คุณสมบัติของการแปลงความสัมพันธ์

1. ภาพเส้นคู่ขนานเป็นเส้นคู่ขนาน

พิสูจน์โดยความขัดแย้ง สมมติว่าภาพของเส้นขนาน l และ m เป็นเส้นตรง l" และ m" ตัดกันที่จุด A" (รูปที่ 8) เนื่องจากการแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่ง จุดจึงมีรูปภาพผกผัน ซึ่ง เราแสดงโดย A แต่เนื่องจาก A"єl" ดังนั้น Aєl . สิ่งนี้ขัดแย้งกับความขนานของเส้น l และ m

2. ในระหว่างการแปลงความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ระหว่างสองส่วนที่อยู่บนบรรทัดเดียวกันจะยังคงอยู่: (รูปที่ 9)

แท้จริงแล้ว ตามคำจำกัดความของการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์:

3. ในระหว่างการแปลงความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ของเซกเมนต์คู่ขนานจะยังคงอยู่

ให้ไว้: AB||CD ตามคุณสมบัติ 2 ก็จะมี A"B"||C"D" ด้วย (รูปที่ 10)

เราจำเป็นต้องพิสูจน์:

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ลองทำ AC จากนั้น DL||AC กัน เรามาสร้าง A"C" และ D"L"||A"C" กัน ตามคุณสมบัติที่ 2 เส้นตรง DL จะเข้าไปอยู่ใน D"L" ดังนั้น . ตอนนี้ตามคำจำกัดความ: . แต่ AL=CD, A"L"=C"L" ดังนั้นจากที่นี่เราจะได้สิ่งที่ต้องการทันที

4. ในระหว่างการแปลงความสัมพันธ์ โดยทั่วไปแล้ว มุมและอัตราส่วนของส่วนต่างๆ จะไม่ถูกรักษาไว้ เนื่องจากสามเหลี่ยมใดๆ สามารถเปลี่ยนเป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้ ดังนั้น ระดับความสูงและเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมมักจะถูกแปลงเป็นเส้นอื่น และค่ามัธยฐานจะเปลี่ยนเป็นค่ามัธยฐาน เนื่องจากตรงกลางของส่วนจะเปลี่ยนเป็นเส้นกลาง

5. ด้วยการแปลงความสัมพันธ์ สี่เหลี่ยมด้านขนานจะเปลี่ยนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากสี่เหลี่ยมคางหมูไปเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู

ตัวเลขที่เท่ากัน

คล้ายกับแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันและความคล้ายคลึงกันของตัวเลข มีการนำแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของตัวเลขมาใช้

กล่าวกันว่ารูป F1 นั้นเทียบเท่ากับรูป F2 ถ้า F1 สามารถแปลงเป็น F2 ได้โดยการแปลงรูป F2

ความถูกต้องของคำจำกัดความนี้เกิดขึ้นตามข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลงความสัมพันธ์จะก่อตัวเป็นกลุ่ม ดังนั้น ความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ที่กล่าวถึงในที่นี้จึงมีสภาวะการเปลี่ยนผ่าน การสะท้อนกลับ และสมมาตร

ให้เราสังเกตบางประเภทของตัวเลขที่เทียบเท่ากัน

1) สามเหลี่ยมทุกรูปมีความเท่ากันทุกประการ (ตามมาจากทฤษฎีบทหลัก)

2). สี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดมีค่าเท่ากันทุกประการ

3). เพื่อความเท่าเทียมกันของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู จำเป็นและเพียงพอที่ฐานของพวกมันจะได้สัดส่วน

การติดต่อสัมพันธ์กันในมุมมองของเครื่องบินสองลำ

สมมติว่าระนาบสองอัน w และ w" ตัดกันตามเส้นตรง xx (รูปที่ 1) ขอให้เรากำหนดเส้นตรง l ที่ตัดกันทั้งสองระนาบ ให้เราทำเครื่องหมายจุด A ใดๆ บนระนาบ w แล้วฉายไปบนระนาบ w " โดยลากเส้นตรงผ่าน A ขนานกับ l ให้เส้นตรงที่ยื่นออกมาตัดกับระนาบ w" ที่จุด A" จุด A" ถือได้ว่าเป็นเส้นโครงของจุด A ลงบนระนาบ w" เส้นโครงดังกล่าวเรียกว่าขนานและถูกกำหนดโดยการระบุเส้นตรง l

จากการสร้างเส้นโครง A" ของจุด A เป็นที่ชัดเจนว่า ในทางกลับกัน จุด A ก็ถือได้ว่าเป็นเส้นโครงของจุด A" ลงบนระนาบ w ดังนั้น การฉายภาพแบบขนานจึงเป็นอุปกรณ์ที่มีความหมายเหมือนกันทุกประการเมื่อสัมพันธ์กับระนาบ w และ w" โดยกำหนดให้แต่ละจุด (A) ของระนาบแรกมีจุดเฉพาะเจาะจงสมบูรณ์ (A") ของจุดที่สอง และในทางกลับกัน . เราได้รับความสอดคล้องกันแบบคู่ของจุดของระนาบ w และ w" การติดต่อนี้เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง กล่าวคือ แต่ละจุดในระนาบหนึ่งสอดคล้องกับจุดเฉพาะของจุดที่สอง และในทางกลับกัน

ความสอดคล้องกันระหว่างระนาบ w และ w" ซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้การฉายภาพแบบคู่ขนาน เรียกว่าเปอร์สเปกทีฟ-อัฟฟินหรือสัมพันธ์กัน

หากเราพิจารณากระบวนการเปลี่ยนผ่านจากระนาบใดระนาบหนึ่ง (เช่น w) ไปยังระนาบอื่น (w") ซึ่งแต่ละจุด (A) ของระนาบหนึ่ง (w) ผ่านไปยังจุดที่สอดคล้องกัน (A") ของอีกระนาบหนึ่ง ระนาบ (w") เป็นด้านเดียว เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงของระนาบ (w) ให้เป็นระนาบ (w") - ในกรณีนี้ จุด A เรียกว่าภาพผกผัน และจุด A" คือรูปภาพของมัน .

โดยการฉายระนาบขนาน w ลงบนเครื่องบิน w" เราจะทำการเปลี่ยนแปลงเปอร์สเปคทีฟของระนาบ w ให้เป็นระนาบ w"

นอกจากนี้เรายังสามารถเรียกการรวบรวมจุดทั้งหมดของระนาบ w ว่าสนามของจุด w และพูดถึงการเปลี่ยนแปลงของสนามของจุด w ไปเป็นสนามของจุด w"

ให้เรากำหนดหน้าที่ในการศึกษาคุณสมบัติของการติดต่อสัมพันธ์ระหว่างเปอร์สเปคทีฟกับระนาบกัน

ก่อนอื่น ให้เราจัดการกับประเด็นสองหรือประเด็นคงที่ของการโต้ตอบของเรา นั่นคือประเด็นที่ตรงกับประเด็นที่สอดคล้องกัน เนื่องจากแต่ละจุดคู่จะต้องเป็นของทั้งระนาบหนึ่งและอีกระนาบหนึ่ง จุดทั้งสองจึงต้องอยู่บนเส้นตัดกัน xx ของระนาบ w และ w" ในทางกลับกัน เห็นได้ชัดว่าแต่ละจุดบนเส้น xx เป็นจุดคู่ เนื่องจากมันสอดคล้องกับตัวมันเอง เส้นตรงจึงเรียกว่าแกนการติดต่อ ตามแกนก่อนหน้า สามารถกำหนดตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดคู่ได้

ดังนั้น เส้นตรงบนระนาบหนึ่งจึงสอดคล้องกับเส้นตรงในอีกระนาบหนึ่ง คุณสมบัติของการติดต่อทางเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์กันนี้เรียกว่า collinearity โดยอาศัยคำจำกัดความของการฉายภาพแบบขนานของรูปในฐานะตำแหน่งทางเรขาคณิตของการฉายภาพทุกจุดของรูปนี้ แต่ละจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงจะสอดคล้องกับจุดที่วางอยู่บนเส้นที่สอดคล้องกันเสมอ ดังนั้นการเป็นเจ้าของร่วมกันของจุดและเส้นบนระนาบหนึ่งจึงนำมาซึ่งการเป็นเจ้าของร่วมกันขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องในวินาที

2. คุณสมบัติถัดไปของการติดต่อโต้ตอบแบบเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่าอัตราส่วนอย่างง่ายของจุดสามจุดบนเส้นตรง

ลองพิจารณาจุดสามจุด A, B, C ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 1) อัตราส่วนอย่างง่ายของคะแนน A, B, C ถูกกำหนดโดยสูตร:

การเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตที่สัมพันธ์กัน

ในสูตรนี้ จุด A และ B ถือเป็นจุดหลัก (หรือจุดพื้นฐาน) และจุด C ถือเป็นการหาร อัตราส่วนเชิงเดี่ยว (ABC) คืออัตราส่วนของความยาวของส่วนต่างๆ ที่จุดหารเกิดขึ้นกับส่วนหลัก หากจุด C อยู่นอกส่วน AB ดังนั้นทั้งสองส่วน AC และ BC จะถูกกำหนดทิศทางเท่ากัน ดังนั้นในกรณีนี้อัตราส่วนอย่างง่าย (ABC) จึงเป็นค่าบวก ในกรณีที่จุดหาร C อยู่ระหว่าง A และ B อัตราส่วนอย่างง่าย (ABC) จะเป็นลบ

ในภาพวาดที่ 1 คุณจะเห็นว่าจุด A, B, C ของระนาบ w ตรงกับจุด A, B, C ของระนาบ w เนื่องจากเส้นตรงที่ฉาย AA, BB, SS ขนานกัน เราจะได้:

หรือ (ABC) = (A"B"C")

เราได้ข้อสรุปว่าในการโต้ตอบแบบเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์กัน อัตราส่วนอย่างง่ายของจุดสามจุดบนเส้นตรงของระนาบหนึ่งจะเท่ากับอัตราส่วนอย่างง่ายของจุดสามจุดที่สอดคล้องกันของอีกระนาบหนึ่งเสมอ

3. ก่อนที่จะพิจารณาคุณสมบัติเพิ่มเติมของความสัมพันธ์เปอร์สเปคทีฟและความสัมพันธ์สัมพันธ์กัน ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับตำแหน่งที่เป็นไปได้ของระนาบ w และ w" ที่สัมพันธ์กันในอวกาศ

จนถึงขณะนี้ เราได้สันนิษฐานว่าระนาบเหล่านี้ไม่บังเอิญและตัดกันตามเส้น xx เพื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่างเปอร์สเป็คทีฟและสัมพันธ์กันตามที่กล่าวไว้ข้างต้นผ่านการฉายภาพแบบคู่ขนาน เมื่อสร้างความสัมพันธ์กันแล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะทำให้ระนาบทั้งสองเกิดขึ้นโดยบังเอิญโดยการหมุนระนาบใดระนาบหนึ่งไปรอบแกน xx ในกรณีนี้ รูปภาพเรขาคณิตทั้งหมดที่อยู่ในระนาบหนึ่งและอีกระนาบหนึ่งจะไม่เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ ด้วยเหตุนี้ ทั้งในช่วงเวลาใดๆ ของการหมุนของระนาบและเมื่อรวมกับระนาบที่สอง การติดต่อสัมพันธ์แบบเปอร์สเปคทีฟ-แอฟฟินิสต์ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้จะไม่ถูกละเมิด

เส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกัน เช่น AA", BB", SS",... จะยังคงขนานกันในตำแหน่งใดๆ ของระนาบที่กำลังหมุน รวมทั้งหลังจากวางแนวกับระนาบที่อยู่กับที่ ซึ่งเห็นได้จากข้อเท็จจริง ว่าเส้นตรงทุกสองเส้นดังกล่าว (เช่น AA" และ BB") จะอยู่ในระนาบเดียวกันเสมอ ซึ่งกำหนดโดยเส้นตรงคู่หนึ่งที่ตัดกัน (AB และ A"B") และตัดส่วนของสัดส่วนที่ด้านข้างออก ของมุม เนื่องจาก (ABX) = (A"B"X เมื่อระนาบรวมกัน) w และ w" ที่ฉายเส้นตรง (AA", BB",...) จะกลายเป็นนอนอยู่ในระนาบที่เกิดจาก ระนาบบังเอิญสองระนาบ w และ w" (รูปที่ 2)

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับเราคือกรณีของตำแหน่งรวมของเครื่องบิน เนื่องจากในกรณีนี้เราสามารถใช้ภาพวาดแบบเรียบที่แสดงถึงการติดต่อที่กำหนดไว้โดยไม่ผิดเพี้ยน

ในกรณีของการรวมกัน จุดแต่ละจุดของระนาบ (คู่) ถือได้ว่าอยู่ในระนาบ w หรือ w" และแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่โดยไม่มีจำนวนเฉพาะหรือจำนวนเฉพาะ ดังนั้น เราจึงมีการเปลี่ยนแปลงของ ระนาบเข้าสู่ตัวเอง และสถานะเริ่มต้น (ระนาบก่อนการเปลี่ยนแปลง) จะแสดงด้วยตัวอักษร w และสถานะใหม่ (ระนาบหลังการเปลี่ยนแปลง) จะแสดงด้วยตัวอักษร w"

โปรดทราบว่าหลังจากรวมระนาบเข้าด้วยกันแล้ว แกนสอดคล้อง xx จะยุติการเป็นเส้นตัดกันของระนาบเหล่านี้ แต่ยังคงรักษาคำจำกัดความที่สองไว้เป็นตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดสองเท่าหรือจุดคงที่

4. ตอนนี้เราสามารถละทิ้งเครื่องมือเชิงพื้นที่ (การฉายภาพขนาน) ซึ่งทำหน้าที่เราในการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างระนาบสองระนาบ และกำหนดอันหลังสำหรับระนาบคู่โดยไม่ต้องเข้าไปในอวกาศ ด้วยเหตุนี้ เราจึงพิสูจน์สมมติฐานต่อไปนี้: การแปลงเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์ของระนาบเป็นตัวมันเองนั้นถูกกำหนดโดยแกน (xx) และคู่ของจุดที่สอดคล้องกัน (A, A")

การพิสูจน์. ให้แกน xx และจุดที่สอดคล้องกัน (AA") คู่หนึ่งของการแปลงเปอร์สเปคทีฟ-ความสัมพันธ์เกิดขึ้น (รูปที่ 3) ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจุดใดๆ ในระนาบ เป็นไปได้ที่จะสร้างจุดที่สอดคล้องกันที่มีการกำหนดไว้อย่างดีและไม่เหมือนใคร จุด ข".

ลองวาดเส้นตรง AB กัน ให้ X เป็นจุดตัดกับแกน xx เนื่องจากจุด X สอดคล้องกับตัวมันเอง (เหมือนนอนอยู่บนแกน) ดังนั้น เส้นตรง AX จึงสอดคล้องกับเส้นตรง A"X สุดท้าย จุด B" จะต้องอยู่บนเส้น A"X และเส้นตรงที่ยื่นออกมา BB" ขนานกับ A A สิ่งนี้ทำให้เราสามารถสร้างจุด B ที่ต้องการได้” จึงมีข้อมูลเพียงพอ และจุด B" ที่สอดคล้องกันจึงเป็นทางออกเดียวเท่านั้น

โปรดทราบว่าการโต้ตอบแบบเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์กันจะเกิดขึ้นจริง เนื่องจากโครงสร้างที่ระบุไม่สามารถนำไปสู่ความขัดแย้งได้ สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยลดโครงสร้างลงเหลือเพียงเครื่องฉายภาพแบบขนาน

ในความเป็นจริง ถ้าเรางอภาพวาด 3 ไปตามเส้น xx เพื่อให้ระนาบ w และ w" สร้างมุมไดฮีดรัล จากนั้นเส้นตรงที่ยื่นออกมาทั้งหมด (เส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกัน เช่น BB") จะกลายเป็นขนานกัน ถึงเส้นตรง AA" (เนื่องจากสัดส่วนของส่วนต่างๆ) ดังนั้น ความสอดคล้องที่เราสร้างขึ้นจึงถือได้ว่าเป็นผลมาจากการฉายภาพแบบขนาน

บันทึก. หากในการวาดภาพ 3 เรากำหนดจุด B ให้กับระนาบ w โดยเขียนแทนด้วย C จากนั้นการสร้างจุดที่สอดคล้องกันจะนำเราไปสู่จุด C ซึ่งดังที่เห็นได้จากการวาด 3 นั้นไม่ได้ตรงกับ B เสมอไป" มันสามารถ ได้รับการพิสูจน์ว่าเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเหตุบังเอิญดังกล่าว กล่าวคือ ความเป็นอิสระของการติดต่อสื่อสารแบบเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์ไม่ว่าจะกำหนดจุดนั้นให้กับระนาบใดระนาบหนึ่งก็ตาม คือการแบ่งส่วน A A" ออกเป็นสองส่วน ณ จุดตัดกับ แกน xx

ดังนั้น ในกรณีนี้ ความสอดคล้องจะเป็นสมมาตรเฉียงหรือตรง (สัมพันธ์กับแกน xx)

5. ในการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างเปอร์สเปคทีฟกับความสัมพันธ์ เราจะอาศัยคุณสมบัติที่กำหนดไว้ข้างต้น: 1) ความเป็นเส้นตรงและ 2) ความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์อย่างง่ายของแฝดสามของจุดที่สอดคล้องกัน

โปรดทราบว่าในการแปลงเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์ คุณสมบัติเหล่านี้แสดงถึงความไม่เปลี่ยนรูป หรือความไม่แปรผันของแนวคิดเรื่องเส้นตรงและแนวคิดเรื่องความสัมพันธ์อย่างง่ายของจุดสามจุดของเส้น

จากคุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถได้รับ "ค่าคงที่" อื่นๆ ทั้งหมดของการเปลี่ยนแปลงเปอร์สเปคทีฟ-แอฟฟินีน ซึ่งด้วยเหตุนี้จึงไม่เป็นอิสระอีกต่อไป ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ความแปรปรวนของความขนานของเส้นตรงก่อน สมมติว่าบนระนาบ w เรามีเส้นตรง a และ b สองเส้น ซึ่งบนระนาบ w" ตรงกับเส้นตรง a" และ b" สมมติว่าเส้น a และ b ขนานกัน (a || b) ให้เราพิสูจน์กัน นั่นคือ "|| b" ลองใช้การพิสูจน์โดยขัดแย้งกัน สมมติว่าเส้น a" และ b" ตัดกัน และระบุจุดตัดด้วยตัวอักษร M" (รูปที่ 4) จากนั้น เนื่องจากการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งของระนาบ w และ w จุด M จึงสอดคล้องกับระนาบ w จุด M บนระนาบ w สอดคล้องกับจุด M บนระนาบ w เส้น b ดังนั้น M คือจุดตัดของเส้น a และ b ดังนั้น เราจึงมาถึงจุดตัดที่ขัดแย้งกัน ข"

ดังนั้น ความขนานกันของเส้นจึงเป็นคุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของการแปลงเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์กัน

ลองเชื่อมต่อ B กับ D แล้วลากเส้น CF || ถึง C ดี.วี. บนระนาบ w" เส้นตรง СF จะตรงกับเส้นตรง С"F" D"В" (เนื่องจากความไม่แปรเปลี่ยนของความขนาน) ดังนั้น จุด F จะตรงกับจุด F" เมื่อรู้ว่าความสัมพันธ์อย่างง่ายของจุดสามจุดไม่แปรเปลี่ยน เราสามารถเขียนได้:

ดังนั้นเราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน:

อย่างหลังแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ของสองส่วนที่ขนานกันนั้นไม่แปรเปลี่ยนจากการโต้ตอบแบบเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์กัน

หากส่วน AB และ CD อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 6) ความสัมพันธ์ของทั้งสองก็จะไม่แปรเปลี่ยนในการโต้ตอบแบบเปอร์สเปคทีฟกับความสัมพันธ์ อันที่จริง ให้ PQ เป็นส่วนใดๆ ก็ตามที่ขนานกับเส้นตรง AB แล้วเราก็มี:

6. พิจารณาพื้นที่ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกันต่อไป ขอให้เราพิสูจน์บทแทรกต่อไปนี้: ระยะทางของจุดสองจุดที่สอดคล้องกัน (A, A") ไปยังแกนสอดคล้อง (xx) อยู่ในอัตราส่วนคงที่ เป็นอิสระจากการเลือกคู่ของจุดที่สอดคล้องกัน พิสูจน์ สมมติว่าจุด A และ B สอดคล้องกับจุด A" และ B" ( รูปที่ 7) โดยการลดตั้งฉากจากจุดเหล่านี้ไปยังแกน xx เราจะได้ระยะทางไปยังแกน เราจะถือว่าระยะทางเป็นบวกเสมอโดยไม่คำนึงถึงทิศทางของ ตั้งฉาก

เราสามารถเขียนได้:

แต่ดังที่เห็นได้จากภาพวาด:

ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นจะพิสูจน์บทแทรกที่เขียนไว้ข้างต้น

ให้เราแสดงอัตราส่วนคงที่ของระยะทางของจุดที่สอดคล้องกันด้วย k ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้

อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่สอดคล้องกันนั้นคงที่และเท่ากับ

การพิสูจน์ทฤษฎีบทแบ่งออกเป็นกรณีต่อไปนี้:

1. สามเหลี่ยมมีด้านร่วมบนแกน xx

สามเหลี่ยมดังกล่าวแสดงในรูปที่ 8 อัตราส่วนของพื้นที่จะแสดงดังนี้:

2. สามเหลี่ยมมีจุดยอดร่วมบนแกน xx

นี่คือสามเหลี่ยมสองรูปในรูปที่ 9 ด้านที่สอดคล้องกัน BC และ BC ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะต้องตัดกันบนแกน xx (ที่จุด X) คดีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาลดลงไปเป็นคดีก่อนหน้าแล้ว จากอันที่แล้วเราสามารถเขียนได้:

ดังนั้นเราจึงจะได้:

3. กรณีทั่วไปของสามเหลี่ยมสองรูปที่สอดคล้องกัน

ขอให้เรามีสามเหลี่ยม ABC และ A"B"C สองอันที่สอดคล้องกันในภาพวาด 10 พิจารณาหนึ่งในสามเหลี่ยมเหล่านี้ เช่น ABC พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้สามารถแสดงได้ดังนี้:

สามเหลี่ยมทั้งหมดทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้เกี่ยวข้องกับสองกรณีที่พิจารณาแล้ว ดังนั้น เมื่อนำทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วไปใช้แล้ว เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันที่พบข้างต้นได้ใหม่ดังนี้:

เพราะฉะนั้น,

7. สมบัติที่เราได้รับจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่สอดคล้องกันสามารถขยายไปยังกรณีของรูปหลายเหลี่ยมที่สอดคล้องกันได้อย่างง่ายดาย ในความเป็นจริง แต่ละรูปหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหลายรูป และพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมจะแสดงด้วยผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นส่วนประกอบ

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน เราจะได้การหารที่คล้ายกันเป็นรูปสามเหลี่ยม หากเราแสดงพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่สอดคล้องกันด้วยตัวอักษร S และ S" และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นส่วนประกอบที่สอดคล้องกันทั้งสองด้วยตัวอักษร เราก็จะสามารถเขียนได้:

เนื่องจากนอกจากนี้ สำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน เรามี:

ดังนั้นเราจึงได้:

สุดท้ายนี้ เราสามารถสรุปทฤษฎีบทความสัมพันธ์ของพื้นที่กับกรณีของพื้นที่สองแห่งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งที่สอดคล้องกันในรูปแบบใดก็ได้

ให้เราแสดงพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองเส้นที่สอดคล้องกันโดยและ ให้เราเขียนรูปหลายเหลี่ยมลงในเส้นโค้งที่ล้อมรอบพื้นที่และแสดงพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนี้ด้วยตัวอักษร S เราจะเพิ่มจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้เป็นอนันต์โดยมีเงื่อนไขว่าแต่ละด้านมีแนวโน้มเป็นศูนย์จากนั้นเรา รับ:

สำหรับพื้นที่เราจะมีกระบวนการที่คล้ายกัน: ,

โดยที่ S" หมายถึงพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่สอดคล้องกับรูปหลายเหลี่ยม S เนื่องจากในระหว่างกระบวนการทั้งหมด (การเปลี่ยนแปลงของรูปหลายเหลี่ยม) ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วข้างต้นจึงต้องมี:

จากนั้นผ่านไปยังขีดจำกัดให้ =k

เพราะฉะนั้น,

คุณสมบัติที่เป็นผลลัพธ์สามารถแสดงเป็นค่าคงที่ของการโต้ตอบแบบเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์ได้

ในความเป็นจริงให้เราแสดงโดย และพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองรูปแบบตามอำเภอใจและโดย " และ " - พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งที่สอดคล้องกันจากนั้นตามสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้วเราจะได้:

หรือการจัดเรียงเงื่อนไขกลางของสัดส่วนใหม่:

ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยคำต่อไปนี้: อัตราส่วนของสองพื้นที่ใดๆ จะไม่เปลี่ยนแปลง (ไม่แปรเปลี่ยน) ในการติดต่อแบบเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์กัน

การจับคู่ความสัมพันธ์ทั่วไป

ความสอดคล้องเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์ระหว่างระนาบสองระนาบสามารถรับได้โดยใช้การฉายภาพแบบขนาน

ตอนนี้ให้เราพิจารณาความสอดคล้องกันของระนาบสองอันที่เกิดจากการฉายภาพขนานซ้ำ ๆ ดังนั้น ในภาพที่ 11 ระนาบ w ถูกฉายขนานกับเส้นตรง l ลงบนระนาบ w" ระนาบนี้ถูกฉายขนานกับเส้นตรง l" ลงบนระนาบ w ในที่สุด ระนาบหลังถูกฉายขนานกับเส้นตรง l" ลงบนระนาบ w " ดังนั้นจึงมีการติดต่อกันระหว่างระนาบ w และ w"" โดยที่จุด A, B, C ของระนาบแรกตรงกับจุด A"", B"", C" ของวินาที มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าสิ่งนี้ การติดต่อกันอาจไม่ใช่การฉายภาพแบบคู่ขนาน แต่ในขณะเดียวกันก็มีคุณสมบัติไม่แปรผันของการโต้ตอบแบบเปอร์สเปคทีฟ ความเป็นเส้นตรงและความสัมพันธ์อย่างง่ายของจุดสามจุด ดังนั้นจะต้องรักษาคุณสมบัติเดียวกันไว้ เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ที่สอดคล้องระหว่างระนาบ w และ w""" ก็มีอยู่เช่นกัน

เช่นเดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับคุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนอื่นๆ ที่พิจารณาในกรณีของการโต้ตอบแบบเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์กัน ซึ่งกลายเป็นกรณีพิเศษเท่านั้นเมื่อเส้นที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันนั้นขนานกัน:

ด้วยเหตุผลนี้เอง การโต้ตอบดังกล่าวจึงเรียกว่าเปอร์สเปกทีฟ-แอฟฟิน

ความสอดคล้องของระนาบ w และ w""" เรียกว่า affine เรามาถึงแนวคิดนี้โดยใช้สายโซ่ของการแปลงเปอร์สเปคทีฟ - สัมพันธ์ (หรือการฉายภาพแบบขนาน) ถ้าเราแสดงแต่ละอันด้วยตัวอักษร P, P, P" และ การเปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ด้วยตัวอักษร A เราสามารถแสดงการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ A ด้วยสูตรสัญลักษณ์ต่อไปนี้:

ก = พี * พี" * พี",

โดยที่ด้านขวาเป็น "ผลิตภัณฑ์" ของการแปลงเปอร์สเปคทีฟและความสัมพันธ์ เช่น ผลลัพธ์ของการประยุกต์ใช้ตามลำดับ

การให้เหตุผลแบบเดียวกันนี้สามารถดำเนินการได้โดยไม่ต้องทิ้งระนาบใดระนาบหนึ่ง ซึ่งเพียงพอที่จะพิจารณาห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลงเปอร์สเปคทีฟและความสัมพันธ์ของระนาบเข้าสู่ตัวมันเอง การแปลงแต่ละครั้งสามารถระบุได้ด้วยแกนและคู่ของจุดที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่นในการวาดภาพ 12 การแปลง P ครั้งแรกจะถูกระบุโดยแกน xx และคู่ (A, A"); P ที่สอง" - โดยแกนและคู่ (A", A"); P ที่สาม - แกน x "x" และคู่ (A" "A"") ในการแปลงผลลัพธ์ A จุด A ตรงกับจุด A"" ภาพวาดเดียวกันนี้แสดงการสร้างจุด B"" ตรงกับจุด B

สิ่งที่กล่าวมาข้างต้นแสดงให้เห็นว่าการแปลงที่ได้รับโดยใช้สายโซ่ของการฉายภาพคู่ขนาน (หรือการแปลงเปอร์สเปคทีฟ-สัมพันธ์) มีคุณสมบัติของการเชิงเส้นและการรักษาความสัมพันธ์ง่ายๆ ของจุดสามจุด

ยูดีซี 004.932

Kudrina M.A., Murzin A.V.

FSBEI HPE "มหาวิทยาลัย Samara State Aerospace ตั้งชื่อตาม Ak. S.P. Korolev (มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ)", Samara, รัสเซีย

การเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ของวัตถุในคอมพิวเตอร์กราฟิก

งานทั่วไปอย่างหนึ่งที่ต้องแก้ไขโดยใช้กราฟิกแรสเตอร์คือการเปลี่ยนแปลงทั้งภาพโดยรวมและแต่ละส่วนของภาพ เช่น การเคลื่อนย้าย การหมุนรอบจุดศูนย์กลางที่กำหนด การเปลี่ยนขนาดเชิงเส้น เป็นต้น

ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้การแปลงความสัมพันธ์

การแปลง Affine จะมีประโยชน์มากในสถานการณ์ต่อไปนี้:

1. การจัดองค์ประกอบภาพแบนหรือฉากสามมิติโดยการจัดองค์ประกอบประเภทเดียวกัน โดยการคัดลอก แปลง และย้ายไปยังตำแหน่งต่างๆ ของภาพ ตัวอย่างเช่น เพื่อสร้างวัตถุที่สมมาตร เช่น เกล็ดหิมะ คุณสามารถพัฒนาแม่ลายหนึ่งขึ้นมา แล้วสร้างภาพของวัตถุทั้งหมดได้โดยการสะท้อน หมุน และเคลื่อนย้ายแม่ลายนี้

2. การดูวัตถุสามมิติจากมุมมองที่ต่างกัน ในกรณีนี้ คุณสามารถกำหนดตำแหน่งกล้องและหมุนฉากได้ หรือในทางกลับกัน ปล่อยฉากไว้นิ่งๆ แล้วขยับกล้องไปรอบๆ การยักย้ายดังกล่าวสามารถดำเนินการได้โดยใช้การแปลงความสัมพันธ์แบบสามมิติ

3. เพื่อฉายวัตถุสามมิติบนเครื่องบินและแสดงฉากในหน้าต่าง ตัวอย่างเช่น สำหรับการฉายภาพแบบแอกโซโนเมตริก จะใช้ลำดับของการหมุนสองครั้งของระนาบการฉายภาพ และสำหรับการแสดงผลในหน้าต่าง จะใช้การผสมผสานระหว่างการปรับขนาดและการแปล

การแปลงแบบอัฟฟินบนระนาบโดยทั่วไปจะอธิบายโดยสูตรต่อไปนี้:

J X = ขวาน + โดย + C, . โปรแกรมนี้ช่วยให้คุณสามารถทำให้กระบวนการเขียนงานทดสอบเป็นไปโดยอัตโนมัติ

วรรณกรรม

1. Porev V. N. คอมพิวเตอร์กราฟิก - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: BHV-Petersburg, 2545 - 432 หน้า : ป่วย.

2.ฮิลเอฟ โอเพ่น GL. การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก สำหรับมืออาชีพ - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: ปีเตอร์

2545. - 1,088 หน้า: ป่วย. ไอ 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. การพัฒนาระบบการเรียนทางไกลสำหรับรายวิชา "คอมพิวเตอร์กราฟิกส์" โดยใช้ Moodle: การดำเนินการของการประชุมสัมมนาระดับนานาชาติ ความน่าเชื่อถือและคุณภาพ 2553 ต.ไอ.ป. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. การรับรองวัสดุการสอนการวัดสำหรับหลักสูตร "คอมพิวเตอร์กราฟิกส์" // ความน่าเชื่อถือและคุณภาพ 2551 การดำเนินการของนานาชาติ การประชุมสัมมนา เพนซ่า, 2008, หน้า 162-163.

5. คุดรินา M.A. การใช้ใบรับรองและสื่อการวัดการสอนสำหรับหลักสูตร

"คอมพิวเตอร์กราฟิกส์" ในกระบวนการศึกษา"//การศึกษา - การลงทุนสู่ความสำเร็จ: วัสดุทางวิทยาศาสตร์ -

หัวข้อของปัญหานี้คืองานการแปลงความสัมพันธ์ในรูปแบบเมทริกซ์ หัวข้อนี้เป็นบทสรุปของทุกสิ่งที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

คำนิยาม.เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงระนาบ ละเลย, ถ้า

• มันเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
• รูปภาพของเส้นตรงใด ๆ ที่เป็นเส้นตรง

เรียกว่าการเปลี่ยนแปลง หนึ่งต่อหนึ่ง, ถ้า

• ประเด็นที่แตกต่างกันไปที่จุดที่แตกต่างกัน
• บางจุดไปทุกจุด

พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

หากเราพิจารณาการถ่ายโอนแบบขนานปรากฎว่าเมทริกซ์ 2x2 ไม่เพียงพอที่จะกำหนดอีกต่อไป แต่สามารถระบุได้โดยใช้เมทริกซ์ 3x3 คำถามเกิดขึ้น จะรับพิกัดที่สามของจุดสองมิติได้ที่ไหน

คำนิยาม.พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน - พิกัดที่มีคุณสมบัติที่วัตถุกำหนดจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อพิกัดทั้งหมดคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน

พิกัดเวกเตอร์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน(x, ย) คือเลขสามตัว(x", y", h) โดยที่ x = x"/h, y = y"/h และ h - จำนวนจริงบางจำนวน (กรณีเมื่อชั่วโมง = 0 เป็นพิเศษ)

บันทึกพิกัดเหล่านี้ไม่อนุญาตให้คุณระบุจุดบนระนาบโดยไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น,(1, 1, 1) และ (2, 2, 2) ตั้งจุดเดียวกัน(1, 1) - แนะนำให้จัดเป็นชุดครับ(x, ย, 1) ซึ่งจะอธิบายทุกจุดของระนาบ

เมทริกซ์การแปลงสำหรับพิกัดเนื้อเดียวกันมีขนาด 3x3 ลองพิจารณาการแปลงบางอย่างในพิกัดเนื้อเดียวกัน

การบีบอัด/ความตึงเครียด

การแปลงนี้จะคูณพิกัดจุดที่สอดคล้องกันด้วยปัจจัยมาตราส่วนตามแนวแกน:(x, y) -> (a x * x, a y * y) - เมทริกซ์การแปลงจะถูกเขียนดังนี้:

[มี x 0 0]

ที่ไหนเอ็กซ์ – การยืดแนวแกนเอ็กซ์,

ใช่ – การยืดแนวแกนย.

