Sensul fizic al derivatului. Semnificaţia geometrică a derivatei Derivată a semnificaţiei unei funcţii

Rezumatul unei lecții deschise a unui profesor de la GBPOU „Colegiul Pedagogic nr. 4 din Sankt Petersburg”

Martușevici Tatiana Olegovna

Data: 29.12.2014.

Tema: Sensul geometric al derivatelor.

Tip de lecție: învăţarea de materiale noi.

Metode de predare: vizual, parțial de căutare.

Scopul lecției.

Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați care este semnificația geometrică a derivatei, deduceți ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți.

Obiective educaționale:

Realizarea unei înțelegeri a semnificației geometrice a derivatei; derivarea ecuației tangentei; invata sa rezolvi problemele de baza;

furnizați repetarea materialului pe tema „Definiția unei derivate”;

creaza conditii pentru controlul (autocontrolul) cunostintelor si deprinderilor.

Sarcini de dezvoltare:

promovează formarea deprinderilor de aplicare a tehnicilor de comparare, generalizare și evidențiere a principalului lucru;

continua dezvoltarea orizonturilor matematice, gândirii și vorbirii, atenției și memoriei.

Sarcini educaționale:

promovarea interesului pentru matematică;

educarea activității, mobilitate, abilități de comunicare.

Tipul de lecție – o lecție combinată folosind TIC.

Echipamente – instalare multimedia, prezentareMicrosoftPuterePunct.

Etapa lecției

Timp

Activitățile profesorului

Activitatea elevilor

1. Moment organizatoric.

Prezentați subiectul și scopul lecției.

Tema: Sensul geometric al derivatelor.

Scopul lecției.

Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați care este semnificația geometrică a derivatei, deduceți ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți.

Pregătirea elevilor pentru lucrul la clasă.

Pregătirea pentru lucru la clasă.

Înțelegerea temei și a scopului lecției.

Luarea de note.

2. Pregătirea pentru învățarea de materiale noi prin repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază.

Organizarea repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază: definirea derivatului și formularea semnificației sale fizice.

Formularea definiției unui derivat și formularea semnificației sale fizice. Repetarea, actualizarea și consolidarea cunoștințelor de bază.

Organizarea repetarii si dezvoltarea deprinderii de a gasi derivata unei functii de putere si functii elementare.

Găsirea derivatei acestor funcții folosind formule.

Repetarea proprietăților unei funcții liniare.

Repetarea, percepția desenelor și a afirmațiilor profesorului

3. Lucrul cu material nou: explicație.

Explicația semnificației relației dintre creșterea funcției și creșterea argumentului

Explicația semnificației geometrice a derivatei.

Introducerea de material nou prin explicații verbale folosind imagini și suporturi vizuale: prezentare multimedia cu animație.

Percepția explicației, înțelegerea, răspunsurile la întrebările profesorului.

Formularea unei întrebări către profesor în caz de dificultate.

Percepția informațiilor noi, înțelegerea și înțelegerea lor primară.

Formularea de întrebări către profesor în caz de dificultate.

Crearea unei note.

Formularea sensului geometric al derivatei.

Examinarea a trei cazuri.

Luarea de note, realizarea de desene.

4. Lucrul cu material nou.

Înțelegerea și aplicarea primară a materialului studiat, consolidarea acestuia.

În ce puncte este derivata pozitivă?

Negativ?

Egal cu zero?

Instruire în găsirea unui algoritm pentru răspunsuri la întrebările puse conform unui program.

Înțelegerea, înțelegerea și aplicarea informațiilor noi pentru a rezolva o problemă.

5. Înțelegerea și aplicarea primară a materialului studiat, consolidarea acestuia.

Mesajul condițiilor sarcinii.

Înregistrarea condițiilor sarcinii.

Formularea unei întrebări către profesor în caz de dificultate

6. Aplicarea cunoștințelor: muncă independentă cu caracter didactic.

Rezolvați singur problema:

Aplicarea cunoștințelor dobândite.

Lucru independent de rezolvare a problemei găsirii derivatei dintr-un desen. Discutarea și verificarea răspunsurilor în perechi, formularea unei întrebări către profesor în caz de dificultate.

7. Lucrul cu material nou: explicație.

Deducerea ecuației unei tangente la graficul unei funcții într-un punct.

