8 = 16

Произведение 5 и 8 уменьши на 4 5 ∙ 8 – 4 = 36

На сколько сумма чисел 6 и 3 больше частного этих же чисел?

(6 + 3) – (6: 3) = 9 – 2 = 7

Проверка по картинкам зрительно-сигнальных сюжетов: учащиеся составляют выражения, находят ответ на картинках и выкладывают перед собой нужную фигуру.

Что объединяет эти фигуры? (Это многоугольники; плоские фигуры)

В группе (Полина, Коля, Лера, Саша М.) работают по карточке:

1) 60: 30 = 2 (раза)

2) 6: 2 = 3

Ответ: 3 кг.

2. Самостоятельное решение задач разного уровня сложности (задачи записаны разным цветом на одной карточке)

1 вариант:

На стоянке 45 легковых автомобилей, а грузовых в 9 раз меньше. Сколько грузовых машин на стоянке?

На стоянке 45 легковых автомобилей, а грузовых в 9 раз меньше. Сколько грузовых и легковых машин на стоянке?

В столовую привезли 64 кг капусты, а свёклы в а раз меньше. Сколько килограммов свёклы привезли в столовую?

Сколько всего овощей привезли в столовую?

Составь выражения для решения данной задачи.

2 вариант:

В одном ящике было 5 кг груш, а в другом в 8 раз больше. Сколько килограммов груш во втором ящике?

В одном ящике было 5 кг груш, а в другом в 8 раз больше. Сколько килограммов груш в двух ящиках?

В одном ящике было 5 кг груш, а в другом в а раз больше. Четвёртую часть всех груш выдали детям. Сколько груш выдали детям?

Составь выражение для решения данной задачи.

Проверка только задач высокого уровня: учащиеся записывают выражения на доске.

Вы хотите помочь кандидату наук? Помогите составить задачу, которая решается выражением: 4 ∙ а – 4

(Мама купила 4 пирожка с творогом, а с повидлом в а раз больше. На сколько больше пирожков купила мама с повидлом, чем с творогом?

Мама купила 4 пирожка с творогом, а с повидлом в а раз больше. Съели 4 пирожка с повидлом. Сколько пирожков с повидлом осталось?)

IV . Домашнее задание по выбору учащихся

(54 – 46) · 5 (8 · 3 + 4 · 4) : 4

(15 + 6) : 3 (6 · 4 – 9) : 5 · 8: 4

(25 + 7) : 4 (28: 7 + 52) : 8 · 7

71 – 15: 3 28: (7 – 3) + 81: 9

Задача высокого уровня:

Имеется прямоугольник, длина которого 8 см, а ширина 2 см. Нужно уменьшить длину и увеличить ширину этого прямоугольника, чтобы получился квадрат, периметр которого равен периметру данного прямоугольника. В какой из этих фигур уместится больше квадратов со стороной 1 см?

Когда отцу было 30 лет, сыну было 5. Теперь отец старше сына в два раза. Сколько теперь лет отцу и сыну?

V . Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог)

Заполнение таблицы «Одним словом»

Цель: осознание учащимися своей УД (учебной деятельности), самооценка результатов деятельности своей и всего класса.

Продолжите предложения:

Я понял, что…

Было интересно…

Было трудно…

Мне захотелось…

У меня получилось…

Исправь ошибки:

63: 9 = 8 3 ∙ 6 = 18 (5 + 4) ∙ 2 = 16

8 ∙ 6 = 54 45: 5 = 8 4 ∙ (8 ∙ 0) = 4

7 ∙ 4 = 28 27: 3 = 7 56: (7 ∙ 1) = 8

12 . . 23

За 6 кг картофеля заплатили 60 рублей. Сколько килограммов картофеля можно купить на 30 рублей?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рассмотри и оцени (верно или неверно) такой способ решения задачи:

1) 60: 30 = 2 (раза)

2) 6: 2 = 3

Ответ: 3 кг.

1736 год, г.Кёнигсберг. Через город протекает река Прегеля. В городе - семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке выше. С давних времен жители Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках - проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.

Разрешить проблему удалось знаменитому математику Леонарду Эйлеру. Причем, он решил не только эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. При решении задачи о Кенигсбергских мостах Эйлер поступил следующим образом: он "сжал" сушу в точки, а мосты "вытянул" в линии. Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют ГРАФОМ .

Граф – это совокупность непустого множества вершин и связей между вершинами. Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами.

Виды графов:

1. Ориентированный граф (кратко орграф ) - рёбрам которого присвоено направление.

2. Неориентированный граф - это граф , в котором нет направления линий.

3. Взвешенный граф – дуги или ребра имеют вес (дополнительная информация).

Решение задач с помощью графов:

Задача 1.

Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиями.

Задача 2.

На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому.

Решение:

Вершины графа - это деревья, обозначенный первой буквой названия дерева. В данной задача два отношения: “быть ниже” и “быть выше”. Рассмотрим отношение “быть ниже” и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф, на котором видно, что самое низкое дерево – клен, затем идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Задача 3.

У Наташи есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

Решение: