Հաղորդագրություն պոլիեդրայի մասին. Պոլիեդրա

ՌՈՒՍԱՍՏԱՆԻ ԴԱՇՆՈՒԹՅԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ՆԱԽԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

ՄՈՍԿՎԱՅԻ ՏԱՐԱԾԱՇՐՋԱՆԻ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ՆԱԽԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

ՄՈՍԿՎԱՅԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՏԱՐԱԾԱՇՐՋԱՆԱՅԻՆ ՀՈՒՄԱՆԻՏԻՏԱԿԱՆ ԻՆՍՏԻՏՈՒՏ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻ ԲԱԺԻՆ.

Վերացական

ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ԵՎ ԿԻՍԱԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ԲԱԶՄԱԴՈՒՐՆԵՐ

ԿԱՏԱՐՈՂՆԵՐ՝ .

3-րդ ԿԱՐՍԻ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐ 1-ին ԽՈՒՄԲ

ՖԻԶԻԿԱ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՖԱԿՈՒԼՏԵՏ

ՊԱՆԿՈՎԱ ԱՆԱՍՏԱՍԻԱ ՕԼԵԳՈՎՆԱ

ԱՆՏՈՆՈՎԱ ԵԼԵՆԱ ՆԻԿՈԼԱԵՎՆԱ

ՕՐԵԽՈՎՈ-ԶՈՒԵՎՈ

Կանոնավոր պոլիեդրաներ

անպարկեշտորեն փոքր է, բայց սա շատ է

համեստ ջոկատ

հաջողվել է թափանցել հենց խորքերը

տարբեր գիտություններ.

Լ. Քերոլ.

1. Ներածություն.

Մարդուն իր ողջ գիտակցական կյանքի ընթացքում հետաքրքրել է կանոնավոր պոլիեդրաները՝ սկսած երկու տարեկան երեխայից, ով խաղում է փայտե բլոկների հետ մինչև հասուն մաթեմատիկոս, ով հաճույքով կարդում է պոլիեդրայի մասին գրքեր: Կանոնավոր և կիսականոնավոր պինդ մարմինների մի մասը բնության մեջ հանդիպում է բյուրեղների, մյուսները՝ վիրուսների տեսքով (որոնք կարելի է դիտել էլեկտրոնային մանրադիտակի միջոցով): Մեղուները մարդկանց հայտնվելուց շատ առաջ կառուցել են վեցանկյուն մեղրախորիսխներ, իսկ քաղաքակրթության պատմության մեջ բազմաշերտ մարմինների (ինչպես բուրգերի) ստեղծումը պլաստիկ արվեստի այլ տեսակների հետ մեկտեղ դարեր առաջ է անցել:

Մեր շարադրությունը նվիրված է կանոնավոր և կիսանարգոն բազմանիստ թեմային։ Դրանք ուսումնասիրել են Թեետետոսը, Պլատոնը, Էվկլիդեսը, Հիփսիկլեսը և Պապպուսը։ Բացի այդ, այս զարմանահրաշ մարմինները մեզ անտարբեր չեն թողել։ Ի վերջո, նրանց ձևը կատարելության օրինակ է:

Քանի՞ կանոնավոր բազմանիստ կա: Ի՞նչ հատկանիշներ ունեն նրանք։ Ինչպե՞ս պատրաստել ցանկացած կանոնավոր պոլիէդրոնի մոդել: Որտեղ կարող եք գտնել այս մարմինները: Այս և շատ այլ հարցերի պատասխանելը մեր աշխատանքի նպատակն է։

2. Կանոնավոր պոլիեդրաներ:

Բազմանդրոնը կոչվում է ճիշտ, եթե՝ նախ՝ ուռուցիկ է; երկրորդ, նրա բոլոր դեմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են, որոնք հավասար են միմյանց. երրորդ, նույն թվով եզրեր համընկնում են նրա յուրաքանչյուր գագաթին. և չորրորդ՝ նրա բոլոր երկանկյուն անկյունները հավասար են։

Հարց է առաջանում՝ քանի՞ կանոնավոր բազմանիստ կա։ Առաջին հայացքից այս հարցի պատասխանը շատ պարզ է՝ կան այնքան կանոնավոր բազմանկյուններ, որքան կան: Այնուամենայնիվ, դա այդպես չէ: Էվկլիդեսի տարրերում մենք գտնում ենք կոշտ ապացույց, որ կան ընդամենը հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանկյուններ՝ ոչ ավել, ոչ պակաս, և դրանց դեմքերը կարող են լինել միայն երեք տեսակի կանոնավոր բազմանկյուններ՝ եռանկյուններ, քառակուսիներ և հնգանկյուններ կամ կանոնավոր հնգանկյուններ (չորրանկյուն, վեցանկյուն (խորանարդ) , ութանիստ, իկոսաեդրոն և տասներեքագեդրոն):

Կանոնավոր պոլիեդրների անունները գալիս են Հունաստանից։ Հունարենից բառացիորեն թարգմանվել է «քառաթև», «ութանիստ», «վեցանկյուն», «դյուդեկետրոն», «իկոսաեդրոն» նշանակում է «չորեքէջ», «ութանիստ», «վեցանկյուն», «դյուդեկետրոն», «քսանահեդրոն»: Այս գեղեցիկ մարմիններին է նվիրված Էվկլիդեսի տարրերի 13-րդ գիրքը։

Բոլոր կանոնավոր պոլիեդրաները կոչվում են Պլատոնական պինդ մարմիններ, քանի որ դրանք կարևոր տեղ էին զբաղեցնում տիեզերքի կառուցվածքի մասին Պլատոնի փիլիսոփայական հայեցակարգում։

Պլատոն (մ.թ.ա. 427-347 թթ.)

Չորս պոլիեդրոններ անձնավորում էին չորս էություններ կամ «տարրեր»։ Քառաեդրոնը խորհրդանշում էր կրակը, քանի որ նրա գագաթն ուղղված է դեպի վեր; icosahedron - ջուր, քանի որ այն առավել «ռուսական» է. խորանարդ - երկիր, որպես առավել «կայուն»; octahedron - օդը, որպես առավել «օդային»: Հինգերորդ պոլիէդրոնը՝ տասներկուանիստը, մարմնավորում էր «այն ամենը, ինչ կա կամ» «Համընդհանուր միտքը», խորհրդանշում էր ամբողջ տիեզերքը և համարվում էր գլխավորը:

Հին հույները ներդաշնակ հարաբերությունները համարում էին տիեզերքի հիմքը, ուստի նրանց չորս տարրերը կապված էին հետևյալ համամասնությամբ՝ հող/ջուր=օդ/կրակ։

Տետրաեդրոն – Սա քառանիստ է, որի բոլոր դեմքերը եռանկյուն են, այսինքն. եռանկյուն բուրգ; կանոնավոր քառաեդրոնը սահմանափակված է չորս հավասարակողմ եռանկյուններով. հինգ կանոնավոր բազմանկյուններից մեկը (նկ. 1-ա): Չորեքդրոնի մեջ երեք հավասարակողմ եռանկյուններ հանդիպում են մեկ գագաթին. միևնույն ժամանակ դրանց հիմքերը կազմում են նոր հավասարակողմ եռանկյուն: Քառաեդրոնն ունի ամենափոքր թվով դեմքերը պլատոնական պինդ մարմինների մեջ և հարթ կանոնավոր եռանկյան եռաչափ անալոգն է, որն ունի ամենափոքր թվով կողմերը կանոնավոր բազմանկյունների միջև։

Խորանարդ կամ կանոնավոր վեցանկյուն - սա հավասար եզրերով կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա է՝ սահմանափակված վեց քառակուսիներով (նկ. 1-բ): Մի կետում երեք քառակուսի միացնելով, այնուհետև երեքը ավելացնելով, ստացվում է խորանարդ:

Ութանիստ - սա ութանիստ է; ութ եռանկյուններով սահմանափակված մարմին; կանոնավոր ութանիստը սահմանափակված է ութ հավասարակողմ եռանկյուններով. հինգ կանոնավոր պոլիէդրներից մեկը (նկ. 1-գ): Ութանիստում չորս եռանկյուններ հանդիպում են մեկ գագաթին. արդյունքում ստացվում է քառանկյուն հիմքով բուրգ:

Icosahedron - դա քսանանկյուն մարմին է, որը սահմանափակված է քսան բազմանկյուններով. կանոնավոր իկոսաեդրոնը սահմանափակված է քսան հավասարակողմ եռանկյուններով (Նկ. 1-դ):

Դոդեկաեդրոն - դա տասներկու բազմանկյուններով սահմանափակված մարմին է. կանոնավոր հնգանկյուն (Նկ 1-դ ). Այն հիմնված է հետևյալ կանոնավոր բազմանկյունի օգտագործման վրա Պենտագոն .

Նկար 1.Պլատոնական պինդ մարմիններ՝ ա) ութանիստ («կրակ»), բ) վեցանիստ կամ խորանարդ («Երկիր»),
(գ) ութանիստ («Օդ»), (դ) իկոսաեդրոն («Ջուր»), (ե) տասներեքագեդրոն («Համընդհանուր միտք»)

Հաջորդ կանոնավոր բազմանկյունն է վեցանկյուն. Սակայն եթե մի կետում միացնենք երեք վեցանկյուն, ապա կստանանք մակերես, այսինքն՝ վեցանկյուններից անհնար է եռաչափ ֆիգուր կառուցել։ Վեցանկյունի վերևում գտնվող այլ կանոնավոր բազմանկյուններ ընդհանրապես չեն կարող ձևավորել պինդ մարմիններ: Այս նկատառումներից հետևում է, որ կան ընդամենը հինգ կանոնավոր բազմանիստ, որոնց դեմքերը կարող են լինել միայն հավասարակողմ եռանկյուններ, քառակուսիներ և հնգանկյուններ:

Խորանարդը և ութանիստը երկակի են, այսինքն. ստացվում են միմյանցից, եթե մեկի դեմքերի ծանրության կենտրոնները վերցվում են որպես մյուսի գագաթներ և հակառակը։ Դոդեկաեդրոնը և իկոսաեդրոնը նմանապես երկակի են: Տետրեդրոնն ինքնին երկակի է: Կանոնավոր տասներկուանիստը ստացվում է խորանարդից՝ դրա երեսին «տանիքներ» կառուցելով (էվկլիդեսյան մեթոդ), քառաեդրոնի գագաթները խորանարդի ցանկացած չորս գագաթներ են, որոնք զույգ-զույգ կից չեն եզրագծի երկայնքով: Այսպես են ստացվում խորանարդից մնացած բոլոր կանոնավոր բազմանիստները։ Միայն հինգ իսկապես կանոնավոր պոլիեդրների գոյության փաստը զարմանալի է. ի վերջո, հարթության վրա կան անսահման շատ կանոնավոր բազմանկյուններ:

Կանոնավոր պոլիեդրների զարգացումները.

3. Հինգ կանոնավոր բազմանիստ գոյության ապացույց։

Մենք գիտենք, որ կան ընդամենը հինգ կանոնավոր բազմանիստ: Հիմա փորձենք դա ապացուցել։

Ենթադրենք, որ կանոնավոր բազմանիստ ունի Գ դեմքերը, որոնցից յուրաքանչյուրը կանոնավոր n-գոն է, զուգակցվում են յուրաքանչյուր գագաթին կեզրեր, տոտալ բազմանկյունի մեջ INգագաթներ և Ռեզրեր՝ n3-ով, քանի որ յուրաքանչյուր գագաթի մոտ միանում են առնվազն երեք կողմ, և k3, քանի որ յուրաքանչյուր գագաթում առնվազն երեք եզրեր են համընկնում .

Դեմքերի երկայնքով եզրերը հաշվելով՝ ստանում ենք՝ n Г = 2Р։

Յուրաքանչյուր եզրը պատկանում է երկու դեմքի, ինչը նշանակում է, որ արտադրանքի մեջ

nG թիվը P կրկնապատկվում է:

Եզրերը գագաթներով հաշվելով՝ ստանում ենք՝ kB = 2P, քանի որ յուրաքանչյուր ծայրը կպնում է 2 գագաթին։ Այնուհետև Էյլերի հավասարությունը տալիս է.

կամ . (*)

Պայմանով, ուրեմն, այսինքն. n-ը և k-ն չեն կարող երեքից ավելի լինել: Օրինակ, եթե կային n = 4 և k = 4, ապա գնահատման միջոցով կարելի է ստուգել, ​​որ n-ի և k-ի մյուս արժեքները, 3-ից մեծ, չեն բավարարում հավասարությանը (*): Սա նշանակում է կամ k = 3 կամ n = 3:

Թող n = 3 , ապա հավասարությունը (*) կունենա ձև.

կամ

Քանի որ այն կարող է ընդունել արժեքներ,

դրանք. k = 3, 4, 5:

Եթե k = 3, n = 3, ապա P = 6, Г = В = քառաեդրոն է (տես Աղյուսակ 1):

Եթե k = 4, n = 3, ապա P = 12, G = , B = ութանիստ է:

Եթե k = 5, n = 3, ապա P = 30, G = B = իկոսաեդրոն է:

Եկեք հիմա k = 3, ապա հավասարությունը (*) կունենա ձև.

Հետևում է, որ n-ը կարող է ընդունել 3, 4, 5 արժեքներ:

Վերլուծվել է n = 3 դեպքը:

Մնացել է երկու դեպք.

n = 4 k = 3-ի համար, ապա, այսինքն. P = 12, G = , V = - սա խորանարդ է:

n = 5 k = 3-ով, ապա, P = 30, G = 12, B = 30-ը տասներկուանարդ է:

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ կան հինգ և միայն հինգ կանոնավոր ուռուցիկ բազմանիստներ: Ապացույցը, որ ավելին չի կարող լինել, պարունակվում է Էվկլիդեսի տարրերում, և Թեետետոսը համարվում է այս ապացույցի հեղինակը։ Հայտնի է, որ մի քանի տարի Թեետետոսը եղել է Ակադեմիայի անդամ և մտերիմ է եղել Պլատոնի հետ, և այս մտերմությունը կարող է բացատրել այն փաստը, որ Պլատոնը, պարզվեց, ծանոթ էր այն ժամանակվա ստերեոմետրիայի ոլորտի վերջին հայտնագործություններին։

4. Պլատոնական պինդ մարմինների թվային բնութագրերը.

Հիմնական թվային բնութագրերը Պլատոնական պինդ մարմիններդեմքի կողմերի քանակն է մ,դեմքերի քանակը n,յուրաքանչյուր գագաթին համընկնող, դեմքերի քանակը Գ, գագաթների թիվը IN,կողերի քանակը Ռև հարթ անկյունների քանակը Uպոլիէդրոնի մակերեսին (Աղյուսակ 1):

Բազմաթև	Եզրային կողմերի քանակը մ	Գագաթին հանդիպող դեմքերի թիվը n	Դեմքերի քանակը	Գագաթների քանակը	Կողերի քանակը	Մակերեւույթի վրա հարթ անկյունների քանակը
Տետրաեդրոն	3	3	4	4	6	12
Վեցանկյուն (խորանարդ)	4	3	6	8	12	24
Ութանիստ	3	4	8	6	12	24
Icosahedron	3	5	20	12	30	60
Դոդեկաեդրոն	5	3	12	20	30	60

Աղյուսակ 1. Պլատոնական պինդ մարմինների թվային բնութագրերը:

Նայելով սեղանին 1, եկեք հարց տանք. «Արդյո՞ք դեմքերի, գագաթների և եզրերի յուրաքանչյուր սյունակում թվերի աճի օրինաչափություն կա»: Ըստ երեւույթին ոչ։ «Ծայրեր» սյունակում ամեն ինչ սկզբում լավ էր ընթանում (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), իսկ հետո նախատեսված օրինակը «ձախողվեց» (8 + 2): Նույնիսկ «վերևներ» սյունակում կայուն աճ չկա։ Գագաթների թիվը կա՛մ ավելանում է (4-ից 8, 6-ից 20), կա՛մ երբեմն նվազում է (8-ից 6, 20-ից 12): «Ծայրեր» սյունակում նույնպես ոչ մի օրինակ չի երևում:

Մենք համեմատեցինք թվերը նույն սյունակում: Բայց դուք կարող եք դիտարկել թվերի գումարը երկու սյունակներում, առնվազն «եզրեր» և «գագաթներ» սյունակներում (G + V): Համեմատենք մեր հաշվարկների նոր աղյուսակը (տես Աղյուսակ 2):

աղյուսակ 2

Այժմ օրինակը տեսանելի է:

Ձևակերպենք այսպես. «Դեմքերի և գագաթների թվի գումարը հավասար է 2-ով ավելացված եզրերի թվին». G + B = P + 2 .

Էյլերի բանաձեւը

Այսպիսով, մենք ստացել ենք մի բանաձև, որն արդեն նշել է Դեկարտը 1640 թվականին, իսկ ավելի ուշ վերագտնվել է Էյլերի կողմից (1752 թ.), որի անունը այն կրում է այն ժամանակից ի վեր: Էյլերի բանաձեւըճիշտ է ցանկացած ուռուցիկ բազմանիստի համար:

Համաչափության տարրեր.

Տետրաեդրոնչունի համաչափության կենտրոն, բայց ունի 3 համաչափության առանցք և 6 համաչափության հարթություն։

Նկարագրված ոլորտի շառավիղը.

Ներգրված ոլորտի շառավիղը.

Մակերեսը:

Տետրաեդրոնի ծավալը.

Cubeունի համաչափության կենտրոն՝ խորանարդի կենտրոն, համաչափության 9 առանցք և համաչափության 9 հարթություն։

Նկարագրված ոլորտի շառավիղը.

Ներգրված ոլորտի շառավիղը.

Խորանարդի մակերեսը.

Cube ծավալը:

Ութանիստունի համաչափության կենտրոն՝ ութանիստի կենտրոն, համաչափության 9 առանցք և համաչափության 9 հարթություն։

Նկարագրված ոլորտի շառավիղը.

Ներգրված ոլորտի շառավիղը.

Մակերեսը:

Octahedron ծավալը:

Icosahedronունի համաչափության կենտրոն՝ իկոսաեդրոնի կենտրոն, համաչափության 15 առանցք և համաչափության 15 հարթություն։

Նկարագրված ոլորտի շառավիղը.

,

Ներգրված ոլորտի շառավիղը.

,

Մակերեսը:

Իկոսաեդրոնի ծավալը.

.

Դոդեկաեդրոնունի համաչափության կենտրոն՝ տասներկուանիստի կենտրոն, 15 համաչափության առանցք և 15 համաչափության հարթություն։

Նկարագրված ոլորտի շառավիղը.

,

Ներգրված ոլորտի շառավիղը.

,

Մակերեսը:

,

Դոդեկաեդրոնի ծավալը.

.

5. Կեպլերի տեսությունը.

Եվրոպայում XYI - XYII դդ. Ապրել և գործել է գերմանացի նշանավոր աստղագետ, մաթեմատիկոս և մեծ տեսիլք Յոհաննես Կեպլերը (1571-1630):

Կեպլերը իսկապես գործում էր գիտության մեջ որպես աստղագետ, մաթեմատիկոս և տեսլական: Եթե ​​նա չունենար այս հատկանիշներից գոնե մեկը, չէր կարողանա նման բարձունքների հասնել գիտության մեջ։

Դիտարկումների արդյունքում ստացված տվյալների ընդհանրացման հիման վրա նա սահմանել է Արեգակի նկատմամբ մոլորակների շարժման երեք օրենք։

Առաջին օրենքՅուրաքանչյուր մոլորակ շարժվում է էլիպսով, Արեգակը մեկ կիզակետում:

Երկրորդ օրենքՅուրաքանչյուր մոլորակ շարժվում է Արեգակի կենտրոնով անցնող հարթության մեջ, և ուղեծրի հատվածի տարածքը, որը նկարագրված է շառավղով վեկտորով, փոխվում է ժամանակի համամասնությամբ:

Երրորդ օրենքԱրեգակի շուրջ մոլորակի ուղեծրային ժամանակի քառակուսիները կապված են Արեգակից նրանց միջին հեռավորության խորանարդների հետ:

Բայց դրանք միայն վարկածներ էին, քանի դեռ դրանք բացատրվել և պարզաբանվել են Իսահակ Նյուտոնի (1643-1727) համընդհանուր ձգողության օրենքի հիման վրա, ով ստեղծել է երկնային մարմինների շարժման տեսությունը, որն ապացուցել է դրա կենսունակությունը նրանով, որ իր օգնել մարդկանց սովորել կանխատեսել բազմաթիվ երկնային երևույթներ:

Բայց եկեք մեզ պատկերացնենք Կեպլերի տեղում։ Նրա դիմաց տարբեր սեղաններ են՝ թվերի սյունակներ։ Սրանք դիտարկումների արդյունքներն են՝ ինչպես իր սեփական, այնպես էլ մեծ աստղագետ նախորդների: Հաշվողական աշխատանքի այս ծովում մարդն ուզում է ինչ-որ օրինաչափություն գտնել։ Ի՞նչն է նրան աջակցում նման մեծ պլանում: Նախ, հավատը ներդաշնակության նկատմամբ, վստահություն, որ տիեզերքը բնականորեն կառուցված է, ինչը նշանակում է, որ նրա կառուցվածքի օրենքները կարելի է բացահայտել: Եվ երկրորդ՝ երևակայությունը համակցված համբերության և ազնվության հետ։ Իրականում ինչ-որ բանից պետք է սկսել։ Դուք նախ պետք է ձեր մտքում մտածեք այն օրենքները, որոնք փնտրում եք, իսկ հետո ստուգեք դրանք դիտարկումներով։

Սկզբում Կեպլերին գայթակղեց այն միտքը, որ Արեգակնային համակարգի ընդամենը հինգ կանոնավոր պոլիեդրա և միայն վեց (ինչպես թվում էր այն ժամանակ) մոլորակները՝ Մերկուրի, Վեներա, Երկիր, Մարս, Յուպիտեր, Սատուրն: Թվում էր, թե աշխարհի ներդաշնակությունը և կրկնվող բնության սերը կանոնավոր պոլիեդրաները դարձրեցին կապող օղակ վեց երկնային մարմինների միջև: Կեպլերը ենթադրում էր, որ մոլորակների գնդերը փոխկապակցված են դրանց մեջ գրված պլատոնական պինդ մարմիններով։ Քանի որ յուրաքանչյուր կանոնավոր բազմանիստի համար ներգծված և շրջագծված գնդերի կենտրոնները համընկնում են, ամբողջ մոդելը կունենա մեկ կենտրոն, որտեղ գտնվում է Արևը:

Կեպլերը հսկայական հաշվողական աշխատանք կատարեց իր ենթադրությունները հաստատելու համար: 1596 թվականին նա հրատարակեց մի գիրք, որտեղ դրանք ուրվագծվեցին։ Ըստ այդ ենթադրությունների՝ Սատուրնի ուղեծրի ոլորտում, որի մեջ տեղավորվում է Յուպիտերի ուղեծրի գունդը, կարելի է մակագրել մի խորանարդ։ Մարսի ուղեծրի ոլորտի մոտ նկարագրված քառաեդրոնն իր հերթին տեղավորվում է դրա մեջ։ Դոդեկաեդրոնը տեղավորվում է Մարսի ուղեծրի ոլորտում, որի մեջ տեղավորվում է Երկրի ուղեծրի գունդը։ Եվ նկարագրված է իկոսաեդրոնի մոտ, որի մեջ մակագրված է Վեներայի ուղեծրի գունդը։ Այս մոլորակի գունդը նկարագրված է ութանիստի շուրջ, որի մեջ տեղավորվում է Մերկուրիի գունդը։ Արեգակնային համակարգի այս մոդելը կոչվում էր Կեպլերի «Տիեզերական գավաթ»։

6. Պլատոնական պինդ մարմինների տիեզերական տեսության փորձարկման խնդիրը.

Դուք ինքներդ կարող եք ստուգել Պլատոնական պինդ մարմինների տիեզերական տեսությունը։ Դիտարկենք խնդիրը.

«Սատուրնի և Յուպիտերի ուղեծրային միջին շառավիղները համապատասխանաբար Rс = 1,427·10 9 կմ են և Rу = 0,788 · 10 9 կմ: Գտե՛ք նշված մոլորակների ուղեծրերի շառավիղների հարաբերակցությունը և գտնված հարաբերակցությունը համեմատե՛ք խորանարդի շուրջ նկարագրված ոլորտի և դրանում ներգծված գնդերի հարաբերակցության հետ»։

Կեպլերի վարկածի համաձայն՝ այս հարաբերակցությունները պետք է հավասար լինեն։ Այսպիսով, դիտարկումներից մենք ունենք.

.

Համաձայն վարկածի՝ Սատուրնի ուղեծրի ոլորտում խորանարդ է գրված, թող նրա եզրը հավասար լինի a-ի։ Այնուհետև ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներգծված խորանարդի անկյունագծի կեսին, այսինքն. բայց նույնիսկ այն ժամանակ. Այս խորանարդի մեջ մակագրված է մի գունդ (Յուպիտերի ուղեծիր): Նրա շառավիղը նշանակենք r-ով։ Այն հավասար է խորանարդի եզրի կեսին, այսինքն. . Հետո .

Ինչպես տեսնում ենք, R:r տեսական հարաբերակցության և դիտարկված Rс:Rу-ի միջև անհամապատասխանությունն այնքան էլ մեծ չէ՝ 0,1-ից փոքր: Բայց տիեզերական մասշտաբով դա ընդունելի է թվում։ Այս «գրեթե պատահականությունները» ստիպեցին Կեպլերին երկար ժամանակ կառչել պլատոնական պինդ մարմինների տեսությունից, քանի որ հեշտ էր կասկածել դիտարկումների սխալի մասին։

Տարեցտարի նա ճշգրտում էր իր դիտարկումները, կրկնակի ստուգում էր իր գործընկերների տվյալները, բայց վերջապես ուժ գտավ հրաժարվելու գայթակղիչ վարկածից։ Սակայն դրա հետքերը տեսանելի են Կեպլերի երրորդ օրենքում, որը խոսում է Արեգակից միջին հեռավորությունների խորանարդների մասին։

Ինչպե՞ս կարող էին դրանք հայտնվել մարդու մտքում, եթե նա չխոսեր տարածական մարմինների ծավալի մասին: Ի վերջո, ծավալն է, ինչպես գիտենք, արտահայտված մարմինների գծային չափերի խորանարդներով։ Բայց սա նաև վարկած է, վարկած այն մասին, թե ինչպես են հայտնաբերվել Կեպլերի օրենքները։ Մենք դա փորձարկելու հնարավորություն չունենք, բայց մի բան հաստատ գիտենք՝ առանց վարկածների, երբեմն ամենաանսպասելի, խելագար թվացողների, գիտությունը չի կարող գոյություն ունենալ։

7. Արքիմեդյան պինդ մարմիններ

Կիսականոն պոլիեդրաներ

Հայտնի են շատ ավելի կատարյալ մարմիններ, որոնք կոչվում են կիսանկանոն պոլիեդրաներկամ Արքիմեդյան մարմիններ.Նրանք նաև ունեն բոլոր բազմանկյուն անկյունները հավասար, և բոլոր դեմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են, բայց մի քանի տարբեր տեսակների: Կան 13 կիսանարգոն բազմանիստ, որոնց հայտնաբերումը վերագրվում է Արքիմեդին։

Արքիմեդ (Ք.ա. 287 – մ.թ.ա. 212)

Արքիմեդյան շատ պինդ մարմիններ կարելի է բաժանել մի քանի խմբերի. Դրանցից առաջինը բաղկացած է հինգ պոլիէդրներից, որոնք ստացվում են պլատոնական պինդ մարմիններից՝ դրանց կտրման արդյունքում։ Կտրված մարմինը այն մարմինն է, որի վերին մասը կտրված է: Պլատոնական պինդ մարմինների համար կրճատումը կարող է կատարվել այնպես, որ և՛ ստացված նոր դեմքերը, և՛ հների մնացած մասերը լինեն կանոնավոր բազմանկյուններ։ Այս կերպ կարելի է ձեռք բերել Արքիմեդյան հինգ պինդ մարմիններ՝ կտրված քառաեդրոն, կտրված վեցանիստ (խորանարդ), կտրված ութանիստ, կտրված տասներեքագեդրոն և կտրված իկոսաեդրոն (նկ. 2):

(Ա)	(բ)	(V)

(G)	(դ)

Նկար 2. Արքիմեդյան պինդ մարմիններ.

Ամերիկացի գիտնական Սմոլլին՝ ֆուլերենների փորձարարական հայտնագործության հեղինակներից մեկը, Նոբելյան դասախոսության մեջ խոսում է Արքիմեդի մասին (մ.թ.ա. 287-212 թթ.) որպես կտրված պոլիեդրների առաջին հետազոտողի, մասնավորապես. կտրված իկոսաեդրոն, սակայն, նախազգուշացումով, որ Արքիմեդը, հավանաբար, դրան է վերաբերվում, և, հավանաբար, իկոսաեդրոնները նրանից շատ առաջ են կտրվել։ Բավական է նշել Շոտլանդիայում հայտնաբերվածները և թվագրվել են մ.թ.ա. մոտ 2000 թվականին: հարյուրավոր քարե առարկաներ (ըստ երևույթին ծիսական նպատակներով)՝ գնդերի և զանազան պոլիեդրների տեսքով (մարմիններ, որոնք բոլոր կողմերից սահմանափակված են հարթ երեսներով), այդ թվում՝ իկոսաեդրոններ և տասներկուանիստներ։ Արքիմեդի բնօրինակ աշխատանքը, ցավոք, չի պահպանվել, և դրա արդյունքները հասել են մեզ, ինչպես ասում են, «երկրորդ ձեռքից»: Վերածննդի ժամանակ ամեն ինչ Արքիմեդյան պինդ մարմիններմեկը մյուսի հետևից կրկին «բացահայտվեցին». Ի վերջո, Կեպլերը 1619 թ.-ին իր Harmonice Mundi գրքում տվել է Արքիմեդյան պինդ մարմինների ամբողջ հավաքածուի համապարփակ նկարագրությունը՝ պոլիեդրաները, որոնց յուրաքանչյուր երեսը կանոնավոր բազմանկյուն է, և բոլոր գագաթները գտնվում են համարժեք դիրքերում (ինչպես մոլեկուլում ածխածնի ատոմները։ C 60): Արքիմեդյան պինդ մարմինները բաղկացած են առնվազն երկու տարբեր տեսակի բազմանկյուններից, ի տարբերություն 5-ի Պլատոնական պինդ մարմիններ, որոնց բոլոր դեմքերը նույնական են (ինչպես օրինակ C 20 մոլեկուլում)։

Նկար 3. Արքիմեդյան կտրված իկոսաեդրոնի կառուցումը
Պլատոնական իկոսաեդրոնից

Այսպիսով, ինչպես նախագծել Արքիմեդի կտրված իկոսաեդրոն-ից Պլատոնական իկոսաեդրոն? Պատասխանը պատկերված է Նկ. 3. Իրոք, ինչպես երևում է Աղյուսակից: 1, 5 դեմքեր միանում են իկոսաեդրոնի 12 գագաթներից որևէ մեկին: Եթե ​​յուրաքանչյուր գագաթում հարթությամբ կտրված են իկոսաեդրոնի 12 մասեր, ապա ձևավորվում է 12 նոր հնգանկյուն երես։ Գոյություն ունեցող 20 երեսների հետ միասին, որոնք նման կտրվածքից հետո եռանկյունաձևից վերածվեցին վեցանկյունի, դրանք կկազմեն կտրված իկոսաեդրոնի 32 երես: Այս դեպքում կլինեն 90 եզրեր և 60 գագաթներ:

8. Ոսկե հարաբերակցությունը տասներկու և իկոսաեդրոնում:

Նրանց մեջ առանձնահատուկ տեղ են գրավում տասներկուանիստը և նրա երկակի իկոսաեդրոնը Պլատոնական պինդ մարմիններ. Նախ պետք է ընդգծել, որ երկրաչափությունը տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոնուղղակիորեն կապված է ոսկե հարաբերակցության հետ: Իրոք, եզրեր տասներկուանիստ(նկ.1-դ) են հնգանկյուններ, այսինքն. կանոնավոր հնգանկյուններ՝ հիմնված ոսկե հարաբերակցության վրա: Եթե ​​ուշադիր նայեք իկոսաեդրոն(նկ. 1-դ), այնուհետև կարող եք տեսնել, որ նրա յուրաքանչյուր գագաթում զուգակցվում են հինգ եռանկյուններ, որոնց արտաքին կողմերը ձևավորվում են. հնգանկյուն. Միայն այս փաստերը բավական են մեզ համոզելու համար, որ ոսկե հարաբերակցությունը էական դեր է խաղում այս երկուսի ձևավորման մեջ. Պլատոնական պինդ մարմիններ .

Բայց ավելի խորը մաթեմատիկական ապացույցներ կան ոսկե հարաբերակցության հիմնական դերի համար իկոսաեդրոնԵվ տասներկուանիստ. Հայտնի է, որ այդ մարմիններն ունեն երեք կոնկրետ ոլորտ. Առաջին (ներքին) գունդը գրված է մարմնի մեջ և դիպչում է նրա դեմքերին։ Այս ներքին ոլորտի շառավիղը նշանակենք ըստ R i. Երկրորդ կամ միջին գունդը դիպչում է նրա կողերին։ Այս ոլորտի շառավիղը նշանակենք ըստ Ռմ.Վերջապես, երրորդ (արտաքին) գունդը նկարագրվում է մարմնի շուրջ և անցնում նրա գագաթներով։ Նրա շառավիղը նշանակենք ըստ Rc. Երկրաչափության մեջ ապացուցված է, որ նշված ոլորտների շառավիղների արժեքները տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոն, ունենալով միավորի երկարության եզր, արտահայտվում է t ոսկե համամասնությամբ (Աղյուսակ 3):

Rc	Ռմ	R i
Icosahedron
Դոդեկաեդրոն

Աղյուսակ 3. Ոսկե հարաբերակցությունը դոդեկաեդրոնի և իկոսաեդրոնի ոլորտներում

Նկատի ունեցեք, որ շառավիղների = հարաբերակցությունը նույնն է, ինչ համար իկոսաեդրոն, և համար տասներկուանիստ. Այսպիսով, եթե տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոնունեն միանման ներգծված գնդիկներ, ապա դրանց շրջագծված գնդերը նույնպես հավասար են միմյանց։ Այս մաթեմատիկական արդյունքի ապացույցը տրված է սկիզբներԷվկլիդես.

Երկրաչափության մեջ հայտնի են այլ հարաբերություններ տասներկուանիստԵվ իկոսաեդրոն, հաստատելով նրանց կապը ոսկե հարաբերակցության հետ։ Օրինակ, եթե վերցնենք իկոսաեդրոնԵվ տասներկուանիստմեկին հավասար եզրի երկարությամբ և հաշվարկել դրանց արտաքին մակերեսը և ծավալը, այնուհետև դրանք արտահայտվում են ոսկե համամասնությամբ (Աղյուսակ 4):

Աղյուսակ 4. Ոսկե համամասնությունը արտաքին մակերեսով և ծավալով

դոդեկաեդրոն և իկոսաեդրոն:

Այսպիսով, գոյություն ունի հին մաթեմատիկոսների կողմից ձեռք բերված հսկայական թվով հարաբերություններ, որոնք հաստատում են այն ուշագրավ փաստը, որ հենց Ոսկե հարաբերակցությունը տասներկուանիստի և իկոսաեդրոնի հիմնական համամասնությունն է, եւ այս փաստը հատկապես հետաքրքիր է այսպես կոչվածի տեսանկյունից «դոդեկաեդրալ-իկոսաեդրային ուսմունք»որը մենք կանդրադառնանք ստորև:

9. Ի՞նչ է օրացույցը:

Ռուսական ասացվածքն ասում է. «Ժամանակը պատմության աչքն է»: Այն ամենը, ինչ գոյություն ունի Տիեզերքում՝ Արևը, Երկիրը, աստղերը, մոլորակները, հայտնի և անհայտ աշխարհները, և այն ամենը, ինչ գոյություն ունի կենդանի և ոչ կենդանի էակների էության մեջ, ամեն ինչ ունի տարածություն-ժամանակային հարթություն: Ժամանակը չափվում է որոշակի տևողության պարբերաբար կրկնվող գործընթացների դիտարկմամբ:

Աստղագիտությունը ժամանակի չափումը հիմնում է երկնային մարմինների շարժման վրա, որն արտացոլում է երեք գործոն՝ Երկրի պտույտն իր առանցքի շուրջ, Լուսնի պտույտը Երկրի շուրջ և Երկրի շարժումը Արեգակի շուրջ։ Ժամանակի տարբեր հասկացությունները կախված են նրանից, թե այս երևույթներից որի՞ վրա է հիմնված ժամանակի չափումը։ Աստղագիտությունը գիտի սիդրեալ ժամանակ, արեգակնային ժամանակ, տեղական ժամանակ, ստանդարտ ժամանակ, մայրության ժամանակ, ատոմային ժամանակ և այլն:

Արևը, ինչպես մյուս բոլոր լուսատուները, մասնակցում է երկնքում շարժմանը: Բացի ամենօրյա շարժումից, Արեգակն ունի, այսպես կոչված, տարեկան շարժում, և երկնքում Արեգակի տարեկան շարժման ամբողջ ուղին կոչվում է խավարածիր: Եթե, օրինակ, մենք նկատենք համաստեղությունների գտնվելու վայրը որոշակի երեկոյան ժամին, և հետո ամեն ամիս կրկնենք այս դիտարկումը, ապա մեր առջև կհայտնվի երկնքի այլ պատկեր։ Աստղային երկնքի տեսքը շարունակաբար փոխվում է. յուրաքանչյուր սեզոն ունի երեկոյան համաստեղությունների իր նախշը, և յուրաքանչյուր նման օրինաչափություն կրկնվում է ամեն տարի: Հետևաբար, մեկ տարի անց Արևը վերադառնում է աստղերի համեմատ իր սկզբնական տեղը։

Աստղային աշխարհում կողմնորոշվելու հեշտության համար աստղագետները ամբողջ երկինքը բաժանել են 88 համաստեղությունների: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր անունը: 88 համաստեղություններից աստղագիտության մեջ առանձնահատուկ տեղ են զբաղեցնում նրանք, որոնց միջով անցնում է խավարածիրը։ Այս համաստեղությունները, բացի իրենց անուններից, ունեն նաև ընդհանուր անվանում՝ կենդանակերպ (հունարեն «zoop» բառից՝ կենդանի): Նրանք ներկայացնում են լայնորեն հայտնի խորհրդանիշներ (նշաններ) և այլաբանական պատկերներ ամբողջ աշխարհում, որոնք ներառված են օրացույցային համակարգերում:

Հայտնի է, որ խավարածրի երկայնքով շարժվելու ընթացքում Արեգակը հատում է 13 համաստեղություն։ Այնուամենայնիվ, աստղագետները անհրաժեշտ գտան Արեգակի ուղին բաժանել ոչ թե 13, այլ 12 մասի, միավորելով Կարիճ և Օֆիուչուս համաստեղությունները մեկ մեկի մեջ՝ Կարիճ ընդհանուր անվան տակ (ինչու՞):

Ժամանակի չափման խնդիրներով զբաղվում է հատուկ գիտություն, որը կոչվում է ժամանակագրություն։ Այն ընկած է մարդկության կողմից ստեղծված բոլոր օրացույցային համակարգերի հիմքում: Հին ժամանակներում օրացույցների ստեղծումը աստղագիտության կարևորագույն խնդիրներից էր։

Ի՞նչ է «օրացույցը» և ի՞նչ օրացույցային համակարգեր կան: Օրացույց բառը գալիս է լատիներեն calendarium բառից, որը բառացի նշանակում է «պարտքի գիրք»; Այդպիսի գրքերում նշվում էին յուրաքանչյուր ամսվա առաջին օրերը՝ օրացույցները, որոնց վրա Հին Հռոմում պարտապանները տոկոս էին վճարում։

Դեռևս հնագույն ժամանակներից Արևելյան և Հարավարևելյան Ասիայի երկրներում օրացույցներ կազմելիս մեծ նշանակություն է տրվել Արեգակի, Լուսնի, ինչպես նաև Արեգակնային համակարգի երկու հսկա մոլորակների՝ Յուպիտերի և Սատուրնի շարժման պարբերականությանը։ Հիմքեր կան ենթադրելու, որ 12-ամյա կենդանական ցիկլի երկնային սիմվոլիզմով Հովյան օրացույց ստեղծելու գաղափարը կապված է Արեգակի շուրջ Յուպիտերի պտույտի հետ, որը մոտավորապես 12 տարում ամբողջական պտույտ է կատարում Արեգակի շուրջ։ (11.862 տարի): Մյուս կողմից, Արեգակնային համակարգի երկրորդ հսկա մոլորակը՝ Սատուրնը, մոտ 30 տարում (29,458 տարի) լրիվ պտույտ է կատարում Արեգակի շուրջ։ Ցանկանալով ներդաշնակեցնել հսկա մոլորակների շարժման ցիկլերը՝ հին չինացիների մոտ առաջացել է Արեգակնային համակարգի 60-ամյա ցիկլը ներկայացնելու գաղափարը: Այս ցիկլի ընթացքում Սատուրնը 2 ամբողջական պտույտ է կատարում Արեգակի շուրջ, իսկ Յուպիտերը՝ 5։

Տարեկան օրացույցներ ստեղծելիս օգտագործվում են աստղագիտական ​​երևույթներ՝ օրվա և գիշերվա փոփոխություն, լուսնային փուլերի փոփոխություն և եղանակների փոփոխություն։ Տարբեր աստղագիտական ​​երևույթների օգտագործումը հանգեցրեց տարբեր ժողովուրդների մոտ երեք տեսակի օրացույցների ստեղծմանը` լուսնային` հիմնված Լուսնի շարժման վրա, արևային` Արեգակի շարժման վրա հիմնված և լուսնային:

10. Եգիպտական ​​օրացույցի կառուցվածքը

Արեգակնային առաջին օրացույցներից մեկը եգիպտականն էր, որը ստեղծվել է մ.թ.ա 4-րդ հազարամյակում։ Եգիպտական ​​օրացուցային տարին բաղկացած էր 360 օրից։ Տարին բաժանված էր 12 ամսվա՝ յուրաքանչյուրը ուղիղ 30 օրով։ Սակայն ավելի ուշ պարզվեց, որ օրացուցային տարվա այս երկարությունը չի համապատասխանում աստղագիտականին։ Իսկ հետո եգիպտացիները օրացուցային տարվան ավելացրել են 5 օրվա «պոչ», որոնք, սակայն, ամիսների մաս չեն եղել։ Սրանք հարևան օրացուցային տարիները կապող 5 տոներ էին։ Այսպիսով, եգիպտական ​​օրացուցային տարին ուներ հետևյալ թվային կառուցվածքը՝ 365 = 12ґ 30 + 5։ Նշենք, որ եգիպտական ​​օրացույցը ժամանակակից օրացույցի նախատիպն է։

Հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ են եգիպտացիները օրացուցային տարին բաժանել 12 ամսվա։ Չէ՞ որ կային օրացույցներ՝ տարվա տարբեր ամիսներով։ Օրինակ՝ մայաների օրացույցում տարին բաղկացած էր 18 ամսից՝ ամսական 20 օրով։ Եգիպտական ​​օրացույցի հետ կապված հաջորդ հարցը. ինչու՞ յուրաքանչյուր ամիս ուներ ուղիղ 30 օր (ավելի ճիշտ՝ օրեր): Որոշ հարցեր կարող են առաջանալ նաև ժամանակի չափման եգիպտական ​​համակարգի վերաբերյալ, մասնավորապես՝ կապված ժամանակի այնպիսի միավորների ընտրության հետ, ինչպիսիք են ժամ, րոպե, վայրկյան: Մասնավորապես, հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ է ժամի միավորն ընտրվել այնպես, որ օրվա մեջ տեղավորվի ուղիղ 24 անգամ, այսինքն՝ ինչո՞ւ 1 օր = 24 (2½ 12) ժամ։ Հաջորդը. ինչու՞ 1 ժամ = 60 րոպե, և 1 րոպե = 60 վայրկյան: Նույն հարցերը վերաբերում են անկյունային մեծությունների միավորների ընտրությանը, մասնավորապես՝ ինչո՞ւ է շրջանագիծը բաժանվում 360°-ի, այսինքն՝ ինչո՞ւ 2p =360° =12ґ 30°։ Այս հարցերին գումարվում են նաև ուրիշներ, մասնավորապես. ինչու՞ աստղագետները նպատակահարմար գտան հավատալ, որ կենդանակերպի 12 նշաններ կան, թեև իրականում Արեգակը խավարածրի երկայնքով իր շարժման ընթացքում հատում է 13 համաստեղություններ։ Եվ ևս մեկ «տարօրինակ» հարց. ինչու՞ բաբելոնյան թվային համակարգը ուներ շատ անսովոր հիմք՝ 60 թիվը:

11. Եգիպտական ​​օրացույցի կապը տասներկուանիստի թվային բնութագրերի հետ.

Վերլուծելով եգիպտական ​​օրացույցը, ինչպես նաև ժամանակի և անկյունային արժեքների չափման եգիպտական ​​համակարգերը, մենք գտնում ենք, որ չորս թվեր կրկնվում են զարմանալի կայունությամբ՝ 12, 30, 60 և դրանցից ստացված թիվը 360 = 12ґ 30: Հարց է առաջանում. Կա՞ որևէ հիմնարար գիտական ​​գաղափար, որը կարող է պարզ և տրամաբանական բացատրություն տալ եգիպտական ​​համակարգերում այս թվերի օգտագործման համար:

Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք ևս մեկ անգամ անդրադառնանք Նկ. 3.1-դ. Հիշենք, որ տասներկուանիստի բոլոր երկրաչափական հարաբերությունները հիմնված են ոսկե հարաբերակցության վրա:

Արդյո՞ք եգիպտացիները գիտեին տասներկուանիստը: Մաթեմատիկայի պատմաբանները խոստովանում են, որ հին եգիպտացիները տեղեկություններ ունեին կանոնավոր պոլիեդրների մասին։ Բայց արդյո՞ք նրանք գիտեին բոլոր հինգ կանոնավոր պոլիէդրները, մասնավորապես տասներկուանիստը և իկոսաեդրոնը, որպես դրանցից ամենաբարդը: Հին հույն մաթեմատիկոս Պրոկլոսը կանոնավոր պոլիեդրների կառուցումը վերագրում է Պյութագորասին։ Բայց Պյութագորասը շատ մաթեմատիկական թեորեմներ և արդյունքներ (մասնավորապես, Պյութագորասի թեորեմը) վերցրեց հին եգիպտացիներից Եգիպտոս կատարած իր շատ երկար «գործուղման» ընթացքում (ըստ որոշ տեղեկությունների, Պյութագորասը Եգիպտոսում ապրել է 22 տարի): Հետևաբար, կարելի է ենթադրել, որ Պյութագորասը կարող է նաև հին եգիպտացիներից (և միգուցե հին բաբելոնացիներից, քանի որ ըստ լեգենդի Պյութագորասը հին Բաբելոնում ապրել է) գիտելիքներ է վերցրել հին եգիպտացիներից: Բայց կան այլ, ավելի համոզիչ ապացույցներ, որ եգիպտացիները տեղեկություններ ունեին բոլոր հինգ կանոնավոր պոլիեդրների մասին։ Մասնավորապես, Բրիտանական թանգարանում պահվում է Պտղոմեոսյան դարաշրջանի մածուկ, որն ունի իկոսաեդրոնի ձև, այսինքն՝ «Պլատոնական պինդ»՝ դոդեկաեդրոնին կրկնակի: Այս բոլոր փաստերը մեզ իրավունք են տալիս առաջ քաշել այն վարկածը, որ տասներկուանիստը հայտնի է եղել եգիպտացիներին։ Եվ եթե դա այդպես է, ապա այս վարկածից բխում է շատ ներդաշնակ համակարգ, որը թույլ է տալիս բացատրել եգիպտական ​​օրացույցի ծագումը և միևնույն ժամանակ ժամանակային ընդմիջումների և երկրաչափական անկյունների չափման եգիպտական ​​համակարգի ծագումը:

12. Արեգակնային համակարգի ցիկլերի ներդաշնակություն.

Նախկինում մենք պարզեցինք, որ տասներկուանիստն ունի 12 դեմք (հնգանկյուն), 30 եզր և 60 հարթ անկյուն իր մակերեսին (Աղյուսակ 3.1): Եթե ​​ելնենք այն վարկածից, որ եգիպտացիները գիտեին տասներկուանիստը և նրա թվային բնութագրերը 5, 12, 30. 60, ապա պատկերացրեք նրանց զարմանքը, երբ նրանք հայտնաբերեցին, որ նույն թվերն արտահայտում են Արեգակնային համակարգի ցիկլերը, այն է՝ 12-ամյա ցիկլը։ Յուպիտերի, Սատուրնի 30-ամյա ցիկլը և, վերջապես, Արեգակնային համակարգի 60-ամյա ցիկլը։ Միևնույն ժամանակ, Արեգակնային համակարգի հիմնական ցիկլը և Յուպիտերի ցիկլը կապված են հետևյալ թվային հարաբերակցությամբ՝ 60 = 12ґ 5 (որը, ի դեպ, համընկնում է Տիեզերքի սանդղակի հիերարխիայի թվային կառուցվածքի հետ։) . Այսպիսով, գոյություն ունի խորը մաթեմատիկական կապ այնպիսի կատարյալ տարածական գործչի միջև, ինչպիսին է տասներկուանիստը և Արեգակնային համակարգը: Այս եզրակացությունն են արել հին գիտնականները։ Սա հանգեցրեց նրան, որ տասներկուանիստը ընդունվեց որպես «հիմնական գործիչ», որը խորհրդանշում էր Տիեզերքի ներդաշնակությունը: Եվ այնուհետև եգիպտացիները որոշեցին, որ իրենց բոլոր հիմնական համակարգերը (օրացույցային համակարգ, ժամանակի չափման համակարգ, անկյունների չափման համակարգ) պետք է համապատասխանեն տասներկուանիստի թվային պարամետրերին: Քանի որ, ըստ հների, Արեգակի շարժումը խավարածրի երկայնքով խիստ շրջանաձև էր, ուստի, ընտրելով Կենդանակերպի 12 նշաններ, որոնց միջև աղեղի հեռավորությունը ուղիղ 30° էր, եգիպտացիները զարմանալիորեն գեղեցիկ կերպով համակարգեցին Արեգակի տարեկան շարժումը։ խավարածրի երկայնքով իրենց օրացուցային տարվա կառուցվածքով. մեկ ամիսը համապատասխանում էր Արեգակի շարժմանը երկու հարևան կենդանակերպի նշանների միջև խավարածրի երկայնքով: Ավելին, Արեգակի շարժումը մեկ աստիճանով համապատասխանում էր եգիպտական ​​օրացուցային տարվա մեկ օրվան։ Այս դեպքում խավարածածկը ավտոմատ կերպով բաժանվել է 360°-ի։ Յուրաքանչյուր օրը բաժանելով երկու մասի, հետևելով տասներկուանիստին, եգիպտացիները այնուհետև օրվա յուրաքանչյուր կեսը բաժանեցին 12 մասի (տասնյակի 12 երես) և դրանով իսկ ներկայացրին ժամը՝ ժամանակի ամենակարևոր միավորը: Մեկ ժամը բաժանելով 60 րոպեի (դյուդեկետրոնի մակերևույթի 60 հարթ անկյուն), եգիպտացիներն այսպիսով ներմուծեցին րոպեը՝ ժամանակի հաջորդ կարևոր միավորը։ Նույն կերպ նրանք ներմուծեցին երկրորդ՝ այն ժամանակվա ամենափոքր միավորը։

Այսպիսով, ընտրելով տասներկուանիստը որպես տիեզերքի գլխավոր «ներդաշնակ» պատկեր և խստորեն հետևելով 12, 30, 60 12, 30, 60 դոդեկաեդրոնի թվային բնութագրերին, եգիպտացիներին հաջողվեց կառուցել չափազանց ներդաշնակ օրացույց, ինչպես նաև ժամանակի և ժամանակի չափման համակարգեր։ անկյունային արժեքներ, որոնք գոյություն ունեն մինչ օրս: Այս համակարգերը լիովին համապատասխանում էին իրենց «ներդաշնակության տեսությանը», որը, ըստ որոշ տեղեկությունների, գոյություն ուներ հին եգիպտացիների շրջանում։ Այս տեսությունը հիմնված էր ոսկե հարաբերակցության վրա և առաջացավ հունական գիտության և մաթեմատիկայի վերելքից շատ առաջ։

Սրանք զարմանալի եզրակացություններ են, որոնք հետևում են տասներկուանիստը Արեգակնային համակարգի հետ համեմատելուց: Եվ եթե մեր վարկածը ճիշտ է (թող ինչ-որ մեկը փորձի հերքել այն), ապա հետևում է, որ մարդկությունը հազարամյակներ շարունակ ապրել է ոսկե հարաբերակցության նշանի տակ։ Եվ ամեն անգամ, երբ մենք նայում ենք մեր ժամացույցի թվատախտակին, որը նույնպես կառուցված է տասներկուանիստ 5,12, 30 և 60 թվային բնութագրերի օգտագործման վրա, մենք շոշափում ենք գլխավոր «Տիեզերքի առեղծվածը»՝ ոսկե հարաբերակցությունը, առանց. նույնիսկ իմանալով դա!

13. Մայաների օրացույցի և թվային համակարգի մասին։

Հայտնի է, որ մայաների օրացույցում օրացուցային տարին ունեցել է հետևյալ թվային կառուցվածքը՝ 1 տարի = 360 + 5 = 20ґ 18 + 5 օր, ինչը նշանակում է, որ մայաների տարին բաժանվել է 18 ամիսների՝ յուրաքանչյուրը 20 օր։ 20 և 360 թվերը մայաներն օգտագործել են որպես իրենց թվային համակարգի «հանգույց»: Այնուամենայնիվ, իր կառուցվածքով մայաների օրացուցային տարին նման էր եգիպտական ​​օրացուցային տարվա կառուցվածքին. 1 տարի = 360 + 5 = 12ґ 30 + 5 օր, որում 12 և 30 թվերը տասներկուանիստի թվերն էին: Բայց ո՞րն է մայաների օրացույցի 20 թիվը: Եկեք նորից դիմենք իկոսաեդրոնին և տասներկուանիստին: Այս «սուրբ» թվերն ունեն ևս մեկ «սուրբ» թվային հատկանիշ՝ գագաթների թիվը, որը նույնն է տասներկու և իկոսաեդրոնի համար և հավասար է 20 թվին: Այսպիսով, հին մայաները, անկասկած, օգտագործել են դոդեկաեդրոնի և իկոսաեդրոնի այս թվային բնութագիրը իրենց օրացույցում (տարին բաժանելով 20 ամսվա) և իրենց թվային համակարգում (ընտրելով 20 և 360 թվերը որպես իրենց թվային համակարգի «հանգույց» թվեր):

Ըստ Պլատոնի ստեղծագործությունների վերջին հրատարակության մեկնաբանի, նրա համար «բոլոր տիեզերական համաչափությունը հիմնված է ոսկե բաժանման կամ ներդաշնակ համամասնության սկզբունքի վրա»։ Ինչպես նշվեց, Պլատոնի տիեզերաբանությունը հիմնված է կանոնավոր պոլիեդրների վրա, որոնք կոչվում են Պլատոնական պինդ մարմիններ: Տիեզերքի «վերջից ծայր» ներդաշնակության գաղափարն անփոփոխ կապված էր այս հինգ կանոնավոր պոլիեդրներում դրա մարմնավորման հետ, որոնք արտահայտում էին աշխարհի համընդհանուր կատարելության գաղափարը: Իսկ այն փաստը, որ աշխարհի մարմինն ու համընդհանուր հոգին խորհրդանշող հիմնական «տիեզերական» գործիչը՝ տասներկուանիստը, հիմնված էր ոսկե հարաբերակցության վրա, վերջինիս տվեց հատուկ նշանակություն՝ տիեզերքի հիմնական համամասնության իմաստը:

Պլատոնի տիեզերագիտությունը դարձավ, այսպես կոչված, իկոսաեդրալ-դոթեկետրային վարդապետության հիմքը, որն այդ ժամանակվանից կարմիր թելի պես անցնում է ողջ մարդկության գիտության միջով: Այս վարդապետության էությունը կայանում է նրանում, որ դոդեկաեդրոնը և իկոսաեդրոնը բնության բնորոշ ձևեր են իր բոլոր դրսևորումներով՝ տիեզերքից մինչև միկրոտիեզերք:

Երկրի ձևի հարցը մշտապես զբաղեցրել է հին ժամանակների գիտնականների միտքը: Եվ երբ հաստատվեց Երկրի գնդաձև ձևի մասին վարկածը, առաջացավ այն միտքը, որ Երկիրն իր ձևով տասներկուանիստ է։ Այսպիսով, Սոկրատեսն արդեն գրել է. «Երկիրը, եթե նայեք նրան վերևից, կարծես 12 կտոր կաշվից կարված գնդակ լինի»:

Սոկրատեսի այս վարկածը հետագա գիտական ​​զարգացում գտավ ֆիզիկոսների, մաթեմատիկոսների և երկրաբանների աշխատություններում: Այսպիսով, ֆրանսիացի երկրաբան դը Բիմոնը և հայտնի մաթեմատիկոս Պուանկարեն կարծում էին, որ Երկրի ձևը դեֆորմացված տասներկուանիստ է:

Երկրի տասներկուանիստ ձևի մասին կարծիքը կիսեց նաև ռուս երկրաբան Ս.Կիսլիցինը։ Նա ենթադրեց, որ 400-500 միլիոն տարի առաջ տասներկուանիստ երկրագնդը վերածվել է գեոիկոսաեդրոնի: Սակայն նման անցումը թերի և թերի է ստացվել, ինչի արդյունքում գեոդոդեկաեդրոնը հայտնվել է իկոսաեդրոնի կառուցվածքում մակագրված։

Վերջերս մոսկվացի ինժեներներ Վ. Մակարովը և Վ. Մորոզովը մեկ այլ հետաքրքիր վարկած են առաջ քաշել Երկրի ձևի վերաբերյալ։ Նրանք կարծում են, որ Երկրի միջուկն ունի աճող բյուրեղի ձև և հատկություններ, որոնք ազդում են մոլորակի վրա տեղի ունեցող բոլոր բնական գործընթացների զարգացման վրա: Այս բյուրեղի ճառագայթները, ավելի ճիշտ, նրա ուժային դաշտը որոշում են Երկրի icosahedral-dodecahedral կառուցվածքը, որը դրսևորվում է նրանով, որ երկրակեղևում հայտնվում են երկրակեղևում մակագրված կանոնավոր պոլիեդրների կանխատեսումներ՝ icosahedron և dudecahedron: Նրանց 62 գագաթները և եզրերի միջնակետերը, որոնք հեղինակների կողմից կոչվում են հանգույցներ, ունեն մի շարք հատուկ հատկություններ, որոնք հնարավորություն են տալիս բացատրել որոշ անհասկանալի երևույթներ։

Վերջին տարիներին փորձարկվել է Երկրի icosahedral-dodecahedral ձևի մասին վարկածը։ Դա անելու համար գիտնականները դոդեկաեդրոնի առանցքը հավասարեցրին երկրագնդի առանցքի հետ և, պտտելով այս բազմանիստը դրա շուրջ, նկատեցին, որ դրա եզրերը համընկնում են երկրակեղևի հսկա անկարգությունների հետ (օրինակ՝ Միջինատլանտյան ստորջրյա լեռնաշղթայի հետ): Այնուհետև իկոսաեդրոնը որպես պոլիէդրոն ընդունելով՝ նրանք պարզեցին, որ դրա եզրերը համընկնում են երկրակեղևի ավելի փոքր բաժանումների հետ (լեռնաշղթաներ, խզվածքներ և այլն)։ Այս դիտարկումները հաստատում են այն վարկածը, որ երկրակեղևի տեկտոնական կառուցվածքը մոտ է տասներեքագեդրոնի և իկոսաեդրոնի ձևերին: Հիպոթետիկ գեոբյուրեղի հանգույցները, այսպես ասած, որոշակի անոմալիաների կենտրոններ են մոլորակի վրա՝ աշխարհի բոլոր կենտրոնները: ծայրահեղ մթնոլորտային ճնշման, դրանցում տեղակայված են փոթորիկների առաջացման վայրեր. icosahedron-ի հանգույցներից մեկում (Գաբոնում) հայտնաբերվել է «բնական ատոմային ռեակտոր», որը դեռ գործում էր 1,7 միլիարդ տարի առաջ։ Պոլիեդրաների շատ հանգույցներ կապված են հսկա հանքային հանքավայրերի հետ (օրինակ՝ Տյումենի նավթի հանքավայրը), կենդանական աշխարհի անոմալիաները (Բայկալ լիճը), մարդկային մշակույթների զարգացման կենտրոնները (Հին Եգիպտոս, Մոհենջո-Դարոյի նախահնդկական քաղաքակրթությունը, Հյուսիսային մոնղոլական և այլն): Այս բոլոր օրինակները հաստատում են Սոկրատեսի ինտուիցիայի զարմանալի խորաթափանցությունը։

Ամեն ինչի մասին երկրաչափական պատկերացումների էությունը ամերիկացի հետազոտող Դ. Ուինթերի աշխատանքն է, ով ղեկավարում է «Մոլորակային սրտի բաբախյուններ» խումբը: Նա ձևի իդեալի՝ միասնական «ոսկե հարաբերակցության» քարոզիչն է, որը «ոսկե շղթայի» պես միացնում է գենն ու Տիեզերքը։ Վերցնելով Երկրի իկոսաեդրալ-դոթեկետրային ձևի հայեցակարգը, Ուինթերն այն ավելի է զարգացնում: Նա նշում է, որ 26000 տարվա ընթացքում Երկրի պտտման առանցքի նկարագրած անկյունը 32° է։ Սա ճիշտ հավասար է այն անկյունին, որով խորանարդը կարող է թեքվել, որպեսզի այն պտտվի իր առանցքի շուրջը (հինգ կանգառներով) և ստացվի տասներկուանիստ: Ըստ Ուինթերի՝ Երկրի էներգիայի շրջանակը իկոսաեդրոնի մեջ մտցված տասներեքագեդրոն է, որն, իր հերթին, մտցվում է երկրորդ դոդեկաեդրոնի մեջ։ Այս պոլիեդրների միջև երկրաչափական հարաբերությունը ոսկե հարաբերակցությունն է:

Դոդեկետրային կառուցվածքը, ըստ Ուինթերի, բնորոշ է ոչ միայն Երկրի էներգետիկ շրջանակին, այլև կենդանի նյութի կառուցվածքին։ Եվ, թերևս, ամենակարևորը, կյանքի գենետիկ կոդի ԴՆԹ-ի կառուցվածքը պտտվող դոդեկաեդրոնի քառաչափ բացվածքն է (ժամանակի առանցքի երկայնքով): Այսպիսով, պարզվում է, որ ամբողջ Տիեզերքը՝ Մետագալակտիկայից մինչև կենդանի բջիջ, կառուցված է մեկ սկզբունքով՝ տասներեքագեդրոնը և իկոսաեդրոնը, որոնք անսահմանորեն գրված են միմյանց մեջ, գտնվում են ոսկե հարաբերակցության համամասնությամբ:

Եվ ահա աստղագիտության մեջ տասներկու-իկոսաեդրային վարդապետության պտղաբերության ևս մեկ հաստատում, որը տրված է Վալերի Շիխիրինի «Տորուսային տեխնոլոգիաների, առաձգական մեխանիկայի զարգացման հեռանկարները և բնության մեջ նրանց ստեղծած «հրաշքները» հոդվածում: Շիխիրինի հայտարարության համաձայն՝ «բոլոր «հեղուկ» աստղերն ու մոլորակները, ինչպիսիք են Արևը, Յուպիտերը, Սատուրնը և այլն, ձևավորվել են գալակտիկայի աստղագլանման դեֆորմացիայի գերսառը գոտում/կենտրոնում, որը վերածվում է կանոնավոր բազմաեդրների։ , սառած լինելը։ Բնական առաձգական տորոիդ-գալակտիկայի փոխադրական շարժման ընթացքում՝ շրջվելով դեպի տաք գոտի, այս աստղերն ու մոլորակները հալվեցին, այսինքն՝ դարձան հեղուկ, գոնե մակերեսի վրա, և նրա եզրերի հետ միասին լցվեցին պոլիէդրոնի երեսները։ Յապետուսը Սատուրնի արբանյակն է, չունի մթնոլորտ, չի հալվել իր հալվելու համար անբավարար ջերմաստիճանի պատճառով (քիմիական բաղադրություն)։ Այսինքն՝ այն ունի կոշտ ապակեպատ մակերես՝ ճաղատ կետ, որից ամբողջ փոշին, եթե եղել է, ուղղակի քշվել է արտաքին տարածություն, և Յապետուսը մնացել է «որում ծնվել է մայր Գալակտիսը», այսինքն՝ կանոնավոր։ բազմանիստ - տասներկուանիստ: Ավելին, Յապետուսի մակերևույթի վրա (նկ. 3, ստորին միջնամաս) պարզ երևում է այսպես կոչված «Մաջինոտի գիծը»՝ լեռնաշղթան, որը շրջում է մոլորակը հենց հասարակածի երկայնքով, կարծես այն բաժանում է երկու հավասար մասերի։ Սա ոչ այլ ինչ է, քան փորվածք (փորվածք, փորվածք, ծայր, ծոց, ելուստ)՝ գլանափաթեթների եզրերի միջև ընկած բացվածքի միջով խաչաձև պարուրաձև գլորման ժամանակ սեղմված ավելորդ նյութը»:

Բրինձ. 3. Յուպիտերի արբանյակը՝ Յապետուսն ունի տասներկուանիստի ձև

15. Իկոսաեդրոնի դերը մաթեմատիկայի զարգացման գործում.

Գիտության մեջ լայնորեն հայտնի է ականավոր երկրաչափ Ֆելիքս Քլայնի անունը։ Քլայնի հիմնական աշխատությունները նվիրված են ոչ էվկլիդյան երկրաչափությանը, շարունակական խմբերի տեսությանը, հանրահաշվական հավասարումների տեսությանը, էլիպսային ֆունկցիաների տեսությանը և ավտոմորֆ ֆունկցիաների տեսությանը։ Քլայնը ուրվագծել է իր գաղափարները երկրաչափության ոլորտում իր «Նոր երկրաչափական հետազոտությունների համեմատական ​​դիտարկում» (1872) աշխատությունում, որը հայտնի է որպես Էրլանգենյան ծրագիր։ Ի լրումն Էրլանգենի ծրագրի և մաթեմատիկական այլ ակնառու նվաճումների, Ֆելիքս Քլայնի հանճարը դրսևորվեց նաև նրանով, որ 100 տարի առաջ նա կարողացավ գուշակել Պլատոնական պինդ մարմինների, մասնավորապես իկոսաեդրոնի կարևոր դերը ապագա զարգացման մեջ: գիտություն, մասնավորապես մաթեմատիկա։ 1884 թվականին (հիշենք այս տարի) Ֆելիքս Քլայնը հրատարակեց մեկ այլ գիրք՝ «Դասախոսություններ իկոսաեդրոնի և հինգերորդ աստիճանի հավասարումների լուծումը»՝ նվիրված իկոսաեդրոնի երկրաչափական տեսությանը։

Ինչպես հայտնի է, «կենդանի» բնության մեջ առանձնահատուկ տեղ է գրավում իկոսաեդրոնը (և դրա հետ մեկտեղ՝ երկակի դոդեկաեդրոնը). Որոշ վիրուսներ և ռադիոլարերներ ունեն իկոսաեդրային ձև, այսինքն՝ իկոսաեդրային ձևը և հնգանկյուն համաչափությունը հիմնարար նշանակություն ունեն կենդանի նյութի կազմակերպման համար։

Գրքի առաջին մասը սահմանում և բացատրում է իկոսաեդրոնի տեղը մաթեմատիկայի մեջ։ Ըստ Ֆ. Քլայնի, մաթեմատիկայի հյուսվածքը լայնորեն և ազատորեն տարածվում է առանձին տեսությունների թերթիկների մեջ: Բայց կան առարկաներ, որոնցում մի քանի թերթ զուգամիտվում են՝ յուրահատուկ ճյուղավորվող կետեր: Նրանց երկրաչափությունը կապում է թերթերը և թույլ է տալիս ֆիքսել տարբեր տեսությունների ընդհանուր մաթեմատիկական իմաստը: Իկոսաեդրոնը հենց այդպիսի մաթեմատիկական օբյեկտ է, ըստ Քլայնի: Քլայնը իկոսաեդրոնին վերաբերվում է որպես մաթեմատիկական օբյեկտի, որից տարբերվում են հինգ մաթեմատիկական տեսություններ՝ երկրաչափություն, Գալուայի տեսություն, խմբի տեսություն, անփոփոխ տեսություն և դիֆերենցիալ հավասարումներ։

Այսպիսով, Քլայնի հիմնական գաղափարը չափազանց պարզ է. «յուրաքանչյուր եզակի երկրաչափական առարկա այս կամ այն ​​կերպ կապված է իկոսաեդրոնի հատկությունների հետ»։

Ո՞րն է ականավոր մաթեմատիկոսի գաղափարների նշանակությունը ներդաշնակության տեսության տեսանկյունից։ Առաջին հերթին, որպես մաթեմատիկայի «հիմնական թերթիկները» միավորող առարկա ընտրվել է «Պլատոնական պինդ»-ը՝ ոսկե հարաբերակցության վրա հիմնված իկոսաեդրոնը։ Այստեղից, բնականաբար, բխում է այն միտքը, որ Ոսկե հատվածը հիմնական երկրաչափական գաղափարն է, որը, ըստ Քլայնի, կարող է միավորել բոլոր մաթեմատիկան։

Քլայնի ժամանակակիցները չկարողացան ճիշտ հասկանալ և գնահատել Քլայնի «իկոսաեդրալ» գաղափարի հեղափոխական բնույթը։ Դրա նշանակությունը հասկացվեց ուղիղ 100 տարի անց, այսինքն՝ միայն 1984 թվականին, երբ իսրայելցի ֆիզիկոս Դեն Շեխտմանը գրություն հրապարակեց, որը հաստատում էր հատուկ համաձուլվածքների (որոնք կոչվում են քվազիկիստալներ) գոյությունը, այսպես կոչված, «իկոսաեդրալ» սիմետրիկությամբ, այսինքն՝ 5-րդ կարգի համաչափությամբ։ , ինչը խստիվ արգելված է դասական բյուրեղագրությամբ։

Այսպիսով, դեռևս 19-րդ դարում Ֆելիքս Քլայնի փայլուն ինտուիցիան հանգեցրեց նրան այն մտքին, որ ամենահին երկրաչափական պատկերներից մեկը՝ իկոսաեդրոնը, մաթեմատիկայի հիմնական երկրաչափական պատկերն է։ Այսպիսով, Քլայնը 19-րդ դ. նոր շունչ հաղորդեց Տիեզերքի կառուցվածքի «տասնյակային-իկոսաեդրային գաղափարի» զարգացմանը, որի հետևորդները մեծ գիտնականներ և փիլիսոփաներ էին. Պլատոնը, ով իր տիեզերագիտությունը կառուցեց կանոնավոր պոլիեդրների հիման վրա, Էվկլիդեսը, ով նվիրեց իր «Սկզբունքները»: Պլատոնական պինդ մարմինների տեսության բացահայտմանը, Յոհաննես Կեպլերին, ով օգտագործել է պլատոնական պինդ մարմինները՝ ստեղծելով իր Տիեզերական գավաթը՝ արեգակնային համակարգի շատ ինքնատիպ երկրաչափական մոդել։

16. Կանոնավոր բազմանիստները մեր շուրջն են:

Աշխարհի կառուցվածքը քննարկելիս չի կարելի անտեսել կենդանի բնությունը։ Բնության մեջ հայտնաբերվու՞մ են կանոնավոր պոլիեդրաներ:

1. Կենդանի բնության մեջ հանդիպում են նաեւ կանոնավոր բազմանիստ։ Օրինակ՝ միաբջիջ օրգանիզմի կմախքը ֆեոդարիա (Circogoniaicosahedra) ունի իկոսաեդրոնի ձև: Ֆեոդարիայի մեծ մասը ապրում է ծովի խորքերում և ծառայում է որպես կորալային ձկների որս։ Սակայն ամենապարզ կենդանին փորձում է իրեն պաշտպանել՝ կմախքի 12 գագաթներից դուրս են գալիս 12 խոռոչ ասեղներ։ Ասեղների ծայրերն ունեն խայթոցներ, որոնք էլ ավելի արդյունավետ են դարձնում ասեղը պաշտպանելու հարցում:

Ինչո՞վ է պայմանավորված ֆեոդարիայի այս բնական երկրաչափականացումը: Ըստ երևույթին, նույն թվով երես ունեցող բոլոր պոլիեդրներից ամենափոքր մակերեսով ամենամեծ ծավալն ունի իկոսաեդրոնը։ Այս հատկությունն օգնում է ծովային օրգանիզմին հաղթահարել ջրի սյունակի ճնշումը։

2. Հետաքրքիր է, որ իկոսաեդրոնը դարձել է կենսաբանների ուշադրության կենտրոնում ոմանց ձևի հետ կապված վեճերում. վիրուսներ. Վիրուսը չի կարող կատարյալ կլոր լինել, ինչպես նախկինում կարծում էին։ Որպեսզի որոշեն դրա ձևը, նրանք վերցրեցին տարբեր պոլիեդրաներ և լույսն ուղղեցին նրանց վրա նույն անկյուններով, ինչ ատոմների հոսքը վիրուսի վրա: Պարզվեց, որ միայն մեկ պոլիէդրոնն է տալիս ճիշտ նույն ստվերը՝ իկոսաեդրոնը: Նրա երկրաչափական հատկությունները թույլ են տալիս պահպանել գենետիկական տեղեկատվությունը։ Կանոնավոր պոլիեդրաները առավել շահավետ գործիչներ են: Եվ բնությունը լայնորեն օգտագործում է դա: Մեզ ծանոթ որոշ նյութերի բյուրեղները կանոնավոր պոլիեդրների տեսք ունեն։ Այսպիսով, խորանարդը փոխանցում է NaCl կերակրի աղի բյուրեղների ձևը, ալյումինա-կալիումական շիբի մեկ բյուրեղն ունի ութանիստի ձև, ծծմբի պիրիտ FeS-ի բյուրեղը ունի տասներեքաձև, նատրիումի անտիմոնի սուլֆատը ունի ութանիստ ձև: քառաեդրոն, իսկ բորն ունի իկոսաեդրոնի ձև։

3. Կանոնավոր պոլիեդրաները ամենաշահավետ թվերն են: Եվ բնությունը լայնորեն օգտագործում է դա: Դա հաստատվում է որոշ բյուրեղների ձևով։ Վերցրեք գոնե սեղանի աղ , առանց որի մենք չենք կարող անել։ Հայտնի է, որ այն շատ լուծելի է ջրի մեջ և ծառայում է որպես էլեկտրական հոսանքի հաղորդիչ։ Իսկ կերակրի աղի բյուրեղները (NaCl) ունեն խորանարդի տեսք։

4. Արտադրության ընթացքում ալյումին օգտագործել ալյումին-կալիումական շիբ (K 12H 2 O), որի միաբյուրեղն ունի կանոնավոր ութանիստի ձև։

5. Առանց ծծմբաթթվի, երկաթի, ցեմենտի հատուկ տեսակների արտադրությունը չի կարող կատարվել ծծմբային պիրիտ (FeS): Այս քիմիական նյութի բյուրեղները դոդեկաեդրոնի ձև ունեն:

6. Անտիմոնի նատրիումի սուլֆատ (Na 5 (SbO 4 (SO 4))) գիտնականների կողմից սինթեզված նյութ, որն օգտագործվում է տարբեր քիմիական ռեակցիաներում:Բյուրեղ. անտիմոն նատրիումի սուլֆատունի քառանիստի ձև.

7. Վերջին կանոնավոր բազմանիստը - իկոսաեդրոնը փոխանցում է բյուրեղների ձևը. բոր (Բ). Ժամանակին բորն օգտագործվում էր առաջին սերնդի կիսահաղորդիչների ստեղծման համար։

Կանոնավոր պոլիեդրների շնորհիվ բացահայտվում են ոչ միայն երկրաչափական ձևերի զարմանալի հատկությունները, այլև բնական ներդաշնակությունը հասկանալու ուղիները։

Միջ եբնագիտական ​​հիպոթեզ, որի հեղինակները (80-ականների սկզբին) մոսկվացի ինժեներներ Վ.Մակարովը և Վ.Մորոզովն էին։ Նրանք կարծում են, որ Երկրի միջուկն ունի աճող բյուրեղի ձև և հատկություններ, որոնք ազդում են մոլորակի վրա տեղի ունեցող բոլոր բնական գործընթացների զարգացման վրա: Այս բյուրեղի ճառագայթները, ավելի ճիշտ, նրա ուժային դաշտը որոշում են Երկրի icosahedral-dodecahedral կառուցվածքը, որը դրսևորվում է նրանով, որ երկրակեղևում հայտնվում են երկրակեղևում մակագրված կանոնավոր պոլիեդրների կանխատեսումներ՝ icosahedron և dudecahedron: Նրանց 62 գագաթները և եզրերի միջնակետերը, որոնք հեղինակների կողմից կոչվում են հանգույցներ, ունեն մի շարք հատուկ հատկություններ, որոնք հնարավորություն են տալիս բացատրել որոշ անհասկանալի երևույթներ։

Եթե ​​դուք գծեք Հին աշխարհի ամենամեծ և ուշագրավ մշակույթների և քաղաքակրթությունների կենտրոնները երկրագնդի վրա, ապա կնկատեք օրինաչափություն դրանց գտնվելու վայրում՝ մոլորակի աշխարհագրական բևեռների և հասարակածի համեմատ: Շատ օգտակար հանածոների հանքավայրեր տարածվում են icosahedron-dodecahedron ցանցի երկայնքով: Այս եզրերի խաչմերուկում էլ ավելի զարմանալի բաներ են տեղի ունենում. ահա հնագույն մշակույթների և քաղաքակրթությունների կենտրոնները՝ Պերու, Հյուսիսային Մոնղոլիա, Հայիթի, Օբ մշակույթ և այլն: Այս կետերում կան մթնոլորտային ճնշման առավելագույն և նվազագույն չափեր, Համաշխարհային օվկիանոսի հսկա պտտահողմ, այստեղ՝ Շոտլանդական Լոխ Նես լիճը, Բերմուդյան եռանկյունին։ Երկրի հետագա ուսումնասիրությունները կարող են որոշել այս գեղեցիկ գիտական ​​վարկածի նկատմամբ վերաբերմունքը, որում, ինչպես երևում է, կարևոր տեղ են գրավում կանոնավոր պոլիեդրաները։

Եզրակացություն.

Աբստրակտի վրա աշխատելիս մենք ուսումնասիրեցինք կանոնավոր բազմանիստները, ուսումնասիրեցինք դրանց մոդելները, բացահայտեցինք և համակարգեցինք բազմաեզրներից յուրաքանչյուրի հատկությունները: Բացի այդ, մենք իմացանք, որ կանոնավոր պոլիեդրաները հին ժամանակներից գրավել են գիտնականների, շինարարների, ճարտարապետների և շատ ուրիշների ուշադրությունը։ Նրանք ապշած էին այս պոլիեդրների գեղեցկությամբ, կատարելությամբ և ներդաշնակությամբ։ Պյութագորացիներն այս բազմադարները համարում էին աստվածային և դրանք օգտագործում էին աշխարհի էության մասին իրենց փիլիսոփայական գրվածքներում։ Հին հույն գիտնական Պլատոնը մանրամասն նկարագրել է կանոնավոր պոլիեդրների հատկությունները։ Էվկլիդեսի հանրահայտ «Էլեմենտների» վերջին XIII գիրքը նվիրված է կանոնավոր պոլիեդրաներին։ Պոլիեդրաները նույնպես օգտագործվել են ավելի ուշ: Դա երևում է Յոհաննես Կեպլերի գիտական ​​աշխատություններից։

Ստախով Ա.Պ. Դոդեկադրոն, եգիպտական ​​օրացույցի գաղտնիքը, Արեգակնային համակարգի ցիկլերը և «Տիեզերքի թվաբանությունը» // «Երրորդության ակադեմիա», Մ., Էլ թիվ 77-6567, հրատարակություն 13065, 03/10/2006 թ.

Դպրոցական երկրաչափության մեջ կան հատուկ թեմաներ, որոնց դուք անհամբեր սպասում եք՝ ակնկալելով հանդիպման աներևակայելի գեղեցիկ նյութ: Նման թեմաները ներառում են «Կանոնավոր պոլիեդրաներ»:Այստեղ ոչ միայն բացվում է յուրահատուկ հատկություններով երկրաչափական մարմինների զարմանալի աշխարհ, այլեւ հետաքրքիր գիտական ​​վարկածներ։ Եվ հետո երկրաչափության դասը դառնում է ծանոթ դպրոցական առարկայի անսպասելի կողմերի մի տեսակ ուսումնասիրություն:

Ոչ մի երկրաչափական մարմին չունի այնպիսի կատարելություն և գեղեցկություն, որքան կանոնավոր բազմադարները։ «Կան ցնցող փոքր թվով կանոնավոր պոլիեդրաներ,- մի անգամ գրել է Լ. Քերոլը,- բայց թվով այս շատ համեստ ջոկատը կարողացավ ներթափանցել տարբեր գիտությունների խորքերը»:

Ո՞րն է այս անհարգալից փոքր թիվը և ինչու են դրանք այդքան շատ: Ինչքան? Պարզվում է՝ կան ուղիղ հինգը՝ ոչ ավել, ոչ պակաս։ Դա կարելի է հաստատել՝ զարգացնելով ուռուցիկ բազմանիստ անկյուն։ Փաստորեն, ցանկացած կանոնավոր բազմանկյուն ստանալու համար, ըստ դրա սահմանման, յուրաքանչյուր գագաթում պետք է համընկնի նույն թվով դեմքեր, որոնցից յուրաքանչյուրը կանոնավոր բազմանկյուն է: Բազմաթև անկյան հարթ անկյունների գումարը պետք է լինի 360°-ից պակաս, հակառակ դեպքում բազմանիստ մակերես չի ստացվի։ Անհավասարությունների հնարավոր ամբողջական լուծումների թվարկում՝ 60կ< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Կանոնավոր պոլիեդրների անունները գալիս են Հունաստանից։ Հունարենից բառացիորեն թարգմանվել է «քառաթերոն», «ութանիստ», «վեցանիստ», «դյուդեկետրոն», «իկոսաեդրոն» նշանակում է «չորեքէջ», «ութանիստ», «վեցանիստ»: «դոդեկաեդրոն», «քսանեդրոն»։ Այս գեղեցիկ մարմիններին է նվիրված Էվկլիդեսի տարրերի 13-րդ գիրքը։ Դրանք նաև կոչվում են պլատոնական պինդ մարմիններ, քանի որ. նրանք կարևոր տեղ են գրավել տիեզերքի կառուցվածքի մասին Պլատոնի փիլիսոփայական հայեցակարգում։ Չորս պոլիեդրոններ անձնավորում էին չորս էություններ կամ «տարրեր»։ Քառաեդրոնը խորհրդանշում էր կրակը, քանի որ. դրա գագաթը ուղղված է դեպի վեր; icosahedron - ջուր, քանի որ այն ամենից «ուղղված» է. խորանարդ - երկիր, որպես առավել «կայուն»; octahedron - օդը, որպես առավել «օդային»: Հինգերորդ բազմանկյունը՝ տասներկուանիստը, մարմնավորում էր «այն ամենն, ինչ գոյություն ունի», խորհրդանշում էր ամբողջ տիեզերքը և համարվում էր գլխավորը։

Հին հույները ներդաշնակ հարաբերությունները համարում էին տիեզերքի հիմքը, ուստի նրանց չորս տարրերը կապված էին հետևյալ համամասնությամբ. հող/ջուր=օդ/կրակ. «Տարրերի» ատոմները Պլատոնը լարել է կատարյալ համահնչյուններով, ինչպես քնարի չորս լարերը։ Հիշեցնեմ, որ համահունչը հաճելի համահունչ է։ Պետք է ասել, որ պլատոնական պինդների մեջ յուրօրինակ երաժշտական ​​հարաբերությունները զուտ ենթադրական են և չունեն երկրաչափական հիմք։ Ո՛չ Պլատոնական պինդ մարմինների գագաթների թիվը, ո՛չ կանոնավոր բազմանիստների ծավալները, ո՛չ եզրերի կամ երեսների թիվը կապված չեն այս հարաբերություններով։

Այս մարմինների հետ կապված, տեղին կլինի ասել, որ տարրերի առաջին համակարգը, որը ներառում էր չորս տարրեր՝ հող, ջուր, օդ և կրակ, սրբադասվել է Արիստոտելի կողմից։ Այս տարրերը երկար դարեր մնացել են տիեզերքի չորս հիմնաքարերը: Միանգամայն հնարավոր է դրանք նույնացնել մեզ հայտնի նյութի չորս վիճակների հետ՝ պինդ, հեղուկ, գազային և պլազմա:

Աշխարհի ներդաշնակ կառուցվածքի Ի.Կեպլերի համակարգում կարևոր տեղ է գրավել կանոնավոր պոլիեդրաները։ Ներդաշնակության, գեղեցկության և տիեզերքի մաթեմատիկորեն կանոնավոր կառուցվածքի նկատմամբ նույն հավատը Ի. Կեպլերին հանգեցրեց այն մտքին, որ քանի որ կան հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ, դրանց միայն վեց մոլորակ է համապատասխանում: Նրա կարծիքով՝ մոլորակների գնդերը փոխկապակցված են դրանց մեջ գրված պլատոնական պինդ մարմիններով։ Քանի որ յուրաքանչյուր կանոնավոր պոլիէդրոնի համար ներգծված և շրջագծված գնդերի կենտրոնները համընկնում են, ամբողջ մոդելը կունենա մեկ կենտրոն, որտեղ կտեղակայվի Արևը:

Կատարելով հսկայական հաշվողական աշխատանք՝ 1596 թվականին Ի. Կեպլերը հրապարակեց իր հայտնագործության արդյունքները «Տիեզերքի առեղծվածը» գրքում։ Նա խորանարդ է գրում Սատուրնի ուղեծրի ոլորտում, խորանարդի մեջ՝ Յուպիտերի գունդը, Յուպիտերի գունդը՝ քառաեդրոն, և այսպես շարունակ, Մարսի գունդը՝ տասներկու, Երկրի գունդը՝ իկոսաեդրոն, Վեներայի գունդ - ութանիստ, Մերկուրիի գունդ: Տիեզերքի առեղծվածը կարծես բաց է:

Այսօր մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ մոլորակների միջև եղած հեռավորությունները կապված չեն որևէ պոլիեդրի հետ։ Այնուամենայնիվ, հնարավոր է, որ առանց Ի.Կեպլերի «Տիեզերքի առեղծվածը», «Աշխարհի ներդաշնակությունը», կանոնավոր պոլիեդրներ, չէին լինի Ի.Կեպլերի երեք հայտնի օրենքները, որոնք կարևոր դեր են խաղում շարժման նկարագրության մեջ։ մոլորակների.

Էլ որտե՞ղ կարող եք տեսնել այս զարմանալի մարմինները: Այս դարասկզբի գերմանացի կենսաբան Է. Հեկելի «Բնության ձևերի գեղեցկությունը» շատ գեղեցիկ գրքում կարող եք կարդալ հետևյալ տողերը. գեղեցկությամբ և բազմազանությամբ գերազանցում են մարդկային արվեստի բոլոր ձևերը»: Այս գրքում ցուցադրված բնության արարածները գեղեցիկ են և համաչափ: Սա բնական ներդաշնակության անբաժանելի հատկություն է։ Բայց այստեղ կարելի է տեսնել նաև միաբջիջ օրգանիզմներ՝ ֆեոդարիա, որի ձևը ճշգրիտ արտացոլում է իկոսաեդրոնը։ Ինչո՞վ է պայմանավորված այս բնական երկրաչափականացումը: Թերևս նույն թվով դեմքեր ունեցող բոլոր պոլիեդրների պատճառով հենց իկոսաեդրոնն ունի ամենամեծ ծավալը և ամենափոքր մակերեսը։ Այս երկրաչափական հատկությունն օգնում է ծովային միկրոօրգանիզմին հաղթահարել ջրի սյունակի ճնշումը:

Հետաքրքիր է նաև, որ հենց իկոսաեդրոնն է դարձել կենսաբանների ուշադրության կենտրոնում վիրուսների ձևի վերաբերյալ նրանց վեճերում։ Վիրուսը չի կարող կատարյալ կլոր լինել, ինչպես նախկինում կարծում էին։ Նրա ձևը հաստատելու համար նրանք վերցրել են տարբեր պոլիեդրներ և լույսն ուղղել նրանց վրա նույն անկյուններով, ինչ ատոմների հոսքը վիրուսի վրա: Պարզվեց, որ միայն մեկ պոլիէդրոնն է տալիս ճիշտ նույն ստվերը՝ իկոսաեդրոնը: Դրա երկրաչափական հատկությունները, որոնք վերը նշված են, թույլ են տալիս պահպանել գենետիկական տեղեկատվությունը: Կանոնավոր պոլիեդրաները առավել շահավետ գործիչներ են: Եվ բնությունը լայնորեն օգտագործում է դա: Մեզ ծանոթ որոշ նյութերի բյուրեղները կանոնավոր պոլիեդրների տեսք ունեն։ Այսպիսով, խորանարդը փոխանցում է NaCl կերակրի աղի բյուրեղների ձևը, ալյումինա-կալիումական շիբը (KAlSO4)2 12H2O-ն ունի ութանիստի ձև, ծծմբի պիրիտի բյուրեղը՝ FeS՝ տասներեքաձև, նատրիումի հակամոնիտի ձև: ունի քառաեդրոնի ձև, իսկ բորը՝ իկոսաեդրոնի։ Կանոնավոր պոլիեդրաները որոշում են որոշ քիմիական նյութերի բյուրեղային ցանցերի ձևը: Այս միտքը կներկայացնեմ հետևյալ խնդրով.

Առաջադրանք. CH4 մեթանի մոլեկուլի մոդելն ունի կանոնավոր քառաեդրոնի ձև՝ չորս գագաթներում ջրածնի ատոմներով, իսկ կենտրոնում՝ ածխածնի ատոմով։ Որոշեք կապի անկյունը երկու CH կապերի միջև:

Լուծում.Քանի որ կանոնավոր քառաեդրոնն ունի վեց հավասար եզրեր, կարելի է ընտրել այնպիսի խորանարդ, որ նրա երեսների անկյունագծերը լինեն կանոնավոր քառաեդրոնի եզրեր (նկ. 2): Խորանարդի կենտրոնը նաև քառանիստի կենտրոնն է, քանի որ քառանիստի չորս գագաթները նույնպես խորանարդի գագաթներն են, և դրանց շուրջ նկարագրված գունդը եզակիորեն որոշվում է չորս կետերով, որոնք չեն գտնվում նույն հարթության մեջ։ Երկու CH կապերի միջև ցանկալի j անկյունը հավասար է AOC անկյան: AOC եռանկյունը հավասարաչափ է: Հետևաբար, որտեղ a-ն խորանարդի կողմն է, d-ն կողային երեսի անկյունագծի երկարությունն է կամ քառանիստի եզրը: Այսպիսով, որտեղի՞ց է առաջանում =54.73561 O և j = 109.47 O:

Պյութագորասի, Պլատոնի, Ի.Կեպլերի գաղափարները կանոնավոր պոլիեդրների աշխարհի ներդաշնակ կառուցվածքի հետ կապի մասին մեր ժամանակներում արդեն գտել են իրենց շարունակությունը հետաքրքիր գիտական ​​վարկածում, որի հեղինակները (80-ականների սկզբին) մոսկովյան ինժեներներ էին։ Վ.Մակարով և Վ.Մորոզով. Նրանք կարծում են, որ Երկրի միջուկն ունի աճող բյուրեղի ձև և հատկություններ, որոնք ազդում են մոլորակի վրա տեղի ունեցող բոլոր բնական գործընթացների զարգացման վրա: Այս բյուրեղի ճառագայթները, ավելի ճիշտ՝ նրա ուժային դաշտը որոշում են Երկրի իկոսաեդրալ-դոդեկետրային կառուցվածքը (նկ. 3), որը դրսևորվում է նրանով, որ երկրակեղևում հայտնվում են երկրակեղևում մակագրված կանոնավոր պոլիեդրների ելուստները. իկոսաեդրոն և դոդեկաեդրոն: Նրանց 62 գագաթները և եզրերի միջնակետերը, որոնք հեղինակների կողմից կոչվում են հանգույցներ, ունեն մի շարք հատուկ հատկություններ, որոնք հնարավորություն են տալիս բացատրել որոշ անհասկանալի երևույթներ։

Եթե ​​դուք գծեք Հին աշխարհի ամենամեծ և ուշագրավ մշակույթների և քաղաքակրթությունների կենտրոնները երկրագնդի վրա, ապա կնկատեք օրինաչափություն դրանց գտնվելու վայրում՝ մոլորակի աշխարհագրական բևեռների և հասարակածի համեմատ: Շատ օգտակար հանածոների հանքավայրեր տարածվում են icosahedron-dodecahedron ցանցի երկայնքով: Այս եզրերի խաչմերուկում էլ ավելի զարմանալի բաներ են տեղի ունենում. ահա հնագույն մշակույթների և քաղաքակրթությունների կենտրոնները՝ Պերու, Հյուսիսային Մոնղոլիա, Հայիթի, Օբ մշակույթ և այլն: Այս կետերում կան մթնոլորտային ճնշման առավելագույն և նվազագույն չափեր, Համաշխարհային օվկիանոսի հսկա պտտահողմ, այստեղ՝ Շոտլանդական Լոխ Նես լիճը, Բերմուդյան եռանկյունին։ Երկրի հետագա ուսումնասիրությունները կարող են որոշել այս գեղեցիկ գիտական ​​վարկածի նկատմամբ վերաբերմունքը, որում, ինչպես երևում է, կարևոր տեղ են գրավում կանոնավոր պոլիեդրաները։

Այսպիսով, պարզվեց, որ կան ուղիղ հինգ կանոնավոր բազմաեզրեր: Ինչպե՞ս կարող ենք որոշել դրանց եզրերի, երեսների և գագաթների քանակը: Դա դժվար չէ անել քիչ թվով եզրեր ունեցող պոլիեդրների համար, բայց ինչպե՞ս, օրինակ, կարելի է նման տեղեկություն ստանալ իկոսաեդրոնի համար: Հայտնի մաթեմատիկոս Լ.Էյլերը ստացել է B+G-P=2 բանաձևը, որը կապում է ցանկացած բազմանիստ գագաթների /B/, դեմքերի /G/ և եզրերի /P/ թիվը։ Այս բանաձեւի պարզությունը կայանում է նրանում, որ այն կապված չէ ոչ հեռավորության, ոչ անկյունների հետ: Կանոնավոր բազմանիստի եզրերի, գագաթների և երեսների թիվը որոշելու համար մենք նախ գտնում ենք k = 2y - xy + 2x թիվը, որտեղ x-ը մեկ դեմքին պատկանող եզրերի թիվն է, y-ը հանդիպող դեմքերի թիվն է: մեկ գագաթ. Կանոնավոր բազմանիստ երեսների, գագաթների և եզրերի քանակը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևեր: Դրանից հետո հեշտ է լրացնել աղյուսակը, որը տեղեկատվություն է տալիս կանոնավոր պոլիեդրների տարրերի մասին.

բազմանիստ Գ Վ Ռ

քառաեդրոն 4-4-6

վեցանկյուն 6-8-12

ութանիստ 8-6-12

տասներկուանիստ 12-20-30

icosahedron 20-12-30

Եվ ևս մեկ հարց է առաջանում կանոնավոր բազմանիստների հետ կապված՝ հնարավո՞ր է դրանցով լրացնել տարածությունը, որ դրանց միջև բացեր չմնան։ Այն առաջանում է կանոնավոր բազմանկյունների անալոգիայով, որոնցից մի քանիսը կարող են լրացնել հարթությունը։ Պարզվում է, որ տարածությունը կարելի է լրացնել միայն մեկ կանոնավոր բազմանիստ խորանարդի օգնությամբ։ Տիեզերքը կարող է լցված լինել նաև ռոմբիկ դոդեկաեդրոններով։ Սա հասկանալու համար պետք է լուծել խնդիրը։

Առաջադրանք.Օգտագործելով յոթ խորանարդներ, որոնք կազմում են տարածական «խաչ», կառուցեք ռոմբիկ դոդեկաեդրոն և ցույց տվեք, որ դրանք կարող են լրացնել տարածությունը:

Լուծում.Խորանարդները կարող են լրացնել տարածությունը: Դիտարկենք Նկար 4-ում ներկայացված խորանարդ ցանցի մի մասը: Մենք կթողնենք միջին խորանարդը անձեռնմխելի, և յուրաքանչյուր «եզրավոր» խորանարդի մեջ մենք հարթություններ կանցկացնենք բոլոր վեց զույգ հակադիր եզրերով: Այս դեպքում «եզրավոր» խորանարդները կբաժանվեն վեց հավասար բուրգերի՝ քառակուսի հիմքերով և կողային եզրերով, որոնք հավասար են խորանարդի անկյունագծի կեսին: Անձեռնմխելի խորանարդին կից բուրգերը վերջինիս հետ միասին կազմում են ռոմբի տասներկուանիստ։ Այստեղից պարզ է դառնում, որ ռոմբիկ դոդեկաեդրոնները կարող են լրացնել ամբողջ տարածությունը։ Արդյունքում մենք գտնում ենք, որ ռոմբիկ տասներկուանիստի ծավալը հավասար է խորանարդի ծավալի կրկնապատիկին, որի եզրը համընկնում է տասներկուանիստի երեսի փոքր անկյունագծի հետ։

Լուծելով վերջին խնդիրը՝ հասանք ռոմբիկ տասներկուանիստներին: Հետաքրքիր է, որ մեղուների բջիջները, որոնք նույնպես առանց բացերի տարածություն են լրացնում, նույնպես իդեալական երկրաչափական պատկերներ են: Մեղվի բջիջի վերին մասը ռոմբիկ դոդեկաեդրոնի մի մասն է:

Այսպիսով, կանոնավոր պոլիեդրաները մեզ բացահայտեցին աշխարհի ներդաշնակության գաղտնիքին մոտենալու գիտնականների փորձերը և ցույց տվեցին երկրաչափության անդիմադրելի գրավչությունը:

Այս դասում մենք կնկարագրենք տարածության մեջ սիմետրիայի տեսակները և կծանոթանանք կանոնավոր բազմանիստ հասկացությանը:

Ինչպես պլանաչափիայում, այնպես էլ տարածության մեջ մենք կդիտարկենք համաչափությունը կետի և ուղիղի նկատմամբ, բայց բացի այդ, կհայտնվի սիմետրիա հարթության նկատմամբ:

Սահմանում.

A կետերը կոչվում են սիմետրիկ O կետի նկատմամբ (համաչափության կենտրոն), եթե O-ն հատվածի միջինն է։ O կետը սիմետրիկ է ինքն իրեն:

Որպեսզի տվյալ A կետի համար O կետի նկատմամբ սիմետրիկ կետ ստանաք, պետք է ուղիղ գիծ քաշեք A և O կետերով, O կետից գծեք OA-ին հավասար հատված և ստացեք ցանկալի կետը (Նկար 1): )

Բրինձ. 1. Համաչափություն կետի նկատմամբ

Նմանապես, B կետերը սիմետրիկ են O կետի նկատմամբ, քանի որ O-ն հատվածի միջինն է:

Այսպիսով, տրված է օրենք, ըստ որի ինքնաթիռի յուրաքանչյուր կետ գնում է հարթության մեկ այլ կետ, և մենք ասացինք, որ այս դեպքում ցանկացած հեռավորություն պահպանվում է, այսինքն.

Դիտարկենք տարածության ուղիղ գծի համաչափությունը:

Տրված A կետի համար սիմետրիկ կետ ստանալու համար ինչ-որ ուղիղ a-ի նկատմամբ պետք է A կետից ուղղահայաց իջեցնել ուղիղ գիծ և դրա վրա գծել հավասար հատված (Նկար 2):

Բրինձ. 2. Սիմետրիա ուղիղ գծի նկատմամբ տարածության մեջ

Սահմանում.

A կետերը և կոչվում են սիմետրիկ a ուղիղ գծի նկատմամբ (համաչափության առանցք), եթե a ուղիղը անցնում է հատվածի միջով և ուղղահայաց է նրան։ Ուղիղ գծի յուրաքանչյուր կետ իր նկատմամբ սիմետրիկ է:

Սահմանում.

A կետերը կոչվում են հարթության նկատմամբ սիմետրիկ (համաչափության հարթություն), եթե հարթությունն անցնում է հատվածի միջնամասով և ուղղահայաց է դրան։ Ինքնաթիռի յուրաքանչյուր կետ սիմետրիկ է իր նկատմամբ (Նկար 3):

Բրինձ. 3. Համաչափություն հարթության նկատմամբ

Որոշ երկրաչափական պատկերներ կարող են ունենալ համաչափության կենտրոն, համաչափության առանցք կամ համաչափության հարթություն։

Սահմանում.

O կետը կոչվում է պատկերի համաչափության կենտրոն, եթե պատկերի յուրաքանչյուր կետ սիմետրիկ է նրա նկատմամբ նույն պատկերի ինչ-որ կետի նկատմամբ:

Օրինակ, զուգահեռագրում և զուգահեռանիպեդում բոլոր անկյունագծերի հատման կետը համաչափության կենտրոնն է։ Եկեք նկարազարդենք զուգահեռականի համար:

Բրինձ. 4. Զուգահեռականի համաչափության կենտրոն

Այսպիսով, զուգահեռականի O կետի նկատմամբ համաչափությամբ A կետը մտնում է կետ, B կետը՝ կետ և այլն, հետևաբար զուգահեռականը մտնում է իր մեջ:

Սահմանում.

Ուղիղ գիծը կոչվում է պատկերի համաչափության առանցք, եթե պատկերի յուրաքանչյուր կետ սիմետրիկ է նրա նկատմամբ նույն պատկերի ինչ-որ կետի նկատմամբ:

Օրինակ, ռոմբի յուրաքանչյուր անկյունագիծ նրա համար համաչափության առանցք է, ռոմբը վերածվում է ինքն իրեն, երբ սիմետրիկ է շեղանկյուններից որևէ մեկի նկատմամբ:

Դիտարկենք տարածության մի օրինակ՝ ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդ (կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին, իսկ հիմքերում կան հավասար ուղղանկյուններ)։ Նման զուգահեռականն ունի համաչափության առանցքներ։ Դրանցից մեկն անցնում է զուգահեռականի (անկյունագծերի հատման կետ) և վերին և ստորին հիմքերի կենտրոնների համաչափության կենտրոնով։

Սահմանում.

Հարթությունը կոչվում է պատկերի համաչափության հարթություն, եթե պատկերի յուրաքանչյուր կետ նրա նկատմամբ համաչափ է նույն պատկերի ինչ-որ կետի նկատմամբ:

Օրինակ, ուղղանկյուն զուգահեռ գագաթնակետն ունի համաչափության հարթություններ: Նրանցից մեկն անցնում է վերին և ստորին հիմքերի հակառակ կողերի միջով (Նկար 5):

Բրինձ. 5. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի համաչափության հարթություն

Համաչափության տարրերը բնորոշ են կանոնավոր բազմանիստին:

Սահմանում.

Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա բոլոր երեսները հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են, և յուրաքանչյուր գագաթում նույն թվով եզրեր են համընկնում:

Թեորեմ.

Չկա կանոնավոր բազմանիստ, որի դեմքերը կանոնավոր n-անկյուններ լինեն .

Ապացույց:

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ կանոնավոր վեցանկյուն է։ Նրա բոլոր ներքին անկյունները հավասար են.

Այնուհետեւ ներքին անկյուններում ավելի մեծ կլինի:

Բազմանդոնի յուրաքանչյուր գագաթում առնվազն երեք եզրեր են համընկնում, ինչը նշանակում է, որ յուրաքանչյուր գագաթ պարունակում է առնվազն երեք հարթ անկյուն: Նրանց ընդհանուր գումարը (պայմանով, որ յուրաքանչյուրը մեծ է կամ հավասար է) մեծ կամ հավասար է . Սա հակասում է այն պնդմանը. ուռուցիկ բազմանիստում յուրաքանչյուր գագաթի բոլոր հարթ անկյունների գումարը փոքր է:

Թեորեմն ապացուցված է.

Cube (Նկար 6):

Բրինձ. 6. Խորանարդ

Խորանարդը կազմված է վեց քառակուսուց. քառակուսին կանոնավոր բազմանկյուն է;

Յուրաքանչյուր գագաթ երեք քառակուսիների գագաթն է, օրինակ՝ A գագաթը ընդհանուր է ABCD քառակուսի երեսների համար, ;

Յուրաքանչյուր գագաթի բոլոր հարթ անկյունների գումարը հավասար է, քանի որ այն բաղկացած է երեք ուղիղ անկյուններից: Սա ավելի քիչ է, քան այն, ինչը բավարարում է կանոնավոր պոլիէդրոնի հայեցակարգին.

Խորանարդն ունի համաչափության կենտրոն՝ անկյունագծերի հատման կետը.

Խորանարդն ունի համաչափության առանցքներ, օրինակ՝ a և b տողերը (Նկար 6), որտեղ a տողն անցնում է հակառակ երեսների միջնակետերով, իսկ b՝ հակառակ եզրերի միջնակետերով;

Խորանարդն ունի համաչափության հարթություններ, օրինակ՝ հարթություն, որն անցնում է a և b ուղիղների միջով:

2. Կանոնավոր քառանիստ (կանոնավոր եռանկյուն բուրգ, որի բոլոր եզրերը հավասար են միմյանց).

Բրինձ. 7. Կանոնավոր քառաեդրոն

Կանոնավոր քառաեդրոնը կազմված է չորս հավասարակողմ եռանկյուններից.

Յուրաքանչյուր գագաթի բոլոր հարթության անկյունների գումարը հավասար է, քանի որ կանոնավոր քառաեդրոնը բաղկացած է երեք հարթ անկյուններից: Սա ավելի քիչ է, քան այն, ինչը բավարարում է կանոնավոր պոլիէդրոնի հայեցակարգին.

Կանոնավոր քառաեդրոնն ունի համաչափության առանցքներ, դրանք անցնում են հակառակ եզրերի միջնակետերով, օրինակ՝ MN ուղիղ գծով: Բացի այդ, MN-ը AB և CD հատող ուղիղ գծերի միջև հեռավորությունն է, MN-ն ուղղահայաց է AB և CD եզրերին;

Կանոնավոր քառաեդրոնն ունի համաչափության հարթություններ, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է եզրով և հակառակ եզրի միջով (Նկար 7);

Կանոնավոր քառաեդրոնը չունի համաչափության կենտրոն։

3. Կանոնավոր ութանիստ.

Բաղկացած է ութ հավասարակողմ եռանկյուններից;

Չորս եզրեր միանում են յուրաքանչյուր գագաթին.

Յուրաքանչյուր գագաթի բոլոր հարթ անկյունների գումարը հավասար է, քանի որ կանոնավոր ութանիստը բաղկացած է չորս հարթ անկյուններից: Սա ավելի քիչ է, քան , որը բավարարում է կանոնավոր պոլիէդրոնի հայեցակարգին։

4. Կանոնավոր իկոսաեդրոն.

Բաղկացած է քսան հավասարակողմ եռանկյուններից;

Հինգ եզրեր միանում են յուրաքանչյուր գագաթին.

Յուրաքանչյուր գագաթի բոլոր հարթ անկյունների գումարը հավասար է, քանի որ կանոնավոր իկոսաեդրոնը բաղկացած է երկայնքով հինգ հարթ անկյուններից: Սա ավելի քիչ է, քան , որը բավարարում է կանոնավոր պոլիէդրոնի հայեցակարգին։

5. Կանոնավոր տասներկուանիստ.

Բաղկացած է տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից;

Յուրաքանչյուր գագաթին միանում են երեք եզրեր.

Յուրաքանչյուր գագաթի բոլոր հարթության անկյունների գումարը հավասար է . Սա ավելի քիչ է, քան , որը բավարարում է կանոնավոր պոլիէդրոնի հայեցակարգին։

Այսպիսով, մենք ուսումնասիրեցինք տարածության մեջ համաչափության տեսակները և տվեցինք խիստ սահմանումներ։ Մենք նաև սահմանեցինք կանոնավոր պոլիէդրոնի հայեցակարգը, նայեցինք նման բազմանիստների օրինակներին և դրանց հատկություններին:

Մատենագիտություն

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Երկրաչափություն. 10-11 դասարաններ. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար (հիմնական և մասնագիտացված մակարդակներ) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-րդ հրատ., rev. և լրացուցիչ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 էջ: հիվանդ.
2. Շարիգին I. F. Երկրաչափություն. 10-11 դասարաններ. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Երկրաչափություն. Դասարան 10. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար մաթեմատիկայի խորացված և մասնագիտացված ուսումնասիրությամբ /Ե. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-րդ հրատ., կարծրատիպ. - M.: Bustard, 2008. - 233 էջ: հիվանդ.

1. Matemonline.com ().
2. Fmclass.ru ().
3. 5klass.net ().

Տնային աշխատանք

1. Նշեք ուղղանկյուն զուգահեռականի սիմետրիայի առանցքների թիվը.
2. նշեք կանոնավոր հնգանկյուն պրիզմայի համաչափության առանցքների քանակը.
3. նշեք ութանիստի համաչափության հարթությունների թիվը.
4. կառուցել բուրգ, որն ունի համաչափության բոլոր տարրերը:

Քաղաքային ուսումնական հաստատություն

«Թիվ 87 միջնակարգ դպրոց».

Վերացական թեմա.

Կանոնավոր պոլիեդրաներ:

Ավարտեց՝ Բուշուևա Մ.Ա.

10-րդ դասարանի աշակերտ Բ.

Առաջնորդներ.

Կուլեշ Լյուդմիլա Եգորովնա,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ;

Տրոեգուբովա Տատյանա Սերգեևնա,

ՏՏ ուսուցիչ.

Սեվերսկ -2009 թ.

Ներածություն………………………………………………………………………………………………………..

Կանոնավոր բազմանիստի սահմանումը…………………………………………………………………………………

Պլատոնական պինդ մարմիններ………………………………………………………..5

Կանոնավոր պոլիեդրների տեսակները……………………………………………6

Հինգ կանոնավոր բազմաշերտ…………………………………………….…9

Կանոնավոր բազմաշերտների հատկությունները………………………………………11

Կիսականոնավոր բազմանիստ………………………………………………………………………………………………………

Եզրակացություն…………………………………………………………………………………………………….

Աղբյուրների ցանկ…………………………………………………………………………………………………

Հավելված 1. Սալվադոր Դալիի «Վերջին ընթրիքը» կտավը…………………..23

Հավելված 2. Համաչափությունը ճարտարապետության մեջ…………………………………………………

Ներածություն

Ես ընտրեցի «Կանոնավոր բազմանիստ» թեման, քանի որ մեր կյանքում պոլիէդրները հանդիպում են ամենուր, գրեթե յուրաքանչյուր առարկայի մեջ կարելի է տեսնել բազմանիստ:

Ինձ համար շատ հետաքրքիր էր ավելի լավ ճանաչել այս զարմանահրաշ գործիչներին, քանի որ դպրոցում շատ քչերն են նրանց ճանաչում։

Մարդը հետաքրքրություն է ցուցաբերում պոլիեդրայի նկատմամբ իր ողջ գիտակցական գործունեության ընթացքում՝ փոքր երեխայից, ով խաղում է բլոկներով մինչև մեծահասակ: Որոշ պոլիեդրաներ բնության մեջ հանդիպում են՝ բյուրեղների կամ վիրուսների տեսքով, մեղուները մեղրախորիսխներ են կառուցում վեցանկյունների տեսքով։

Մեր աշխարհը լի է համաչափությամբ։ Հին ժամանակներից գեղեցկության մասին մեր պատկերացումները կապված են եղել դրա հետ։ Սա, հավանաբար, բացատրում է մարդու մշտական ​​հետաքրքրությունը պոլիեդրաների նկատմամբ՝ համաչափության զարմանալի խորհրդանիշներ, որոնք գրավել են շատ ականավոր մտածողների ուշադրությունը՝ Պլատոնից և Էվկլիդեսից մինչև Էյլեր և Քոշի:

Սովորական պոլիեդրների մասին ավելին իմանալու համար ես ինքս ինձ դրեցի հետևյալ խնդիրները.

Գտնել և վերլուծել նյութը կանոնավոր բազմանիստների մասին:

Ամփոփեք մշակված նյութը.

Լրացրեք վերացական.

Պատրաստեք ներկայացում.

Ներկայացրեք շնորհանդես PowerPoint-ում:

Իմ աշխատանքը բաղկացած է վեց գլխից. Ուսումնասիրել և մշակել եմ նյութեր 14 գրական աղբյուրներից, այդ թվում՝ ուսումնական, տեղեկատու, գիտական ​​գրականություն, պարբերականներ և ինտերնետային կայքեր, ինչպես նաև պատրաստել եմ Power Point խմբագրիչում արված շնորհանդես:

Կանոնավոր պոլիեդրաներ:

Բազմայրոց -տարածության մի մասը, որը սահմանափակված է վերջավոր թվով հարթ բազմանկյունների հավաքածուով, որոնք միացված են այնպես, որ ցանկացած բազմանկյունի յուրաքանչյուր կողմը ճիշտ մեկ այլ բազմանկյունի կողմն է (կոչվում է հարևան), և յուրաքանչյուր գագաթի շուրջ կա բազմանկյունների ուղիղ մեկ ցիկլ։ . Այս բազմանկյունները կոչվում են դեմքեր, դրանց կողմերը՝ եզրեր, իսկ գագաթները՝ բազմանկյունի գագաթներ։

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ամբողջությամբ ընկած է նրա երեսներից որևէ մեկի հարթության մի կողմում, ապա նրա երեսները նույնպես ուռուցիկ են: Ուռուցիկ պոլիէդրոնը տարածությունը բաժանում է երկու մասի՝ արտաքին և ներքին: Նրա ներքին մասը ուռուցիկ մարմին է։ Եվ հակառակը, եթե ուռուցիկ մարմնի մակերեսը բազմանիստ է, ապա համապատասխան բազմանիստը ուռուցիկ է։

Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա բոլոր երեսները հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են, և յուրաքանչյուր գագաթին կից նույն թվով երեսներ:

Եթե ​​բոլոր եզրերը ճիշտ են Ռ-գոններ և քորոնցից կից են յուրաքանչյուր գագաթին, ապա այդպիսի կանոնավոր բազմանիստը նշանակվում է ( էջ, ք) Այս նշումն առաջարկել է Լ. Շլաֆլին (1814–1895), շվեյցարացի մաթեմատիկոս, ով պատասխանատու էր երկրաչափության և մաթեմատիկական վերլուծության բազմաթիվ նրբագեղ արդյունքների համար։

Կան ոչ ուռուցիկ բազմանիստներ, որոնց դեմքերը հատվում են, և որոնք կոչվում են «կանոնավոր աստղային բազմանիստ»։ Քանի որ մենք պայմանավորվել ենք չհամարել նման բազմանիստներ, կանոնավոր բազմանիստ ասելով նկատի կունենանք բացառապես ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստներ։

2. Պլատոնական պինդ մարմիններ

Կանոնավոր պոլիեդրների մասին ամենահին հիշատակումներից մեկը Պլատոնի (մ.թ.ա. 427-347 թթ.) «Տիմաուս» տրակտատում է: Ուստի կանոնավոր պոլիեդրաները կոչվում են նաև պլատոնական պինդ մարմիններ (չնայած դրանք հայտնի են եղել Պլատոնից շատ առաջ)։ Կանոնավոր պոլիեդրներից յուրաքանչյուրը, և ընդհանուր առմամբ կան հինգ, Պլատոնը կապված է չորս «երկրայինների» հետ: տարրեր (տարրեր)՝ երկիր (խորանարդ), ջուր (իկոսաեդրոն), կրակ (տետրեդրոն), օդ (ութանիստ), ինչպես նաև «ոչ երկրային» հետ։ տարր - երկինք (դոդեկաեդրոն): Հայտնի մաթեմատիկոս և աստղագետ Կեպլերը կառուցեց Արեգակնային համակարգի մոդելը՝ որպես հաջորդականորեն մակագրված և նկարագրված կանոնավոր պոլիեդրներ և գնդիկներ։

Ստորև բերված նկարները ցույց են տալիս կանոնավոր պոլիեդրաներ: Դրանցից ամենապարզը կանոնավոր քառանիստն է, որի երեսները չորս հավասարակողմ եռանկյուններ են, իսկ երեք երեսները կից են յուրաքանչյուր գագաթին։ Տետրաեդրոնը համապատասխանում է նշագրությանը (3, 3): Սա ոչ այլ ինչ է, քան եռանկյուն բուրգի հատուկ դեպք: Կանոնավոր բազմանիստներից ամենահայտնին խորանարդն է (երբեմն կոչվում է կանոնավոր վեցանկյուն)՝ ուղիղ քառակուսի պրիզմա, որի բոլոր վեց երեսները քառակուսի են։ Քանի որ յուրաքանչյուր գագաթ ունի իրեն կից 3 քառակուսի, խորանարդը նշանակված է (4, 3): Եթե ​​երկու համընկնող քառակուսի բուրգեր՝ հավասարակողմ եռանկյունիների ձևով դեմքերով, միավորվեն իրենց հիմքերում, ապա ստացվում է բազմանկյուն, որը կոչվում է կանոնավոր ութանիստ։ Այն սահմանափակված է ութ հավասարակողմ եռանկյուններով, գագաթներից յուրաքանչյուրը կից է չորս եռանկյունիների, և, հետևաբար, նշումը (3, 4) համապատասխանում է դրան։ Կանոնավոր ութանիստը կարող է դիտվել նաև որպես ուղիղ կանոնավոր եռանկյունաձև հակապրիզմի հատուկ դեպք։ Այժմ դիտարկենք ուղիղ կանոնավոր հնգանկյուն հակապրիզմա, որի երեսներն ունեն հավասարակողմ եռանկյունների ձև և երկու կանոնավոր հնգանկյուն բուրգեր, որոնց հիմքերը համահունչ են անտիպրիզմի հիմքին, իսկ դեմքերը ունեն հավասարակողմ եռանկյունիների ձև: Եթե ​​այս բուրգերը կցված են հակապրիզմի վրա՝ հարթեցնելով իրենց հիմքերը, ապա մենք ստանում ենք մեկ այլ կանոնավոր բազմանիստ։ Նրա երեսներից 20-ը հավասարակողմ եռանկյունների ձև ունեն, որոնցից յուրաքանչյուր գագաթին կից հինգ երես: Նման բազմանիստը կոչվում է կանոնավոր իկոսաեդրոն և նշվում է (3, 5): Բացի վերը նշված չորս կանոնավոր բազմաեզրերից, կա ևս մեկը՝ կանոնավոր տասներկու երեսակավոր երեսներով սահմանափակված։ նրա յուրաքանչյուր գագաթը հարում է երեք երեսին, ուստի տասներկուանիստը նշվում է որպես (5, 3):

Տետրաեդրոն

Չորսանկյունը կազմված է չորս հավասարակողմ եռանկյուններից։ Նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք եռանկյունների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 180 աստիճան է: Այսպիսով քառաեդրոնն ունի 4 դեմք, 4 գագաթ և 6 եզր։

Համաչափության տարրեր.

Չորրետրոնը չունի համաչափության կենտրոն, բայց ունի 3 համաչափության առանցք և 6 համաչափության հարթություն։

Խորանարդը կազմված է վեց քառակուսուց։ Նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք քառակուսիների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 270 աստիճան է: Այսպիսով, խորանարդն ունի 6 երես, 8 գագաթ և 12 եզր։

Համաչափության տարրեր.

Խորանարդն ունի համաչափության կենտրոն՝ խորանարդի կենտրոն, համաչափության 9 առանցք և սիմետրիայի 9 հարթություն։

Ութանիստ

Ութանիստը կազմված է ութ հավասարակողմ եռանկյուններից։ Նրա գագաթներից յուրաքանչյուրը չորս եռանկյունների գագաթն է։ Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 240 աստիճան է: Այսպիսով, ութանիստն ունի 8 դեմք, 6 գագաթ և 12 եզր։

Համաչափության տարրեր.

Ութանիստն ունի համաչափության կենտրոն՝ ութանիստի կենտրոն, համաչափության 9 առանցք և համաչափության 9 հարթություն։

Icosahedron

Իկոսաեդրոնը կազմված է քսան հավասարակողմ եռանկյուններից։ Նրա յուրաքանչյուր գագաթը հինգ եռանկյունների գագաթն է: Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 300 աստիճան է: Այսպիսով, իկոսաեդրոնն ունի 20 դեմք, 12 գագաթ և 30 եզր։

Համաչափության տարրեր.

Իկոսաեդրոնն ունի համաչափության կենտրոն՝ իկոսաեդրոնի կենտրոն, համաչափության 15 առանցք և համաչափության 15 հարթություն։

Դոդեկաեդրոն

Դոդեկետրոնը կազմված է տասներկու հավասարակողմ հնգանկյուններից։ Նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք հնգանկյունների գագաթն է։ Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 324 աստիճան է։ Այսպիսով, տասներկուանիստն ունի 12 դեմք, 20 գագաթ և 30 եզր։

Համաչափության տարրեր.Դոդեկաեդրոնն ունի համաչափության կենտրոն՝ տասներկուանիստի կենտրոն, համաչափության 15 առանցք և համաչափության 15 հարթություն։

Վերևում թվարկված հինգ կանոնավոր պոլիեդրաները, որոնք հաճախ նաև կոչվում են «Պլատոնական պինդ մարմիններ», գրավել են հնության մաթեմատիկոսների, միստիկների և փիլիսոփաների երևակայությունը ավելի քան երկու հազար տարի առաջ: Հին հույները նույնիսկ առեղծվածային համապատասխանություն են հաստատել քառաեդրոնի, խորանարդի, ութանիստի և իկոսաեդրոնի և բնական չորս սկզբունքների՝ կրակի, հողի, օդի և ջրի միջև: Ինչ վերաբերում է հինգերորդ կանոնավոր բազմանիստին՝ տասներկուանիստին, նրանք այն համարում էին Տիեզերքի ձև։ Այս գաղափարները պարզապես անցյալում չեն: Եվ հիմա, երկու հազարամյակ անց, շատերին գրավում է հիմքում ընկած գեղագիտական ​​սկզբունքը: Այն, որ նրանք մինչ օրս չեն կորցրել իրենց գրավչությունը, շատ համոզիչ է վկայում իսպանացի նկարիչ Սալվադոր Դալիի նկարը. վերջին ընթրիք.

Հին հույները նաև ուսումնասիրել են պլատոնական պինդ մարմինների բազմաթիվ երկրաչափական հատկություններ. նրանց հետազոտության պտուղները կարելի է գտնել 13-րդ գրքում ՍկսվեցԷվկլիդես. Պլատոնական պինդ մարմինների և հարակից ֆիգուրների ուսումնասիրությունը շարունակվում է մինչ օրս։ Չնայած գեղեցկությունն ու համաչափությունը ժամանակակից հետազոտությունների հիմնական դրդապատճառներն են, սակայն դրանք ունեն նաև որոշակի գիտական ​​նշանակություն, հատկապես բյուրեղագիտության մեջ։ Սեղանի աղի, նատրիումի թիոանտիմոնիդի և քրոմի շիբի բյուրեղները բնության մեջ հանդիպում են համապատասխանաբար խորանարդի, քառաեդրոնի և ութանիստի տեսքով։ Իկոսաեդրոնը և դոդեկաեդրոնը չեն հայտնաբերվել բյուրեղային ձևերի մեջ, սակայն դրանք կարելի է դիտարկել մանրադիտակային ծովային օրգանիզմների մեջ, որոնք հայտնի են որպես ռադիոլարերներ։

4. Հինգ կանոնավոր պոլիեդրա

Բնական է հարցնել, թե արդյոք, բացի Պլատոնական պինդ մարմիններից, կան նաև այլ կանոնավոր բազմաեդրներ: Ինչպես ցույց են տալիս հետևյալ պարզ նկատառումները, պատասխանը պետք է լինի բացասական։ Թող ( էջ, ք) կամայական կանոնավոր բազմանիստ է։ Քանի որ դրա եզրերը ճիշտ են Ռ- գոնները, նրանց ներքին անկյունները, ինչպես հեշտ է ցույց տալ, հավասար են (180 – 360/ Ռ) կամ 180 (1 – 2/ Ռ) աստիճաններ. Քանի որ պոլիէդրոնը ( էջ, ք) ուռուցիկ, նրա ցանկացած գագաթին հարող երեսների երկայնքով բոլոր ներքին անկյունների գումարը պետք է լինի 360 աստիճանից պակաս: Բայց յուրաքանչյուր գագաթ հարակից է քդեմքերը, հետևաբար անհավասարությունը պետք է բավարարվի

որտեղ է խորհրդանիշը

Դժվար չէ դա տեսնել էջԵվ քպետք է լինի 2-ից մեծ: Փոխարինելով (1) Ռ= 3, մենք գտնում ենք, որ միակ վավեր արժեքներն են քայս դեպքում 3, 4 և 5 են, այսինքն. մենք ստանում ենք պոլիեդրաները (3, 3), (3, 4) և (3, 5): ժամը Ռ= 4-ը միակ վավեր արժեքն է ք 3 է, այսինքն. բազմանիստ (4, 3), հետ Ռ= 5 անհավասարությունը (1) նույնպես բավարարում է միայն ք= 3, այսինքն. բազմանիստ (5, 3): ժամը էջ> 5 վավեր արժեքներ քգոյություն չունի. Հետևաբար, բացի Պլատոնական պինդ մարմիններից, այլ կանոնավոր պոլիեդրաներ չկան։

Բոլոր հինգ կանոնավոր պոլիեդրաները թվարկված են ստորև բերված աղյուսակում: Վերջին երեք սյունակները ցույց են տալիս Ն 0 - գագաթների քանակը, Ն 1 – եզրերի թիվը և Ն 2 - յուրաքանչյուր պոլիէդրոնի երեսների քանակը:

Ցավոք, երկրաչափության շատ դասագրքերում տրված կանոնավոր պոլիէդրոնի սահմանումը թերի է: Ընդհանուր սխալն այն է, որ սահմանումը պահանջում է միայն վերը նշված (ա) պայմանը բավարարելու համար, բայց անտեսում է պայմանը (բ): Մինչդեռ (b) պայմանը բացարձակապես անհրաժեշտ է, որն ամենահեշտն է ստուգել՝ դիտարկելով ուռուցիկ բազմանկյուն, որը բավարարում է (b) պայմանը, բայց չի բավարարում (b) պայմանը։ Այս տեսակի ամենապարզ օրինակը կարելի է կառուցել՝ կանոնավոր քառաեդրոնի դեմքը նույնացնելով մեկ այլ քառաեդրոնի դեմքի հետ, որը համահունչ է առաջինին: Արդյունքում ստացվում է ուռուցիկ բազմանկյուն, որի վեց երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են։ Այնուամենայնիվ, որոշ գագաթներ կից են երեք դեմքերին, իսկ մյուսները՝ չորսին, ինչը խախտում է (բ) պայմանը։

ՀԻՆԳ ԿԱՆՈՆԱՎՈՐ ԲԱԶՄԱՀԵԴ
Անուն	Շլաֆլիի ձայնագրությունը	Ն 0 (գագաթների թիվը)	Ն 1 (կողերի քանակը)	Ն 2 (դեմքերի թիվը)
Տետրաեդրոն
Icosahedron
Դոդեկաեդրոն

5.Կանոնավոր բազմանիստների հատկությունները

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյունի գագաթները գտնվում են ոլորտի վրա (ինչը հազիվ թե զարմանալի լինի, եթե հիշենք, որ ցանկացած կանոնավոր բազմանկյան գագաթները ընկած են շրջանագծի վրա)։ Բացի այս ոլորտից, որը կոչվում է «նկարագրված ոլորտ», կան ևս երկու կարևոր ոլորտներ. Դրանցից մեկը՝ «միջին գունդը», անցնում է բոլոր եզրերի միջնակետերով, իսկ մյուսը՝ «փորագրված գունդը», դիպչում է բոլոր երեսներին իրենց կենտրոններում։ Երեք գնդերն էլ ունեն ընդհանուր կենտրոն, որը կոչվում է պոլիէդրոնի կենտրոն։

Կրկնակի պոլիեդրաներ.Դիտարկենք կանոնավոր բազմանիստ ( էջ, ք) և նրա միջին ոլորտը Ս. Յուրաքանչյուր եզրի միջնակետը դիպչում է գնդին: Յուրաքանչյուր եզրի փոխարինում մի հատվածով, որը ուղղահայաց է շոշափող գծին Սնույն կետում մենք ստանում ենք ՆԲազմեյդրոնի 1 եզրը կրկնակի է բազմանիստին ( էջ, ք) Դժվար չէ ցույց տալ, որ երկակի պոլիէդրոնի դեմքերը կանոնավոր են ք-gons և որ յուրաքանչյուր գագաթ հարակից է Ռդեմքեր. Հետևաբար, պոլիէդրոնը ( էջ, ք) կանոնավոր պոլիէդրոնի կրկնակն է ( ք, էջ) Բազմեյդրոնը (3, 3) կրկնակի է մեկ այլ բազմանկյունին (3, 3), համահունչ է սկզբնականին (հետևաբար (3, 3) կոչվում է ինքնակրկնակի բազմանիստ, բազմանկյունը (4, 3) երկակի է։ բազմանիստ (3, 4), իսկ բազմանիստը (5, 3) երկակի է – բազմանիստ (3, 5): Նկ. 3 պոլիեդրաներ (4, 3) և (3, 4) ցուցադրվում են միմյանց նկատմամբ երկակիությամբ: Բացի այդ, պոլիէդրոնի յուրաքանչյուր գագաթ, յուրաքանչյուր եզր և դեմք ( էջ, ք) համապատասխանում է երկակի բազմանիստի միակ դեմքին, միակ եզրին և միակ գագաթին ( ք, էջ) Հետևաբար, եթե ( էջ, ք) Այն ունի Ն 0 գագաթ, Ն 1 կողիկներ և Ն 2 դեմք, ապա ( ք, էջ) Այն ունի Ն 2 գագաթ, Ն 1 կողիկներ և Ն 0 դեմք.

Քանի որ յուրաքանչյուրը ՆԿանոնավոր պոլիէդրոնի 2 դեմքեր ( էջ, ք) սահմանափակ Ռեզրեր և յուրաքանչյուր եզր ընդհանուր է ուղիղ երկու դեմքի համար, ապա ընդհանուր առմամբ կան pN 2/2 կողիկներ, այսպես Ն 1 = pN 2/2. Կրկնակի պոլիէդրոն ( ք, էջ) կողիկներ նույնպես Ն 1 և Ն 0 դեմքեր, այսպես Ն 1 = qN 0/2. Այսպիսով, թվերը Ն 0 , Ն 1 և Ն 2 ցանկացած կանոնավոր պոլիէդրոնի համար ( էջ, ք) կապված են հարաբերություններով

Համաչափություն.Կանոնավոր պոլիեդրների նկատմամբ հիմնական հետաքրքրությունը պայմանավորված է նրանց ունեցած մեծ թվով սիմետրիաներով: Բազմեյդրոնի համաչափություն (կամ սիմետրիայի փոխակերպում) ասելով հասկանում ենք նրա շարժումը որպես կոշտ մարմնի տարածության մեջ (օրինակ՝ պտույտ որոշակի ուղիղ գծի շուրջ, արտացոլումը որոշակի հարթության նկատմամբ և այլն), որը դուրս է գալիս գագաթների, եզրերի բազմությունից։ իսկ պոլիէդրոնի դեմքերը՝ անփոփոխ։ Այլ կերպ ասած, համաչափության փոխակերպման գործողության ներքո գագաթը, եզրը կամ դեմքը կամ պահպանում է իր սկզբնական դիրքը, կամ տեղափոխվում է մեկ այլ գագաթի, մեկ այլ եզրի կամ մեկ այլ երեսի սկզբնական դիրք:

Գոյություն ունի մեկ համաչափություն, որը բնորոշ է բոլոր բազմաեզրին: Մենք խոսում ենք ինքնության վերափոխման մասին, որը թողնում է ցանկացած կետ իր սկզբնական դիրքում: Ուղիղ գծի դեպքում մենք հանդիպում ենք համաչափության ոչ այնքան տրիվիալ օրինակի Ռ- ածխածնի պրիզմա. Թող լ– հիմքերի կենտրոնները միացնող ուղիղ գիծ: Շրջվել լ 360/ անկյան ցանկացած ամբողջ թվի բազմապատիկին Ռաստիճանները սիմետրիա են: Թող հետագայում, π - նրանց զուգահեռ հիմքերի միջև մեջտեղում անցնող հարթություն. Արտացոլում հարթության նկատմամբ π (շարժում, որը վերցնում է ցանկացած կետ Պճիշտ Պ», այնպիսին է, որ էջհատում է հատվածը PP"ուղիղ անկյան տակ և կիսում է այն) - ևս մեկ սիմետրիա: Ինքնաթիռի համեմատ արտացոլումը համադրելը π ուղիղ գծի շուրջ շրջադարձով լ, ստանում ենք մեկ այլ համաչափություն։

Բազմեյդոնի ցանկացած համաչափություն կարող է ներկայացվել որպես արտացոլումների արտադրյալ: Բազմանդոնի՝ որպես կոշտ մարմնի մի քանի շարժումներ կատարելով՝ այստեղ նկատի ունենք առանձին շարժումների կատարումը որոշակի կանխորոշված ​​հերթականությամբ։ Օրինակ՝ վերը նշված պտույտը 360/ անկյան միջով Ռաստիճաններ ուղիղ գծի շուրջ լարտացոլումների արտադրյալն է՝ պարունակող ցանկացած երկու հարթությունների նկատմամբ լև միմյանց նկատմամբ կազմելով 180/ անկյուն Ռաստիճաններ. Համաչափությունը, որը զույգ թվով արտացոլումների արտադրյալ է, կոչվում է ուղիղ, հակառակ դեպքում՝ հակադարձ։ Այսպիսով, ուղիղ գծի շուրջ ցանկացած պտույտ ուղիղ սիմետրիա է։ Ցանկացած արտացոլում հակադարձ սիմետրիա է:

Բացի թվարկված հինգից, կանոնավոր պոլիեդրաների այլ տեսակներ չկան: Եկեք ապացուցենք դա։

Նշենք ըստ էջկանոնավոր պոլիէդրոնի դեմքի կողմերի թիվը: Քանի որ երկանկյուն անկյունները հավասար են, կանոնավոր պոլիէդրոնի բոլոր տարածական անկյունները նույնպես հավասար են: Հետևաբար, կանոնավոր պոլիէդրոնի յուրաքանչյուր գագաթում նույն թվով երեսներ են համընկնում, որը մենք նշում ենք. ք.

Օգտագործելով դեմքերի օրինաչափությունը և երկփեղկ անկյունների հավասարությունը՝ հին հույները հեշտությամբ հայտնաբերեցին, որ կանոնավոր պոլիեդրների համար ամբողջ թվերի զույգերը ( էջ, ք) կարող է լինել միայն (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3): Այնուամենայնիվ, Էյլերի թեորեմի շնորհիվ հնարավոր է ստանալ նույն հինգ զույգ թվերը ոչ միայն կանոնավոր բազմանկյունների, այլև ընդհանրապես կամայական ուռուցիկ բազմանկյունների համար, որոնցում յուրաքանչյուր դեմք ունի նույն թիվը։ էջկողմերը և նույն թիվը համընկնում է յուրաքանչյուր գագաթի վրա քդեմքեր.

Իրոք, քանի որ յուրաքանչյուր ծայրը պատկանում է ուղիղ երկու դեմքի, և յուրաքանչյուր երես ունի ճշգրիտ էջկողիկներ, ապա էջ· Г-ը հավասար է բազմակի եզրերի թվին. էջ· G = 2P: Քանի որ յուրաքանչյուր եզր ունի ուղիղ երկու ծայր, և յուրաքանչյուր գագաթում այն ​​ճշգրիտ միաձուլվում է քկողիկներ, ապա ք· B = 2P: Այսպիսով,

Г = 2Р/ էջև B = 2P/ ք (4)

(4)-ը փոխարինենք Էյլերի բանաձևով.

2P/ ք+2P/ էջ= P + 2 (5)

Գտնենք P-ն (5):

P=2 pq/(2 · ( էջ+ ք) - pq) (6)

(6) կոտորակի հայտարարը 4 - ( էջ- 2)(ք- 2). և քանի որ հայտարարը դրական է, ուրեմն ( էջ- 2)(ք- 2) դեմքի p կողմերը, և թիվը նույնպես քգագաթի վրա կա առնվազն 3 դեմք, հետևաբար, (5) հավասարումը պայմանով. էջ≥3, ք≥3-ն ունի հինգ և ընդամենը հինգ ամբողջական լուծում ( էջ, ք): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3).

Սրանից հետևում է, որ կոմբինատորորեն տարբեր բազմանիստները, որոնցում բոլոր դեմքերը նույնանուն բազմանկյուններ են և նույն թվով դեմքեր միանում են յուրաքանչյուր գագաթին, հինգից ոչ ավելի են։

Այժմ վերադառնանք կանոնավոր պոլիէդրային։ Կանոնավոր բազմանիստին համապատասխանող թվերի զույգը ( էջ, ք) կոչվում է նրա Schläfli խորհրդանիշը։ Կանոնավոր պոլիեդրոնը կարող է ունենալ Schläfli-ի հինգ նշաններից մեկը: Այժմ մենք ցույց ենք տալիս, որ Schläfli սիմվոլներից յուրաքանչյուրի համար գոյություն ունի կանոնավոր բազմանիստ:

Հեշտ է ստուգել, ​​որ Schläfli նշանը (3, 3) համապատասխանում է կանոնավոր քառաեդրոնին, իսկ նշանը (4, 3)՝ խորանարդի։ Խորանարդից հեշտ է գալ Շլաֆլի նշանով (3, 4) նշանով բազմանիստ՝ ութանիստ: Դուք պետք է վերցնեք խորանարդի քառակուսի երեսների կենտրոնները, դրանք վեցն են: Խորանարդի 8 գագաթներից յուրաքանչյուրին հարող դեմքերի յուրաքանչյուր երեք կենտրոնի վրա մենք կկառուցենք կանոնավոր եռանկյուն (նկ. 16): Հեշտ է ստուգել, ​​որ երեսների միջև բոլոր երկփեղկ անկյունները հավասար են: Այս բազմանիստը կանոնավոր է։ Այն ունի ութ կողմ և կոչվում է ութանիստ.

Որոշ չափով ավելի դժվար է ստուգել (3, 5) խորհրդանիշին համապատասխան կանոնավոր պոլիէդրոնի առկայությունը, այսինքն՝ եռանկյուն երեսներով բազմանկյունի գոյությունը, որը հանդիպում է յուրաքանչյուր գագաթին հինգին: Վերցնենք երեք հավասար ոսկե ուղղանկյուններ, այսինքն. ուղղանկյուն կողմի հարաբերակցությամբ (+1)/2: Եկեք դրանք տեղադրենք փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններում, ինչպես ցույց է տրված Նկար 17-ում: Ոսկե ուղղանկյունների կողմերը, որոշակիության համար, թող հավասար լինեն + 1-ի և 2-ի: Վերցրեք ուղղանկյուններից մեկի կամայական A 1 գագաթը: Այս ուղղանկյունների ուղիղ հինգ գագաթ կա, այն է՝ B1, A2, B3, D3, D2 գագաթները, որոնք գտնվում են A 1-ից նույն 2 հեռավորության վրա: Օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, կարելի է հաստատել, որ A 1 B 1 A 2, A 1 եռանկյունները: A 2 B 3 , A 1 B 3 D 3 , A 1 D 3 D 2 , A 1 D 2 B 1 ճիշտ է։ Բացի այդ, ցանկացած երկու հարակից եռանկյուններ կազմում են հավասար երկփեղկ անկյուններ: Ճիշտ նույն կանոնավոր եռանկյունները հայտնվում են ուղղանկյունների բոլոր 12 գագաթներում, յուրաքանչյուրում հինգը: Այսպիսով, գոյություն ունի (3, 5) խորհրդանիշին համապատասխան կանոնավոր բազմանիստ: Այս պոլիէդրոնը կոչվում է իկոսաեդրոն, որը հունարենից թարգմանաբար նշանակում է քսանակողմ։ Իկոսաեդրոնն ունի 12 գագաթ։

(5, 3) խորհրդանիշով կանոնավոր բազմանիստ կառուցելու համար մենք որպես այս բազմանիստ գագաթներ վերցնում ենք իկոսաեդրոնի բոլոր քսան եռանկյուն երեսների կենտրոնները: Հինգ եռանկյունների կենտրոնները, որոնք համընկնում են իկոսաեդրոնի այս կամ այն ​​գագաթին, կազմում են հարթ կանոնավոր հնգանկյան գագաթները։ Այդպիսի հնգանկյունները այնքան շատ են, որքան իկոսաեդրոնի տասներկու գագաթները: Այս կանոնավոր հնգանկյունները, որոնք հանդիպում են երեքի յուրաքանչյուր գագաթին (իկոսաեդրոնի եռանկյունաձև երեսի կենտրոնում), կազմում են տասներկուանիստ. տասներկուանիստ. Այս տասներկուանիստի բոլոր երկանկյուն անկյունները հավասար են: Հետևաբար, այս բազմանիստը կանոնավոր է:

Երկու կանոնավոր բազմանիստ՝ ութանիստը և տասներեքագեդրոնը, կառուցվել են այլ բազմաեդրների միջոցով՝ խորանարդը և իկոսաեդրոնը: Ավելին, ասենք, ութանիստի յուրաքանչյուր գագաթ համապատասխանում էր խորանարդի ինչ-որ գագաթին։ Նույնը կարելի է ասել բազմաեդրային իկոսաեդրոն՝ տասներկու երեսպատման զույգի մասին։

Երկու պոլիեդրա կոչվում են երկակի, եթե դրանցից մեկի երեսների բազմության և մյուսի գագաթների բազմության միջև կա մեկ առ մեկ համապատասխանություն, այնպես որ, եթե դրանցից առաջինի երկու երեսները կից են եզրին, ապա գագաթները Այս երեսներին համապատասխան երկրորդ պոլիեդրոնը միացված է եզրին: Հարկ է նշել, որ զույգ բազմանիստում մեկի գագաթների թիվը հավասար է մյուսի երեսների թվին, և նրանք ունեն նույն թվով եզրեր։

Երկակի բազմանիստները բաղկացած են միայն հնգանկյուններից և վեցանկյուններից, որոնց յուրաքանչյուր գագաթում հանդիպում են երեք դեմքեր: Նման պոլիեդրները կոչվում են ֆուլերեններ։ Ֆուլերենների ուսումնասիրությունը շատ կարևոր է քիմիայի, բժշկության և ճարտարապետության մեջ կիրառելու համար: Գրյունբաումի թեորեմը, թարգմանված ֆուլլերենների լեզվով, նշանակում է, որ յուրաքանչյուր ֆուլերենում կա ուղիղ տասներկու հնգանկյուն, և կարող է լինել ցանկացած թվով վեցանկյուն՝ երկուսից ոչ պակաս։

Չափազանց կարևոր խնդիր է այն, թե ինչպես կարելի է թվարկել ֆուլերենների բոլոր հնարավոր կառուցվածքները կանխորոշված ​​թվով nվեցանկյուններ և դրանցից քանիսը կախված n- արդիական է մնում մինչ օրս:

6. Կիսականոն բազմանիստ

Կիսականոնավոր բազմանիստները կանոնավոր պոլիեդրների բնական ընդլայնումն են: Սրանք ուռուցիկ բազմանկյուններ են, որոնց դեմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են, հավանաբար տարբեր թվով կողմերով և նույն թվով դեմքեր, որոնք հանդիպում են յուրաքանչյուր գագաթին: Դրանց մեծ մասը հայտնաբերել է Արքիմեդը։ Բայց դրանք նույնպես բացվեցին քսաներորդ դարում։