O explicație detaliată a derivării ecuației unei tangente la graficul unei funcții într-un punct, folosind o prezentare multimedia pentru claritate și răspunsuri la întrebările elevilor.

Derivarea ecuației tangentei împreună cu profesorul. Răspunsuri la întrebările profesorului.

Luarea de note, crearea unui desen.

8. Lucrul cu material nou: explicație.

Într-un dialog cu studenții, derivarea unui algoritm pentru găsirea ecuației unei tangente la graficul unei funcții date la un punct dat.

Într-un dialog cu profesorul, deduceți un algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la graficul unei funcții date la un punct dat.

Luarea de note.

Mesajul condițiilor sarcinii.

Instruire în aplicarea cunoștințelor dobândite.

Organizarea căutării modalităților de rezolvare a unei probleme și implementarea acestora. analiza detaliată a soluției cu explicație.

Înregistrarea condițiilor sarcinii.

Efectuarea de ipoteze cu privire la modalitățile posibile de rezolvare a problemei atunci când implementează fiecare element al planului de acțiune. Rezolvarea problemei împreună cu profesorul.

Înregistrarea soluției la problemă și a răspunsului.

9. Aplicarea cunoștințelor: muncă independentă cu caracter didactic.

Control individual. Consultanță și asistență studenților la nevoie.

Verificați și explicați soluția folosind o prezentare.

Aplicarea cunoștințelor dobândite.

Lucru independent de rezolvare a problemei găsirii derivatei dintr-un desen. Discutarea și verificarea răspunsurilor în perechi, formularea unei întrebări către profesor în caz de dificultate

10. Tema pentru acasă.

§48, problemele 1 și 3, înțelegeți soluția și notați-o într-un caiet, cu desene.

№ 860 (2,4,6,8),

Mesaj cu teme cu comentarii.

Înregistrarea temelor.

11. Rezumând.

Am repetat definiția derivatei; sensul fizic al derivatului; proprietățile unei funcții liniare.

Am învățat care este semnificația geometrică a unei derivate.

Am învățat cum să derivăm ecuația unei tangente la graficul unei funcții date la un punct dat.

Corectarea și clarificarea rezultatelor lecției.

Enumerarea rezultatelor lecției.

12. Reflecție.

1. Ați găsit lecția: a) ușoară; b) de obicei; c) dificil.

a) l-am stăpânit complet, îl pot aplica;

b) l-au învățat, dar le este greu de aplicat;

c) nu am inteles.

3. Prezentare multimedia în clasă:

a) a ajutat la stăpânirea materialului; b) nu a ajutat la stăpânirea materialului;

c) a interferat cu asimilarea materialului.

Conducerea reflecției.

Obiectivele lecției:

Elevii ar trebui să știe:

• ceea ce se numește panta unei drepte;
• unghiul dintre linia dreaptă și axa Ox;
• care este sensul geometric al derivatului;
• ecuația tangentei la graficul unei funcții;
• o metodă pentru construirea unei tangente la o parabolă;
• să fie capabil să aplice cunoștințele teoretice în practică.

Obiectivele lecției:

Educațional: creați condiții pentru ca elevii să stăpânească un sistem de cunoștințe, abilități și abilități cu conceptele de semnificație mecanică și geometrică a unei derivate.

Educațional: pentru a forma o viziune științifică asupra lumii la elevi.

Dezvoltare: pentru a dezvolta interesul cognitiv, creativitatea, voința, memoria, vorbirea, atenția, imaginația, percepția elevilor.

Metode de organizare a activităților educaționale și cognitive:

• vizual;
• practic;
• prin activitate mentală: inductivă;
• după asimilarea materialului: căutare parțială, reproductivă;
• după gradul de independență: lucru de laborator;
• stimulare: încurajare;
• control: sondaj frontal oral.

Planul lecției

1. Exerciții orale (găsește derivatul)
2. Mesajul elevului pe tema „Motive pentru apariția analizei matematice”.
3. Învățarea de materiale noi
4. Fiz. Doar un minut.
5. Rezolvarea sarcinilor.
6. Lucrări de laborator.
7. Rezumând lecția.
8. Comentând temele.

Echipament: proiector multimedia (prezentare), carduri (lucru de laborator).

În timpul orelor

„O persoană realizează ceva doar atunci când crede în forțele sale”

L. Feuerbach

I. Moment organizatoric.

Organizarea clasei pe toată durata lecției, pregătirea elevilor pentru lecție, ordinea și disciplina.

Stabilirea obiectivelor de învățare pentru elevi, atât pentru întreaga lecție, cât și pentru etapele sale individuale.

Determinați semnificația materialului studiat atât în ​​această temă, cât și în întregul curs.

Numărarea verbală

1. Găsiți derivate:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Test logic.

a) Introduceți expresia lipsă.

5x 3 -6x	15x 2 -6	30x
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

II. Mesajul elevului pe tema „Motive pentru apariția analizei matematice”.

Direcția generală a dezvoltării științei este determinată în cele din urmă de cerințele practicării activității umane. Existența statelor antice cu un sistem complex de management ierarhic ar fi fost imposibilă fără dezvoltarea suficientă a aritmeticii și algebrei, deoarece colectarea taxelor, organizarea proviziilor armatei, construirea de palate și piramide și crearea sistemelor de irigații necesitau calcule complexe. În timpul Renașterii, legăturile dintre diferite părți ale lumii medievale s-au extins, s-au dezvoltat comerțul și meșteșugurile. Începe o creștere rapidă a nivelului tehnic de producție, iar noi surse de energie care nu sunt asociate cu eforturile musculare ale oamenilor sau animalelor sunt utilizate industrial. În secolele XI-XII au apărut mașinile de plin și de țesut, iar la mijlocul secolului XV - o tipografie. Datorită necesității dezvoltării rapide a producției sociale în această perioadă, esența științelor naturii, care fuseseră descriptive încă din cele mai vechi timpuri, s-a schimbat. Scopul științei naturii este un studiu aprofundat al proceselor naturale, nu al obiectelor. Matematica, care funcționa cu cantități constante, corespundea științei naturii descriptive a antichității. A fost necesar să se creeze un aparat matematic care să descrie nu rezultatul procesului, ci natura fluxului său și tiparele sale inerente. Ca urmare, până la sfârșitul secolului al XII-lea, Newton în Anglia și Leibniz în Germania au finalizat prima etapă de creare a analizei matematice. Ce este „analiza matematică”? Cum se pot caracteriza și prezice caracteristicile oricărui proces? Folosiți aceste caracteristici? Pentru a pătrunde mai adânc în esența unui anumit fenomen?

III. Învățarea de materiale noi.

Să urmăm calea lui Newton și Leibniz și să vedem cum putem analiza procesul, considerându-l în funcție de timp.

Să introducem câteva concepte care ne vor ajuta în continuare.

Graficul funcției liniare y=kx+ b este o dreaptă, se numește numărul k panta dreptei. k=tg, unde este unghiul dreptei, adică unghiul dintre această dreaptă și direcția pozitivă a axei Ox.

Poza 1

Se consideră graficul funcției y=f(x). Să desenăm o secantă prin oricare două puncte, de exemplu, secanta AM. (Fig.2)

Coeficientul unghiular al secantei k=tg. Într-un triunghi dreptunghic AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Figura 2

Figura 3

Termenul „viteză” în sine caracterizează dependența unei modificări a unei cantități de o modificare a alteia, iar aceasta din urmă nu trebuie să fie neapărat timp.

Deci, tangenta unghiului de înclinare a secantei tg = .

Suntem interesați de dependența modificărilor cantităților pe o perioadă mai scurtă de timp. Să direcționăm incrementul argumentului la zero. Atunci partea dreaptă a formulei este derivata funcției din punctul A (explicați de ce). Dacă x -> 0, atunci punctul M se deplasează de-a lungul graficului până la punctul A, ceea ce înseamnă că linia dreaptă AM se apropie de o linie dreaptă AB, care este tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul A. (Fig.3)

Unghiul de înclinare al secantei tinde spre unghiul de înclinare al tangentei.

Sensul geometric al derivatei este că valoarea derivatei într-un punct este egală cu panta tangentei la graficul funcției din punct.

Sensul mecanic al derivatului.

Tangenta unghiului tangentei este o valoare care arată viteza instantanee de modificare a funcției la un punct dat, adică o nouă caracteristică a procesului studiat. Leibniz a numit această cantitate derivat, iar Newton a spus că derivata în sine se numește instantanee viteză.

