Antiderivata și integrala nedefinită sunt principalele proprietăți ale tabelului de integrale nedefinite. Antiderivată și integrală nedefinită

Este prezentată o trecere în revistă a metodelor de calcul a integralelor nedefinite. Sunt luate în considerare principalele metode de integrare, care includ integrarea sumei și diferenței, plasarea unei constante în afara semnului integral, înlocuirea unei variabile și integrarea pe părți. De asemenea, sunt discutate metode și tehnici speciale de integrare a fracțiilor, rădăcinilor, funcțiilor trigonometrice și exponențiale.

Conţinut

Regula pentru integrarea sumelor (diferențelor)

Mutarea constantei în afara semnului integral

Fie c o constantă independentă de x. Apoi poate fi scos din semnul integral:

Înlocuire variabilă

Fie x o funcție a variabilei t, x = φ(t), atunci
.
Sau invers, t = φ(x) ,
.

Folosind o modificare a variabilei, puteți nu numai să calculați integrale simple, ci și să simplificați calculul celor mai complexe.

Regula integrării prin părți

Integrarea fracțiilor (funcții raționale)

Să introducem notația. Fie P k (x), Q m (x), R n (x) să desemneze polinoame de grade k, m, n, respectiv, în raport cu variabila x.

Considerăm o integrală formată dintr-o fracție de polinoame (așa-numita funcție rațională):

Dacă k ≥ n, atunci trebuie mai întâi să selectați întreaga parte a fracției:
.
Integrala polinomului S k-n (x) se calculează folosind tabelul de integrale.

Integrala rămâne:
, unde m< n .
Pentru a-l calcula, integrandul trebuie descompus în fracții simple.

Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcinile ecuației:
Q n (x) = 0 .
Folosind rădăcinile obținute, trebuie să reprezentați numitorul ca un produs al factorilor:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Aici s este coeficientul pentru x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

După aceasta, descompuneți fracția în cea mai simplă formă:

Integrand se obtine o expresie formata din integrale mai simple.
Integrale ale formei

sunt reduse la substituție tabulară t = x - a.

Luați în considerare integrala:

Să transformăm numărătorul:
.
Înlocuind în integrand, obținem o expresie care include două integrale:
,
.
Prima, prin substituție t = x 2 + ex + f, se reduce la una tabelară.
În al doilea rând, conform formulei de reducere:

se reduce la integrală

Să reducem numitorul său la suma pătratelor:
.
Apoi, prin substituție, integrala

este de asemenea intabulat.

Integrarea funcţiilor iraţionale

Să introducem notația. Fie R(u 1, u 2, ..., u n) să însemne o funcție rațională a variabilelor u 1, u 2, ..., u n. Acesta este
,
unde P, Q sunt polinoame în variabilele u 1, u 2, ..., u n.

Iraționalitate liniară fracțională

Să luăm în considerare integralele de forma:
,
unde sunt numere raționale, m 1, n 1, ..., m s, n s sunt numere întregi.
Fie n numitorul comun al numerelor r 1, ..., r s.
Atunci integrala se reduce la integrala funcțiilor raționale prin substituție:
.

Integrale din binoame diferențiale

Luați în considerare integrala:
,
unde m, n, p sunt numere raționale, a, b sunt numere reale.
Astfel de integrale se reduc la integrale ale funcțiilor raționale în trei cazuri.

1) Dacă p este un număr întreg. Înlocuirea x = t N, unde N este numitorul comun al fracțiilor m și n.
2) Dacă - un număr întreg. Înlocuirea a x n + b = t M, unde M este numitorul numărului p.
3) Dacă - un număr întreg. Înlocuirea a + b x - n = t M, unde M este numitorul numărului p.

Dacă niciunul dintre cele trei numere nu este un întreg, atunci, conform teoremei lui Cebyshev, integralele de acest tip nu pot fi exprimate printr-o combinație finită de funcții elementare.

În unele cazuri, este mai întâi util să reduceți integrala la valori mai convenabile m și p. Acest lucru se poate face folosind formule de reducere:
;
.

Integrale care conțin rădăcina pătrată a unui trinom pătrat

Aici luăm în considerare integralele de forma:
,

substituții lui Euler

Astfel de integrale pot fi reduse la integrale ale funcțiilor raționale ale uneia dintre cele trei substituții Euler:
, pentru a > 0;
, pentru c > 0 ;
, unde x 1 este rădăcina ecuației a x 2 + b x + c = 0. Dacă această ecuație are rădăcini reale.

Substituții trigonometrice și hiperbolice

Metode directe

În cele mai multe cazuri, substituțiile lui Euler au ca rezultat calcule mai lungi decât metodele directe. Folosind metode directe, integrala este redusă la una dintre formele enumerate mai jos.

Tipul I

Integrala formei:
,
unde P n (x) este un polinom de grad n.

Astfel de integrale se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați folosind identitatea:

Diferențiând această ecuație și echivalând laturile stângă și dreaptă, găsim coeficienții A i.

Tipul II

Integrala formei:
,
unde P m (x) este un polinom de gradul m.

Înlocuirea t = (x - α) -1 această integrală este redusă la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci fracția ar trebui să aibă o parte întreagă.

tipul III

Al treilea și cel mai complex tip:
.

Aici trebuie să faceți o înlocuire:
.
După care integrala va lua forma:
.
În continuare, constantele α, β trebuie alese astfel încât coeficienții pentru t să devină zero:
B = 0, B 1 = 0.
Apoi integrala se descompune în suma de integrale de două tipuri:
;
,
care sunt integrate, respectiv, prin substituții:
z2 = A1t2 + C1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Caz general

Integrarea funcțiilor transcendentale (trigonometrice și exponențiale).

Să remarcăm în prealabil că metodele care sunt aplicabile pentru funcțiile trigonometrice sunt aplicabile și pentru funcțiile hiperbolice. Din acest motiv, nu vom lua în considerare integrarea funcțiilor hiperbolice separat.

Integrarea funcțiilor trigonometrice raționale ale cos x și sin x

Să considerăm integralele funcțiilor trigonometrice de forma:
,
unde R este o funcție rațională. Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, care ar trebui convertite folosind sinusuri și cosinus.

Atunci când integrați astfel de funcții, este util să aveți în vedere trei reguli:
1) dacă R( cos x, sin x)înmulțit cu -1 din modificarea semnului înaintea uneia dintre cantități cos x sau sin x, atunci este util să-l notăm pe celălalt dintre ele cu t.
2) dacă R( cos x, sin x) nu se schimbă din cauza unei schimbări de semn în același timp înainte cos xȘi sin x, atunci este util să punem tg x = t sau pat x = t.
3) substituția duce în toate cazurile la integrala unei fracții raționale. Din păcate, această înlocuire are ca rezultat calcule mai lungi decât cele anterioare, dacă este cazul.

Produsul funcțiilor de putere ale cos x și sin x

Să luăm în considerare integralele de forma:

Dacă m și n sunt numere raționale, atunci una dintre substituțiile t = sin x sau t = cos x integrala se reduce la integrala binomului diferential.

Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integralele sunt calculate prin integrare pe părți. Aceasta produce următoarele formule de reducere:

;
;
;
.

Integrare pe părți

Aplicarea formulei lui Euler

Dacă integrandul este liniar în raport cu una dintre funcții
cos ax sau sinax, atunci este convenabil să aplicați formula lui Euler:
e iax = cos ax + isin ax(unde i 2 = - 1 ),
înlocuind această funcție cu e iaxși evidențierea celui real (la înlocuire cos ax) sau parte imaginară (la înlocuire sinax) din rezultatul obţinut.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.

Vezi si:

INTEGRAL NEDETERMINAT

Începem să studiem integralele, care sunt utilizate pe scară largă în multe domenii ale tehnologiei. Să începem studiul nostru cu integrala nedefinită.

Antiderivată și integrală nedefinită

Sarcina principală a calculului diferențial este diferențierea funcțiilor date, cu alte cuvinte, sarcina de a găsi rata de schimbare a unei anumite funcții. Numeroase întrebări de știință și tehnologie duc la formularea problemei inverse: dată fiind o funcție f (x), reconstruiți o funcție F (x) pentru care f (x) ar fi o derivată: F ¢ (x) = f (x) ).

Definiție. O funcție F(x) se numește antiderivată pentru f (x) dacă

F ¢ (x) = f (x) sau dF(x) = f (x) dx.

Exemple. 1) f (x) = 3x 2 , F (x) = x 3 ;

2) f (x) = cosx, F(x) = sinx.

Este ușor de observat că această funcție f (x) = 3x 2 nu corespunde unei antiderivate, ci unei mulțimi: x 3 ; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.

Într-adevăr, (x 3)¢ = 3x 2 ; (x 3 + 1)¢ = 3x 2 ; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2 ; . . . . (x 3 + C)¢ = 3x 2.

În general, dacă F(x) este o antiderivată a unei anumite funcții f (x), atunci funcția F(x) + c, „СОR va fi și o funcție antiderivată, deoarece:

¢ = F¢(x) = f (x).

Mulțimea tuturor antiderivatelor lui f (x) este epuizată de expresii de forma F(x) + C, sau există antiderivate ale acestei funcții care nu pot fi obținute din F(x) + C pentru orice valoare a lui C? Rezultă că afirmația este adevărată: nu există alte antiderivate ale funcției f (x). Cu alte cuvinte, dacă F 1 (x) și F 2 (x) sunt două antiderivate pentru f (x), atunci F 1 (x) = F 2 (x) + C,

unde C este o constantă.

Într-adevăr, pentru că F 1 (x) și F 2 (x) sunt antiderivate pentru f (x), atunci

Să luăm în considerare diferența pentru toate x.

Fie x 0 o valoare fixă ​​a argumentului,

x este o altă valoare arbitrară.

Conform formulei lui Lagrange

unde este un număr între x 0 și x. Deoarece:

Fiecare funcție f (x) are o antiderivată?

Teorema. Dacă o funcție f (x) este continuă pe un anumit interval, atunci are o antiderivată asupra ei (nicio dovadă).

Definiție. Dacă F (x) este un fel de antiderivată pentru f (x), atunci expresia F (x) + C, unde C este o constantă arbitrară, se numește integrală nedefinită și se notează: , în timp ce f (x) se numește o funcție integrand și expresia f (x) dx - prin integrand:

Acțiunea de a găsi o integrală nedefinită, în caz contrar, de a găsi toate antiderivatele unei funcții date, se numește integrare această funcție. Este evident că operaţiile de diferenţiere şi integrare sunt reciproc inverse.

Adunarea și scăderea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor, înmulțirea și împărțirea oferă exemple de operații matematice inverse.

Definiţia antiderivative.

O antiderivată a unei funcții f(x) pe intervalul (a; b) este o funcție F(x) astfel încât egalitatea este valabilă pentru orice x din intervalul dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea este adevărată . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Definiția unei integrale nedefinite.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrandși f(x) – funcția integrand. Integrandul reprezintă diferența funcției f(x) .

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută având în vedere diferența sa incert integrarea, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x), ci o mulțime de antiderivatele sale F(x)+C.

Pe baza proprietăților derivatului, se poate formula și dovedi proprietățile integralei nedefinite(proprietățile unui antiderivat).

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți ale integralei nedefinite sunt date pentru clarificare.

Pentru a demonstra a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsiți derivatele părților din dreapta ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranții, ceea ce este o dovadă datorită primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema integrării este inversul problemei diferențierii și există o legătură foarte strânsă între aceste probleme:

• prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrarii efectuate este suficient sa se calculeze derivata rezultatului obtinut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrandul, aceasta va însemna că integrarea a fost efectuată corect;
• a doua proprietate a integralei nedefinite permite găsirea antiderivată a acesteia dintr-o diferenţială cunoscută a unei funcţii. Calculul direct al integralelor nedefinite se bazează pe această proprietate.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Găsiți antiderivată a funcției a cărei valoare este egală cu unu la x = 1.