Արքիմեդի պոլիէդրներից ամենապարզը ստացվում է կանոնավոր բազմանիստից՝ «կտրում» գործողությամբ, որը բաղկացած է բազմանիստի անկյունները հարթություններով կտրելուց։ Այսպիսով, եթե քառաեդրոնի անկյունները կտրենք հարթություններով, որոնցից յուրաքանչյուրը կտրում է մեկ գագաթից դուրս եկող նրա եզրերի մեկ երրորդը, կստանանք. կտրված քառատետր, ունենալով ութ կողմ (նկ. 1)։ Դրանցից չորսը կանոնավոր վեցանկյուններ են, չորսը՝ կանոնավոր եռանկյուններ։ Այս պոլիէդրոնի յուրաքանչյուր գագաթին հանդիպում են երեք դեմքեր:

Եթե ​​նշված ձևով կտրենք ութանիստի և իկոսաեդրոնի գագաթները, ապա կստանանք համապատասխանաբար. կտրված ութանիստ(նկ. 2) և կտրված իկոսաեդրոն(նկ. 3): Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ֆուտբոլի գնդակի մակերեսը պատրաստված է կտրված իկոսաեդրոնի մակերեսի տեսքով: Խորանարդից և դոդեկաեդրոնից կարող եք նաև ստանալ կտրված խորանարդ(նկ.4) և կտրված դոդեկաեդրոն(նկ. 5):

Մեկ այլ կանոնավոր բազմանիստ ձեռք բերելու համար խորանարդի մեջ կտրող հարթություններ ենք գծում մեկ գագաթից դուրս եկող եզրերի միջնակետերով։ Արդյունքում մենք ստանում ենք կիսանկանոն բազմանիստ, որը կոչվում է խորանարդիկ(նկ. 6): Նրա երեսները վեց քառակուսի են, ինչպես խորանարդը, և ութ կանոնավոր եռանկյունիներ, ինչպես ութանիստ։ Այստեղից էլ անվանումը՝ կուբոկտաեդրոն։

Նմանապես, եթե տասներկուանիստում կտրող հարթությունները գծվում են մեկ գագաթից դուրս եկող եզրերի միջնակետերի միջով, ապա մենք ստանում ենք մի բազմաեզր, որը կոչվում է. icosidodecahedron(նկ. 7): Այն ունի քսան երես՝ կանոնավոր եռանկյուններ և տասներկու երեսներ՝ կանոնավոր հնգանկյուններ, այսինքն՝ իկոսաեդրոնի և տասներկու երեսները։

Եվս երկու պոլիեդրա են կոչվում կտրված խորանարդիկ(նկ. 8) և կտրված icosidodecahedron(նկ. 9), թեև դրանք հնարավոր չէ ստանալ խորանարդի և իկոսիդոդեկաեդրոնի կտրվածքով: Այս պոլիեդրների անկյունները կտրելուց առաջանում են ուղղանկյուններ, քան քառակուսիներ:

Մենք ուսումնասիրեցինք Արքիմեդի նկարագրած 13 կիսանարգոն բազմաեզրներից 9-ը: Մնացած չորսը ավելի բարդ տիպի պոլիեդրաներ են։

Նկար 10-ում մենք տեսնում ենք rhombicuboctahedron.Նրա մակերեսը բաղկացած է խորանարդի և ութանիստի երեսներից, որոնց ավելացվում է ևս 12 քառակուսի։

Նկար 11-ը ցույց է տալիս ռոմբիկոսիդոդեկեդրոն,որի մակերեսը բաղկացած է իկոսաեդրոնի երեսներից, տասներկուանիստից և ևս 30 քառակուսիներից։ Նկար 12, 13-ը ցույց է տալիս այսպես կոչված ծռմռոց խորանարդը և ծռմռված տասներկուանիստը, որոնց մակերեսները բաղկացած են կանոնավոր եռանկյուններով շրջապատված խորանարդի կամ տասներկու երեսներից:

Բացի այս տասներեք Արքիմեդյան պինդ մարմիններից, կիսանկանոն բազմանիստների թիվը ներառում է 14-րդ բազմանիստը, որը կոչվում է կեղծարքիմեդյան (նկ. 14): Այն ստացվում է ռոմբիկուբոկտաեդրոնից՝ ստորին թասը 45º-ով պտտելով։

Անշուշտ, եթե թուլացնենք երկրորդ պայմանը կիսականոն բազմանիստի սահմանման մեջ, ապա կարող ենք գտնել այս սահմանմանը բավարարող այլ բազմանիստներ։ Գոյություն ունեն ևս հինգ բազմանիդեր, որոնք ստացվում են դրանց մասերը պտտելով։

Այսպիսով, եթե icosidodecahedron-ի ստորին կամ վերին թասը պտտենք 36°-ով, ապա կստանանք նոր բազմանկյուն, որի երեսները կանոնավոր հնգանկյուններ և եռանկյուններ են, և չորս եզրեր հանդիպում են յուրաքանչյուր գագաթին:

Ռոմբիկոսիդոդեկեդրոնի թասերը պտտելով՝ կարելի է ձեռք բերել ևս չորս բազմանիստ, որոնց դեմքերը քառակուսիներ են և կանոնավոր հնգանկյուններ և եռանկյուններ, և չորս եզրեր միանում են յուրաքանչյուր գագաթին։

Ո՞րն է կիսանկանոն պոլիէդրոնի ճիշտ սահմանումը: Ի՞նչ սահմանում ուներ Արքիդեմոսը, երբ նկարագրում էր տասներեք կիսանարգոն բազմանիստ: Նա գիտե՞ր կեղծ Արքիմեդյան պինդի մասին, թե՞ չէր գիտակցում, որ հնարավոր է պտտել խորանարդի գավաթը։ Ցավոք, Արքիմեդի կողմից օգտագործված կիսանկանոն բազմանիստ սահմանումը մեզ չի հասել։ Ըստ երևույթին, Արքիմեդը կեղծարքիմեդյան բազմանիստը չի համարել կիսականոն բազմանիստ։

Իրոք, արտաքնապես կեղծ-արքիմեդյան բազմանիստը այնքան էլ «կանոնավոր» չէ, որքան Արքիմեդյան բազմանիստը: Բայց ի՞նչն է սահմանում «կոռեկտությունը»։

Պատկերացնենք թափանցիկ նյութից պատրաստված կիսանարգավոր բազմանիստ և նայենք մեկ n-անկյունային դեմքով: Մնացած դեմքերը կտեսնենք որոշակի հերթականությամբ դասավորված։ Մենք կտեսնենք ճիշտ նույն պատկերը, եթե նայենք այս պոլիէդրոնի մեկ այլ n-անկյունային դեմքով: Այս հատկությունն ունեն բոլոր կիսանարգոն բազմանիստները, իսկ կեղծ Արքիմեդյան բազմանիստը՝ ոչ։ Եթե ​​նայենք վերին քառակուսի եզրով և կողային քառակուսի եզրով, ապա կտեսնենք մնացած եզրերի տարբեր դասավորություններ:

Մաթեմատիկական տեսանկյունից կոռեկտությունը որոշվում է սիմետրիաների առկայությամբ, այսինքն՝ շարժումներով, որոնք վերափոխում են պոլիէդրոնն ինքն իրեն։

Արքիմեդյան պինդ մարմինների համար գործում է հետևյալ հատկությունը. ցանկացած երկու գագաթների համար կա սիմետրիա, որի դեպքում մի գագաթն անցնում է մյուսի մեջ: Սա նշանակում է, որ ոչ միայն բոլոր բազմանկյուն անկյունները հավասար են, այլև ցանկացած երկու բազմանիստ անկյունների համար կա բազմանկյունի շարժում, որը նրանցից մեկը տանում է մյուսին: Իհարկե, սա ավելի ուժեղ պայման է, քան պարզապես բազմանկյուն անկյունների հավասարությունը։ Այս պայմանին չի բավարարում կեղծարքիմեդյան բազմանիստը։

Այսպիսով, կա կիսանկանոն պոլիէդրոնի սահմանման երեք տարբերակ.

Սահմանում 1.Կիսականոն բազմանիստը ուռուցիկ բազմանկյուն է, որի մակերեսը բաղկացած է կանոնավոր բազմանկյուններից, հնարավոր է տարբեր թվով կողմերից, և յուրաքանչյուր գագաթ ունի նույն թվով եզրեր: Այս դեպքում, բացի պրիզմաների և հակապրիզմաների երկու անվերջ շարքերից, կան առնվազն 19 այդպիսի պոլիեդրաներ։

Սահմանում 2.Կիսականոն բազմանիստը ուռուցիկ բազմանկյուն է, որի մակերեսը բաղկացած է կանոնավոր բազմանկյուններից, հնարավոր է տարբեր թվով կողմերից, և այս բոլոր բազմանկյուն անկյունները հավասար են: Այս դեպքում, բացի պրիզմաների և հակապրիզմաների երկու անսահման շարքերից, կան 14 այդպիսի պոլիեդրաներ՝ 13 Արքիմեդյան պինդ մարմիններ և կեղծ Արքիմեդյան բազմաիդրոն։

Սահմանում 3.Կիսականոն բազմանիստը ուռուցիկ բազմանկյուն է, որի մակերեսը բաղկացած է կանոնավոր բազմանկյուններից, հնարավոր է տարբեր թվով կողմերից, և ցանկացած երկու գագաթների համար կա բազմանկյունի համաչափություն, որը նրանցից մեկը փոխակերպում է մյուսի։ Այս դեպքում, բացի երկու անվերջ շարքերից, կան 13 այդպիսի պոլիէդրներ՝ Արքիմեդի բազմաեդրները։

Կարելի է ենթադրել, որ Արքիմեդն օգտագործել է հենց երրորդ սահմանումը։

Եզրակացություն

Այսպիսով, ավարտելով այս աշխատանքը, ես շատ նոր և հետաքրքիր բաներ իմացա կանոնավոր բազմանիստների մասին, պարզվում է, որ կան նաև կիսականոնավոր բազմանիստներ։

Ուսումնասիրելով այս ամբողջ նյութը՝ ես ինքս ինձ համար զարմանալի բաներ հայտնաբերեցի. առաջինները, ովքեր ուսումնասիրեցին կանոնավոր կիսականոնավոր պոլիեդրները, Պլատոնն ու Արքիմեդն էին, և նրանք ապրել են մեր դարաշրջանից առաջ, իսկ այսօր շատ գիտնականներ ուսումնասիրում են բազմաեզրերը: Սա նշանակում է, որ պոլիեդրների նկատմամբ հետաքրքրությունը երբեք չի վերանա, նրանք այնքան արտասովոր կերպարներ են, և որ ամենակարևորը, որքան գեղեցիկ են նրանք: Բազմանդերի ամենակարեւոր հատկություններից մեկը համաչափությունն է։ Նրա շնորհիվ նրանք այնքան անսովոր տեսք ունեն:

Պոլիեդրայի հատկությունները օգտագործվում են մարդու գործունեության տարբեր ոլորտներում: Օրինակ՝ ճարտարապետության մեջ. գրեթե բոլոր շենքերը կառուցված են համաչափությամբ։ Շատ հայտնի նկարիչներ իրենց կտավները նկարում են համաչափությամբ: Դրա շնորհիվ նկարներն ավելի տպավորիչ են թվում։

Այսպիսով, մեր ողջ կյանքը լցված է բազմանիստներով, որոնց հանդիպում է յուրաքանչյուր մարդ՝ և՛ փոքր երեխաներ, և՛ հասուն մարդիկ:

Իմ աշխատանքում ամփոփել եմ ռեֆերատի թեմայով հավաքագրված նյութը և դրա պաշտպանության համար պատրաստել եմ Power Point խմբագրում արված շնորհանդեսը: Ինձ համար հետաքրքիր էր աշխատել շարադրության ընտրված թեմայի շուրջ։

Աղբյուրների ցանկ.

/encicl/articles/15/1001550/1001550A.htm

/sch758/2003/geomet/new!!/prav.html

/dict/bse/article/00048/75500.htm

/dict/krugosvet/article/9/9b/1001550.htm

http:// ru. վիքիպեդիա. օրգ/ վիքի/% Դ0%9 Ֆ% Դ1%80% Դ0% Բ0% Դ0% Բ2% Դ0% Բ8% Դ0% ԲԲ% Դ1%8 Գ% Դ0% ԲԴ% Դ1%8 Բ% Դ0% Բ9_% Դ0% Ք.ա.% Դ0% ԲԴ% Դ0% ԼԻՆԵԼ% Դ0% Բ3% Դ0% ԼԻՆԵԼ% Դ0% Բ3% Դ1%80% Դ0% Բ0% Դ0% ԲԴ% Դ0% ԲԴ% Դ0% Բ8% Դ0% Բ.Ա.

/referat-20446.html

Smirnova I., Smirnov V. Ինչ է «կիսականոնավոր պոլիեդրոնը» // Ուսումնական և մեթոդական թերթ «Մաթեմատիկա». - 2007 թ. - թիվ 16-էջ 23-26

http:// պրավմն. Ժողովուրդ. ru/ տետր. htm

http:// պրավմն. Ժողովուրդ. ru/ կուբ. htm

http:// պրավմն. Ժողովուրդ. ru/ okto. htm

http:// պրավմն. Ժողովուրդ. ru/ icos. htm

http:// պրավմն. Ժողովուրդ. ru/ դոդ. htm

Սմիրնովա Ի.Մ. Բազմանդամների աշխարհում. Գիրք. Ուսանողների համար - Մ.: Կրթություն, 1995 թ.

Լիտվինենկո Վ.Ն. Պոլիեդրա. Խնդիրներ և լուծումներ. - Մ.: Վիտա-Պրես, 1995 թ.

Հավելված 1

Սալվադոր Դալին «Վերջին ընթրիք» նկարում պատկերել է Հիսուս Քրիստոսին իր աշակերտների հետ հսկայական թափանցիկ տասներկուանիստի ֆոնի վրա:

Առարկա վերացական: Ճիշտ էբազմանկյուններ Կատարվել էԲուշուևա Մ.Ա. աշակերտ10 դասԲ. Առաջնորդներ՝ Կուլեշ Լյուդմիլա Եգորովնա...

Ատենախոսության ամփոփագիր

Թիվ 11 դպրոց Ավարտվածուսանողները10 դաս«Բ»՝ Ալյոխինա... 9-ի մեջ դասերվրա թեմա ճիշտպոլիեդրա), իսկ մյուս կողմից՝... վերացական 10 ...

Ավարտել են 10 «B» դասարանի աշակերտներ Ալեխինա Մարինան

Ատենախոսության ամփոփագիր

Թիվ 11 դպրոց Ավարտվածուսանողները10 դաս«Բ»՝ Ալյոխինա... 9-ի մեջ դասերվրա թեմա«... Պլատոնական պինդ մարմիններ, այսինքն հինգ ճիշտպոլիեդրա), իսկ մյուս կողմից՝... վերացականԱթանասյան Պ.Մ., Բուտուզով Մ.Վ., Կադոմցև Ա.Վ., Կիսելևա Ա.Ի.. «Երկրաչափություն. 10 ...

Աբստրակտ երկրաչափության մասին «Ստերեոմետրիա» Seversk 2009 Բովանդակություն էջ

Ատենախոսության ամփոփագիր

83" Շարադրություներկրաչափության մեջ «Ստերեոմետրիա» Կատարվել էԴավլետշինա Ռ.Ա. աշակերտ10 դասՍեվերսկ... 6). Որքան բարձր է կայծակաձողը, դրանքնման կոնի ավելի մեծ ծավալ... կատարելություն և գեղեցկություն, ինչպես ճիշտպոլիեդրա. "Ճիշտ էպոլիեդրաանպարկեշտ քիչ -...

բազմանիստ աստղային պլատոն

Պոլիեդրների մասին առաջին հիշատակումները հայտնի են մ.թ.ա. երեք հազար տարի Եգիպտոսում և Բաբելոնում: Բավական է հիշել հայտնի եգիպտական ​​բուրգերը և դրանցից ամենահայտնիը՝ Քեոպսի բուրգը։ Սա կանոնավոր բուրգ է, որի հիմքում 233 մ կողմ ունեցող քառակուսի է, որի բարձրությունը հասնում է 146,5 մ-ի, պատահական չէ, որ ասում են, թե Քեոպսի բուրգը երկրաչափության մասին լուռ տրակտատ է։

Կանոնավոր պոլիեդրների պատմությունը գալիս է հին ժամանակներից: 7-րդ դարից սկսած Հին Հունաստանում ստեղծվեցին փիլիսոփայական դպրոցներ։ Այս դպրոցներում մեծ նշանակություն է ձեռք բերել պատճառաբանությունը, որի օգնությամբ հնարավոր է եղել ձեռք բերել նոր երկրաչափական հատկություններ։

Առաջին և ամենահայտնի դպրոցներից մեկը եղել է Պյութագորասի դպրոցը, որն անվանվել է իր հիմնադիր Պյութագորասի անունով։ Պյութագորասների տարբերակիչ նշանը հնգագրամն էր, մաթեմատիկայի լեզվով այն կանոնավոր ոչ ուռուցիկ կամ աստղաձեւ հնգանկյուն է։ Պենտագրամին տրվել է մարդուն չար ոգիներից պաշտպանելու ունակություն:

Պյութագորացիները կարծում էին, որ նյութը բաղկացած է չորս հիմնական տարրերից՝ կրակ, հող, օդ և ջուր: Նրանք հինգ կանոնավոր պոլիեդրների գոյությունը վերագրում էին նյութի և Տիեզերքի կառուցվածքին: Ըստ այս կարծիքի՝ հիմնական տարրերի ատոմները պետք է ունենան տարբեր մարմինների ձև.

Տիեզերքը տասներկուանիստ է

Երկիր - խորանարդ

Կրակ - քառանիստ

Ջուր - իկոսաեդրոն

Օդ - ութանիստ

Ավելի ուշ Պյութագորասի ուսմունքը կանոնավոր պոլիեդրների մասին իր աշխատություններում ուրվագծել է մեկ այլ հին հույն գիտնական՝ իդեալիստ փիլիսոփա Պլատոնը։ Այդ ժամանակից ի վեր կանոնավոր պոլիեդրաները սկսեցին կոչվել Պլատոնական պինդ մարմիններ։

Տասներեք կիսանկանոն ուռուցիկ պոլիեդրների հայտնաբերումը վերագրվում է Արքիմեդին, ով առաջին անգամ դրանք թվարկել է գոյություն ունեցող աշխատության մեջ։ Այս աշխատանքին հղումներ կան մաթեմատիկոս Պապուսի աշխատություններում։

Երբ առաջին անգամ ծանոթանում ես այս թեմային, բնական հարց է առաջանում՝ ի՞նչ է բազմանիստը։ Երկրաչափությունը երբեմն կարող է սահմանվել որպես գիտություն տարածության և տարածական պատկերների մասին՝ երկչափ հարթաչափության մեջ և եռաչափ՝ կարծրամետրիայում: Եթե ​​մենք օգտագործում ենք բազմությունների տեսական լեզու, ապա հարթության վրա պատկերը կարող է նկարագրվել որպես հարթության մի մասը կապող գծերի հատվածների բազմություն: Նման հարթ պատկերը կոչվում է բազմանկյուն: Սրանից հետևում է, որ բազմանկյունը կարող է սահմանվել որպես բազմանկյունների մի շարք, որոնք կապում են եռաչափ տարածության մի մասը։

Բազմանկյունը տարածության մի մասն է, որը սահմանափակված է վերջավոր թվով հարթ բազմանկյունների հավաքածուով, որոնք միացված են այնպես, որ ցանկացած բազմանկյունի յուրաքանչյուր կողմը ճիշտ մեկ այլ բազմանկյունի կողմն է (կոչվում է հարևան), և յուրաքանչյուր գագաթի շուրջ կա ուղիղ մեկը: բազմանկյունների ցիկլ. Այս բազմանկյունները կոչվում են դեմքեր, դրանց կողմերը՝ եզրեր, իսկ գագաթները՝ բազմանկյունի գագաթներ։

Բազմանդեղների դասակարգում.

• 1. Կանոնավոր պոլիեդրաներ
• 2. Պրիզմաներ
• 3. Բուրգեր

Պրիզման բազմանկյուն է, որի երեսներից երկուսը (պրիզմայի հիմքերը) հավասար բազմանկյուններ են՝ միմյանց զուգահեռ կողմերով, իսկ մյուս բոլոր դեմքերը զուգահեռներ են։ Պրիզման կոչվում է ուղիղ, եթե նրա եզրերը ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը: Եթե ​​պրիզմայի հիմքը ուղղանկյուն է, ապա պրիզման կոչվում է զուգահեռական:

Բուրգը բազմանկյուն է, որի մի դեմքը բազմանկյուն է, իսկ մնացած դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով: Բուրգը կոչվում է կանոնավոր, եթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, և բուրգի բարձրությունն անցնում է պոլիգոնի կենտրոնով։ Բուրգը կոչվում է կտրված, եթե նրա գագաթը կտրված է հարթությամբ:

Պրիզմատոիդը բազմանկյուն է, որը սահմանափակված է երկու բազմանկյուններով, որոնք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում (դրանք նրա հիմքերն են); նրա կողային երեսները եռանկյուններ կամ տրապիզոիդներ են, որոնց գագաթները նաև հիմքի բազմանկյունների գագաթներն են։