IV. Minut de educație fizică.

V. Rezolvarea problemelor.

Nr. 91(1) pagina 91 – arată pe tablă.

Coeficientul unghiular al tangentei la curba f(x) = x 3 în punctul x 0 – 1 este valoarea derivatei acestei funcții la x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

Nr 91 (3,5) – dictare.

Nr. 92(1) – pe tablă dacă se dorește.

Nr. 92 (3) – independent de testarea orală.

Nr.92 (5) – la consiliu.

Răspunsuri: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

VI. Lucrări de laborator.

Scop: dezvoltarea conceptului de „semnificație mecanică a unui derivat”.

Aplicații ale derivatelor în mecanică.

Este dată legea mișcării rectilinie a punctului x = x(t), t.

1. Viteza medie de mișcare pe o anumită perioadă de timp;
2. Viteza și accelerația la momentul t 04
3. Momente de oprire; dacă punctul, după oprire, continuă să se miște în aceeași direcție sau începe să se miște în direcția opusă;
4. Cea mai mare viteză de mișcare într-o anumită perioadă de timp.

Munca se desfășoară în funcție de 12 opțiuni, sarcinile sunt diferențiate în funcție de nivelul de dificultate (prima opțiune este cel mai scăzut nivel de dificultate).

Înainte de a începe lucrul, o conversație pe următoarele întrebări:

1. Care este semnificația fizică a derivatei deplasării? (Viteză).
2. Este posibil să găsim derivata vitezei? Este această cantitate folosită în fizică? Ceea ce este numit? (Accelerare).
3. Viteza instantanee este zero. Ce se poate spune despre mișcarea corpului în acest moment? (Acesta este momentul opririi).
4. Care este sensul fizic al următoarelor afirmații: derivata mișcării este egală cu zero în punctul t 0; derivata își schimbă semnul la trecerea prin punctul t 0? (Corpul se oprește; direcția de mișcare se schimbă în sens invers).

O mostră de lucrări ale elevilor.

x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Figura 4

În sens invers.

Să desenăm o diagramă schematică a vitezei. Cea mai mare viteză este atinsă la punct

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Figura 5

VII. Rezumând lecția

1) Care este semnificația geometrică a derivatei?
2) Care este sensul mecanic al unei derivate?
3) Trageți o concluzie despre munca dvs.

VIII. Comentând temele.

Pagina 90. Nr. 91(2,4,6), Nr.92(2,4,6,), p. 92 Nr. 112.

Cărți uzate

• Manual de algebră și începuturile analizei.
  Autori: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
  Editat de A. B. Jizhchenko.
• Algebră clasa a XI-a. Planuri de lecție bazate pe manualul de Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov. Partea 1.
• Resurse de internet: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Derivata functiei f (x) in punctul x0 este limita (daca exista) a raportului dintre incrementul functiei in punctul x0 si incrementul argumentului Δx, daca incrementul argumentului tinde sa zero și se notează cu f '(x0). Acțiunea de a găsi derivata unei funcții se numește diferențiere.
Derivata unei functii are urmatoarea semnificatie fizica: derivata unei functii intr-un punct dat este rata de schimbare a functiei intr-un punct dat.

Sensul geometric al derivatului. Derivata in punctul x0 este egala cu panta tangentei la graficul functiei y=f(x) in acest punct.

Sensul fizic al derivatului. Dacă un punct se mișcă de-a lungul axei x și coordonatele lui se modifică conform legii x(t), atunci viteza instantanee a punctului este:

Conceptul de diferenţial, proprietăţile sale. Reguli de diferențiere. Exemple.

Definiție. Diferenţialul unei funcţii la un anumit punct x este partea principală, liniară a incrementului funcţiei. Diferenţiala funcţiei y = f(x) este egală cu produsul derivatei sale şi incrementul variabilei independente x ( argument).

Este scris astfel:

sau

Sau


Proprietăți diferențiale
Diferenţialul are proprietăţi similare cu cele ale derivatei:





LA regulile de bază de diferențiere include:
1) plasarea unui factor constant în afara semnului derivatei
2) derivata unei sume, derivata unei diferente
3) derivată a produsului de funcții
4) derivată a câtului a două funcții (derivată a unei fracții)

Exemple.
Să demonstrăm formula: Prin definiția derivatei avem:

Un factor arbitrar poate fi luat dincolo de semnul trecerii la limită (acest lucru este cunoscut din proprietățile limitei), prin urmare

De exemplu: Aflați derivata unei funcții
Soluţie: Să folosim regula plasării multiplicatorului în afara semnului derivatei :

Destul de des este necesar să se simplifice mai întâi forma funcției diferențiabile pentru a utiliza tabelul de derivate și regulile de găsire a derivatelor. Următoarele exemple confirmă clar acest lucru.