Soluţie.

Din calculul diferenţial ştim că (uitați-vă doar la tabelul derivatelor funcțiilor elementare de bază). Prin urmare, . Prin a doua proprietate . Adică avem multe antiderivate. Pentru x = 1 obținem valoarea . Conform condiției, această valoare trebuie să fie egală cu unu, prin urmare, C = 1. Antiderivatul dorit va lua forma .

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită și verificați rezultatul prin diferențiere.

Soluţie.

Folosind formula sinusului cu unghi dublu din trigonometrie , De aceea

Din tabelul derivatelor pentru funcțiile trigonometrice avem

Acesta este,

Prin a treia proprietate a integralei nedefinite putem scrie

Trecând la a doua proprietate, obținem .

Prin urmare,

Examinare.

Pentru a verifica rezultatul, diferențiam expresia rezultată:

Ca urmare, am obținut integrandul, ceea ce înseamnă că integrarea a fost efectuată corect. În ultima tranziție s-a folosit formula sinusului cu unghi dublu.

Dacă tabelul de derivate ale funcțiilor elementare de bază este rescris sub formă de diferențiale, atunci din acesta, folosind a doua proprietate a integralei nedefinite, se poate alcătui un tabel de antiderivate.

Funcţie F(X ) numit antiderivat pentru functie f(X) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval egalitatea este valabilă

F"(X ) = f(X ) .

De exemplu, funcția F(x) = x 2 f(X ) = 2X , deoarece

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Proprietatea principală a antiderivatei

Dacă F(x) - antiderivată a unei funcţii f(x) pe un interval dat, apoi funcția f(x) are infinit de antiderivate, iar toate aceste antiderivate pot fi scrise sub forma F(x) + C, Unde CU este o constantă arbitrară.

De exemplu. Funcţie F(x) = x 2 + 1 este o antiderivată a funcției f(X ) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funcţie F(x) = x 2 - 1 este o antiderivată a funcției f(X ) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funcţie F(x) = x 2 - 3 este o antiderivată a funcției f(X) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); orice functie F(x) = x 2 + CU , Unde CU - o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată a funcției f(X) = 2X . ◄

Reguli pentru calcularea antiderivatelor

1. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , A G(x) - antiderivat pentru g(x) , Acea F(x) + G(x) - antiderivat pentru f(x) + g(x) . Cu alte cuvinte, antiderivata sumei este egala cu suma antiderivatelor .
2. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k - constantă, atunci k · F(x) - antiderivat pentru k · f(x) . Cu alte cuvinte, factorul constant poate fi scos din semnul derivatei .
3. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k,b- constantă și k ≠ 0 , Acea 1 / k F( k x+ b ) - antiderivat pentru f(k x+ b) .

Integrală nedefinită

Integrală nedefinită din functie f(x) numită expresie F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) . Integrala nedefinită se notează după cum urmează:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- Ei suna funcția integrand ;

f(x) dx- Ei suna integrand ;

X - Ei suna variabila de integrare ;

F(x) - una dintre funcţiile primitive f(x) ;

CU este o constantă arbitrară.

De exemplu, ∫ 2 x dx =X 2 + CU , ∫ cosx dx = păcat X + CU și așa mai departe. ◄

Cuvântul „integral” provine din cuvântul latin întreg , care înseamnă „restaurat”. Avand in vedere integrala nedefinita a 2 X, se pare că restabilim funcția X 2 , a cărui derivată este egală cu 2 X. Restaurarea unei funcții din derivata ei sau, ceea ce este același lucru, găsirea unei integrale nedefinite peste un integrand dat se numește integrare această funcție. Integrarea este operația inversă de diferențiere.Pentru a verifica dacă integrarea a fost efectuată corect este suficient să diferențiem rezultatul și să obținem integrandul.

Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Dacă k,b- constantă și k ≠ 0 , Acea

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
eu.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Integralele antiderivate și nedefinite date în acest tabel sunt de obicei numite antiderivate tabulare Și integrale de tabel .