Formule de diferențiere. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative. Exemple.

Utilizarea unei diferenţiale în calculele aproximative vă permite să utilizaţi o diferenţială pentru a aproxima valorile unei funcţii.
Exemple.
Folosind diferența, calculați aproximativ
Pentru a calcula această valoare, aplicăm formula din teorie
Să introducem o funcție în considerare și să reprezentăm valoarea dată în formă
atunci hai să calculăm

Înlocuind totul în formulă, obținem în sfârșit
Răspuns:

16. Regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor de forma 0/0 sau ∞/∞. Exemple.
Limita raportului dintre două cantități infinit de mici sau două cantități infinit de mari este egală cu limita raportului dintre derivatele lor.

1)

17. Funcția crescătoare și descrescătoare. Extremul funcției. Algoritm pentru studierea unei funcții pentru monotonitate și extremum. Exemple.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale acestui interval conectate prin relația , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul acesteia merge de jos în sus. Funcția de demonstrație crește pe interval

La fel, funcția scade pe un interval dacă pentru oricare două puncte dintr-un interval dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul acesteia merge „de sus în jos”. Al nostru scade la intervale scade la intervale .

Extreme Un punct se numește punctul maxim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim maximul funcției si noteaza .
Un punct se numește punctul minim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim functie minima si noteaza .
Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.
Punctele minime și maxime sunt numite puncte extreme, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite extreme ale funcției.

Pentru a explora funcția la monotonie, utilizați următoarea schemă:
- Găsiți domeniul de definire al funcției;
- Aflați derivata funcției și domeniul de definiție al derivatei;
- Aflați zerourile derivatei, i.e. valoarea argumentului la care derivata este egală cu zero;
- Pe linia numerică, marcați partea comună a domeniului de definire a funcției și domeniul de definire a derivatei sale, iar pe ea - zerourile derivatei;
- Să se determine semnele derivatei pe fiecare dintre intervalele rezultate;
- Folosind semnele derivatei, determinați la ce intervale funcția crește și pe care descrește;
- Scrieți intervalele adecvate separate prin punct și virgulă.

Algoritm pentru studierea funcției continue y = f(x) pentru monotonitate și extreme:
1) Aflați derivata f ′(x).
2) Găsiți punctele staționare (f ′(x) = 0) și critice (f ′(x) nu există) ale funcției y = f(x).
3) Marcați punctele staționare și critice pe dreapta numerică și determinați semnele derivatei pe intervalele rezultate.
4) Trageți concluzii despre monotonitatea funcției și punctele sale extreme.

18. Convexitatea funcției. Puncte de inflexiune. Algoritm pentru studierea unei funcții pentru convexitate (concavitate) Exemple.

convex în jos pe intervalul X dacă graficul său este situat nu mai jos decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Funcția de diferențiat se numește convex în sus pe intervalul X dacă graficul său nu este situat mai sus decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Se numește formula punctului punctul de inflexiune al graficului funcția y=f(x), dacă într-un punct dat există o tangentă la graficul funcției (poate fi paralelă cu axa Oy) și există o astfel de vecinătate a punctului formulei în care se află la stânga și la dreapta al punctului M graficul funcţiei are diferite direcţii de convexitate.

Găsirea intervalelor pentru convexitate:

Dacă funcția y=f(x) are o derivată secundă finită pe intervalul X și dacă inegalitatea este valabilă (), atunci graficul funcției are o convexitate îndreptată în jos (în sus) la X.
Această teoremă vă permite să găsiți intervalele de concavitate și convexitate ale unei funcții; trebuie doar să rezolvați inegalitățile și, respectiv, pe domeniul de definiție al funcției originale.

Exemplu: Aflați intervalele pe care graficul funcției Aflați intervalele pe care se află graficul funcției are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos. are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos.
Soluţie: Domeniul de definire al acestei funcții este întregul set de numere reale.
Să găsim derivata a doua.