Integrala definita

Lasă între ele [A; b] este dată o funcție continuă y = f(x) , Apoi integrală definită de la a la b funcții f(x) se numește increment al antiderivatei F(x) această funcție, adică

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Numerele AȘi b sunt numite în consecință inferior Și top limitele integrării.

Reguli de bază pentru calcularea integralei definite

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) unde k - constant;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), unde f(x) — funcția uniformă;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), unde f(x) este o funcție ciudată.

cometariu . În toate cazurile, se presupune că integranții sunt integrabili pe intervale numerice ale căror limite sunt limitele integrării.

Sensul geometric și fizic al integralei definite

Sensul geometric integrala definita	Sensul fizic integrala definita
Pătrat S trapez curbiliniu (o cifră limitată de graficul unui pozitiv continuu pe interval [A; b] funcții f(x) , axa Bou si drept x=a , x=b ) se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	cale s, pe care punctul material a depășit-o, deplasându-se rectiliniu cu o viteză care variază conform legii v(t) , pentru o perioadă de timp a ; b] , apoi aria figurii limitată de graficele acestor funcții și linii drepte x = a , x = b , calculat prin formula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	De exemplu. Să calculăm aria figurii delimitată de linii y = x 2 Și y = 2-X . Să reprezentăm schematic graficele acestor funcții și să evidențiem într-o culoare diferită figura a cărei zonă trebuie găsită. Pentru a găsi limitele integrării, rezolvăm ecuația: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumul unui corp de revoluție

	Dacă un corp este obţinut ca urmare a rotaţiei în jurul unei axe Bou trapez curbiliniu mărginit de un grafic continuu și nenegativ pe interval [A; b] funcții y = f(x) si drept x = aȘi x = b , atunci se numește corpul de rotație . Volumul unui corp de revoluție se calculează prin formula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Dacă se obține un corp de revoluție ca rezultat al rotației unei figuri mărginite deasupra și dedesubt de grafice de funcții y = f(x) Și y = g(x) , în consecință, atunci $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	De exemplu. Să calculăm volumul unui con cu rază r si inaltime h . Să poziționăm conul într-un sistem de coordonate dreptunghiular astfel încât axa lui să coincidă cu axa Bou , iar centrul bazei era situat la origine. Rotația generatorului AB definește un con. Din moment ce ecuația AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
iar pentru volumul conului avem $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac(((1-\frac(x)(h)))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Am văzut că derivata are numeroase întrebuințări: derivata este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); derivata este panta tangentei la graficul functiei; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; derivata ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar în viața reală trebuie să rezolvăm și probleme inverse: de exemplu, împreună cu problema găsirii vitezei conform unei legi cunoscute a mișcării, întâlnim și problema restabilirii legii mișcării conform unei viteze cunoscute. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula u = tg. Găsiți legea mișcării.

Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = u"(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să alegeți funcţie s = s(t), a cărui derivată este egală cu tg. Nu este greu de ghicit asta

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Am constatat că, de fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție a formei o constantă arbitrară poate servi drept lege a mișcării, deoarece

Pentru a face sarcina mai specifică, trebuia să remediem situația inițială: indicați coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu, la t=0. Dacă, să spunem, s(0) = s 0, atunci din egalitate obținem s(0) = 0 + C, adică S 0 = C. Acum legea mișcării este definită în mod unic:
În matematică, operațiunilor reciproc inverse li se dau nume diferite și se inventează notații speciale: de exemplu, pătrarea (x 2) și luarea rădăcinii pătrate a sinusului (sinх) și arcsinus(arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferențiere, iar operația inversă, i.e. procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată – integrare.
Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „în viața de zi cu zi”: funcția y - f(x) „naște” o nouă funcție y"= f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca un „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu îl numesc „părinte” sau „producător”; ei spun că aceasta, în raport cu funcția y"=f"(x), este imaginea primară sau, în pe scurt, antiderivatul.

Definiția 1. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe un interval dat X dacă pentru tot x din X este valabilă egalitatea F"(x)=f(x).