Domeniul de definiție al derivatei a doua coincide cu domeniul de definire al funcției originale, prin urmare, pentru a afla intervalele de concavitate și convexitate, este suficient să rezolvi și în consecință. Prin urmare, funcția este convexă în jos pe formula intervalului și convexă în sus pe formula intervalului.

19) Asimptotele funcției. Exemple.

Linia dreaptă se numește asimptotă verticală graficul funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită este fie egală cu sau .

Cometariu. O linie dreaptă nu poate fi o asimptotă verticală dacă funcția este continuă în punct. Prin urmare, asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcției.

Linia dreaptă se numește asimptotă orizontală graficul funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită sau este egală cu .

Cometariu. Graficul unei funcții poate avea doar o asimptotă orizontală dreaptă sau doar una stângă.

Linia dreaptă se numește asimptotă oblică graficul funcției dacă

EXEMPLU:

Exercițiu. Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie. Domeniul de aplicare:

a) asimptote verticale: linie dreaptă - asimptotă verticală, întrucât

b) asimptote orizontale: găsim limita funcției la infinit:

adică nu există asimptote orizontale.

c) asimptote oblice:

Astfel, asimptota oblică este: .

Răspuns. Asimptota verticală este dreaptă.

Asimptota oblică este dreaptă.

20) Schemă generală pentru studierea unei funcții și trasarea unui grafic. Exemplu.

A.
Găsiți ODZ și punctele de discontinuitate ale funcției.

b. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

2. Efectuați un studiu al funcției folosind derivata întâi, adică găsiți punctele extreme ale funcției și intervalele de creștere și scădere.

3. Investigați funcția folosind derivata de ordinul doi, adică găsiți punctele de inflexiune ale graficului funcției și intervalele convexității și concavității acestuia.

4. Aflați asimptotele graficului funcției: a) verticală, b) oblică.

5. Pe baza cercetării, construiți un grafic al funcției.

Rețineți că înainte de a trasa un grafic, este util să determinați dacă o anumită funcție este pară sau impară.

Reamintim că o funcție este apelată chiar dacă schimbarea semnului argumentului nu schimbă valoarea funcției: f(-x) = f(x) iar o funcție se numește impar dacă f(-x) = -f(x).

În acest caz, este suficient să studiați funcția și să construiți graficul acesteia pentru valorile pozitive ale argumentului aparținând ODZ. Pentru valorile negative ale argumentului, graficul este completat pe baza faptului că, pentru o funcție pară, este simetric față de axă Oi, și pentru impar relativ la origine.

Exemple. Explorează funcțiile și construiește graficele lor.

Domeniul funcției D(y)= (–∞; +∞). Nu există puncte de rupere.

Intersecția cu axa Bou: X = 0,y= 0.

Funcția este impară, prin urmare, poate fi studiată doar pe interval

Dacă în acest caz relațiile (1) au o limită finală, se notează:

În primul caz, derivata este în stânga, în al doilea, derivata este în dreapta.

Existența unei limite indică echivalența și egalitatea derivatelor din stânga și din dreapta:

Dacă derivatele din stânga și din dreapta sunt inegale, atunci într-un punct dat există tangente care nu sunt paralele cu OY (punctul M1, Fig. 2). În punctele M2, relațiile M3 (1) tind spre infinit.

Pentru punctele N situate în stânga lui M2, $\Delta $x $

La dreapta lui $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, dar expresia este și f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Pentru punctul $M_3$ din stânga, $\Delta $x $$ 0 și f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, adică. expresiile (1) atât din stânga cât și din dreapta sunt pozitive și tind să +$\infty $ ambele pe măsură ce $\Delta $x se apropie de -0 și +0.

Cazul absenței unei derivate în anumite puncte ale dreptei (x = c) este prezentat în Figura 3.

Figura 3. Fără derivate

Exemplul 1

Figura 4 prezintă un grafic al funcției și tangentei la grafic în punctul de abscisă $x_0$. Aflați valoarea derivatei funcției în abscisă.

Soluţie. Derivata într-un punct este egală cu raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului. Să selectăm două puncte de pe tangentă cu coordonate întregi. Fie, de exemplu, acestea să fie punctele F (-3,2) și C (-2,4).