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Aici sunt cateva exemple:

1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru tot x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată.
2) funcția y - x 3 este antiderivată pentru funcția y-3x 2, deoarece pentru tot x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată.
3) Funcția y-sinх este antiderivată pentru funcția y = cosx, deoarece pentru tot x egalitatea (sinx)" = cosx este adevărată.
4) Funcția este antiderivată pentru o funcție pe interval deoarece pentru toate x > 0 egalitatea este adevărată
În general, cunoscând formulele pentru găsirea derivatelor, nu este dificil să alcătuiești un tabel cu formule pentru găsirea antiderivatelor.

Sperăm că înțelegeți cum este compilat acest tabel: derivata funcției, care este scrisă în a doua coloană, este egală cu funcția care este scrisă în rândul corespunzător din prima coloană (verificați-o, nu fi leneș, este foarte util). De exemplu, pentru funcția y = x 5 antiderivată, după cum veți stabili, este funcția (vezi al patrulea rând al tabelului).

Note: 1. Mai jos vom demonstra teorema că, dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x ) + C. Prin urmare, ar fi mai corect să adăugați termenul C peste tot în a doua coloană a tabelului, unde C este un număr real arbitrar.
2. Din motive de concizie, uneori, în loc de expresia „funcția y = F(x) este o antiderivată a funcției y = f(x),” ei spun că F(x) este o antiderivată a lui f(x) .”

2. Reguli pentru găsirea antiderivatelor

La găsirea antiderivatelor, precum și la găsirea derivatelor, se folosesc nu numai formule (sunt enumerate în tabelul de la p. 196), ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Vă atragem atenția asupra oarecum „ușurință” a acestei formulări. De fapt, ar trebui formulată teorema: dacă funcțiile y = f(x) și y = g(x) au antiderivate pe intervalul X, respectiv y-F(x) și y-G(x), atunci suma funcțiilor y = f(x)+g(x) are o antiderivată pe intervalul X, iar această antiderivată este funcția y = F(x)+G(x). Dar, de obicei, atunci când se formulează reguli (nu teoreme), rămân doar cuvintele cheie - acest lucru este mai convenabil pentru aplicarea regulilor în practică

Exemplul 2. Aflați antiderivată pentru funcția y = 2x + cos x.

Soluţie. Antiderivata pentru 2x este x"; antiderivata pentru cox este sin x. Aceasta înseamnă că antiderivata pentru funcția y = 2x + cos x va fi funcția y = x 2 + sin x (și în general orice funcție de forma Y = x 1 + sinx + C) .
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Factorul constant poate fi scos din semnul antiderivatei.

Exemplul 3.

Soluţie. a) Antiderivata pentru sin x este -soz x; Aceasta înseamnă că pentru funcția y = 5 sin x funcția antiderivată va fi funcția y = -5 cos x.

b) Antiderivata pentru cos x este sin x; Aceasta înseamnă că antiderivată a unei funcții este funcția
c) Antiderivata pentru x 3 este antiderivata pentru x, antiderivata pentru functia y = 1 este functia y = x. Folosind prima și a doua reguli pentru găsirea antiderivatelor, aflăm că antiderivată pentru funcția y = 12x 3 + 8x-1 este funcția
Cometariu. După cum se știe, derivata unui produs nu este egală cu produsul derivatelor (regula de diferențiere a unui produs este mai complexă), iar derivata unui cot nu este egală cu câtul derivatelor. Prin urmare, nu există reguli pentru găsirea antiderivatei produsului sau a antiderivatei coeficientului a două funcții. Atenție!
Să obținem o altă regulă pentru găsirea antiderivatelor. Știm că derivata funcției y = f(kx+m) se calculează prin formula

Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 3. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y=f(kx+m) este funcția

Într-adevăr,

Aceasta înseamnă că este o antiderivată pentru funcția y = f(kx+m).
Sensul celei de-a treia reguli este următorul. Dacă știți că antiderivata funcției y = f(x) este funcția y = F(x) și trebuie să găsiți antiderivata funcției y = f(kx+m), atunci procedați astfel: luați aceeași funcție F, dar în locul argumentului x, înlocuiți expresia kx+m; în plus, nu uitați să scrieți „factor de corecție” înainte de semnul funcției
Exemplul 4. Găsiți antiderivate pentru funcții date:

Soluţie, a) Antiderivata pentru sin x este -soz x; Aceasta înseamnă că pentru funcția y = sin2x antiderivată va fi funcția
b) Antiderivata pentru cos x este sin x; Aceasta înseamnă că antiderivată a unei funcții este funcția

c) Antiderivată pentru x 7 înseamnă că pentru funcția y = (4-5x) 7 antiderivată va fi funcția

3. Integrală nedefinită

Am observat deja mai sus că problema găsirii unei antiderivate pentru o funcție dată y = f(x) are mai multe soluții. Să discutăm această problemă mai detaliat.

Dovada. 1. Fie y = F(x) antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din X este valabilă egalitatea x"(x) = f(x). găsiți derivata oricărei funcții de forma y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Deci, (F(x)+C) = f(x). Aceasta înseamnă că y = F(x) + C este o antiderivată pentru funcția y = f(x).
Astfel, am demonstrat că dacă funcția y = f(x) are o antiderivată y=F(x), atunci funcția (f = f(x) are infinite de antiderivate, de exemplu, orice funcție de forma y = F(x) +C este o antiderivată.
2. Să demonstrăm acum că tipul indicat de funcții epuizează întregul set de antiderivate.

Fie y=F 1 (x) și y=F(x) două antiderivate pentru funcția Y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din intervalul X sunt valabile următoarele relații: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Să considerăm funcția y = F 1 (x) -.F(x) și să găsim derivata ei: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Se știe că dacă derivata unei funcții pe un interval X este identic egală cu zero, atunci funcția este constantă pe intervalul X (vezi Teorema 3 din § 35). Aceasta înseamnă că F 1 (x) - F (x) = C, adică. Fx) = F(x)+C.

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 5. Legea schimbării vitezei cu timpul este dată: v = -5sin2t. Aflați legea mișcării s = s(t), dacă se știe că la momentul t=0 coordonata punctului era egală cu numărul 1,5 (adică s(t) = 1,5).

Soluţie. Deoarece viteza este o derivată a coordonatei în funcție de timp, trebuie mai întâi să găsim antiderivata vitezei, adică. antiderivată pentru funcția v = -5sin2t. Unul dintre astfel de antiderivate este funcția , iar mulțimea tuturor antiderivatelor are forma:

Pentru a găsi valoarea specifică a constantei C, folosim condițiile inițiale, conform cărora s(0) = 1,5. Înlocuind valorile t=0, S = 1,5 în formula (1), obținem:

Înlocuind valoarea găsită a lui C în formula (1), obținem legea mișcării care ne interesează:

Definiția 2. Dacă o funcție y = f(x) are o antiderivată y = F(x) pe un interval X, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor, i.e. multimea functiilor de forma y = F(x) + C se numeste integrala nedefinita a functiei y = f(x) si se noteaza cu:

(a se citi: „integrală nedefinită ef din x de x”).
În paragraful următor vom afla care este sensul ascuns al acestei denumiri.
Pe baza tabelului de antiderivate disponibil în această secțiune, vom compila un tabel cu principalele integrale nedefinite:

Pe baza celor trei reguli de mai sus pentru găsirea antiderivatelor, putem formula regulile de integrare corespunzătoare.

Regula 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor acestor funcții:

Regula 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Regula 3. Dacă

Exemplul 6. Găsiți integrale nedefinite:

Soluţie, a) Folosind prima și a doua reguli de integrare, obținem:

Acum să folosim formula de integrare a 3-a și a 4-a:

Ca rezultat obținem:

b) Folosind a treia regulă de integrare și formula 8, obținem:

c) Pentru a găsi direct o integrală dată, nu avem nici formula corespunzătoare, nici regula corespunzătoare. În astfel de cazuri, transformările identice efectuate anterior ale expresiei conținute sub semnul integral ajută uneori.

Să folosim formula trigonometrică pentru reducerea gradului:

Apoi găsim secvenţial:

A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, Matematică la școală