บันทึกสามารถสังเกตได้ว่าด้วยค่าลบของสัมประสิทธิ์การบีบอัด/ส่วนขยาย การสะท้อนจะเกิดขึ้นสัมพันธ์กับแกนที่สอดคล้องกัน กรณีนี้สามารถรวมไว้ในการแปลงนี้ หรืออาจแยกออกเป็นกรณีอื่น โดยบอกว่าตัวประกอบสเกลใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น

เปลี่ยน

เมทริกซ์การหมุน 2x2 ถูกกล่าวถึงโดยละเอียดก่อนหน้านี้ ตอนนี้เสริมด้วยแถวและคอลัมน์:

[-บาป(พี)คอส(พี) 0]

บันทึกที่มุมพี = n เมทริกซ์นี้กำหนดสมมาตรส่วนกลางเกี่ยวกับจุดกำเนิด ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการหมุน คุณจะสังเกตเห็นว่าความสมมาตรนี้สามารถกำหนดได้โดยใช้การแปลงสควอช/ยืด (ยอมให้มีปัจจัยสเกลเป็นลบ)

การถ่ายโอนแบบขนาน

เวกเตอร์ดั้งเดิม (x, y) เข้าไปอยู่ใน (x + t x, y + t y) - เมทริกซ์การแปลงจะถูกเขียนดังนี้:

[ 1 0 0]

[t x t y 1]

การสะท้อน

ตามที่ระบุไว้ในหมายเหตุเกี่ยวกับการแปลงสควอช/ยืด จะได้การสะท้อนดังนี้:

[-10 0]

การสะท้อนกลับรอบแกน x

การสะท้อนกลับรอบแกนย

มุมมองทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์

เมทริกซ์ขนาด 3x3 ซึ่งมีคอลัมน์สุดท้ายคือ (0 0 1) T กำหนดการแปลงความสัมพันธ์ของระนาบ:

[ * * 0]

[ * * 0]

[ * * 1]

ตามคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง การแปลง Affine สามารถเขียนได้เป็น:

ฉ (x) = x * R + เสื้อ

ที่ไหนร – เมทริกซ์กลับด้าน 2 x2 และ t – เวกเตอร์โดยพลการ ในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันสิ่งนี้จะเขียนได้ดังนี้:

[อาร์ 1.1 อาร์ 1.2 0]

[อาร์ 2.1 อาร์ 2.2 0]

[ เสื้อ 1 ]

หากเราคูณเวกเตอร์แถวด้วยเมทริกซ์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์การแปลง:

[ xy1 ] *[ R 1.1 R 1.2 0 ]

[อาร์ 2.1 อาร์ 2.2 0]

[ เสื้อ 1 ]

[ x'y'1 ]+[ t x t y 1 ]

ในกรณีนี้ [ x ’ y ’ ]= R *[ xy ]

บันทึกผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นได้ถามตัวเองแล้ว: อะไรคือความหมายของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ R? ด้วยการแปลงความสัมพันธ์ พื้นที่ของตัวเลขทั้งหมดจะเปลี่ยนเป็น |ร - (คุณสามารถพิสูจน์สิ่งนี้อย่างเคร่งครัดจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ แต่ข้อเท็จจริงนี้ให้ไว้ที่นี่โดยไม่มีการพิสูจน์)

ที่. การแปลงความสัมพันธ์จะแสดงเป็นองค์ประกอบของการเปลี่ยนแปลงบางอย่างที่ระบุโดยเมทริกซ์ร และการถ่ายโอนแบบขนาน ให้เราตรวจสอบรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับธรรมชาติของเมทริกซ์นี้และโอกาสที่เมทริกซ์นี้มอบให้เรา

เมทริกซ์ อาร์ กำหนดพื้นฐานใหม่ของเครื่องบิน เหล่านั้น. เวกเตอร์(1, 0) เข้าไปใน (R 1,1, R 1,2) เวกเตอร์ (0, 1) เข้าไปใน (R 2,1, R 2,2 - ฐานใหม่คือแถวของเมทริกซ์ร.

ตัวอย่าง.

เมื่อสะท้อนกลับรอบแกน y เวกเตอร์พื้นฐานตามแกนกำหนดจะถูกรักษาไว้และจะกลายเป็นตามแกนแอบซิสซา(-10) . ที่. เมทริกซ์อาร์ จะมีลักษณะเช่นนี้:

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่านอกเหนือจากการแปลงข้างต้นแล้ว คุณยังสามารถรับมุมเอียงได้ด้วยการใช้การแปลงแบบ Affine:

ข้อมูลข้างต้นให้ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเครื่องมืออันทรงพลัง เช่น การแปลงความสัมพันธ์ ยังคงมีคำถามมากมาย: คลาสย่อยของการแปลงความสัมพันธ์แบบใดที่รักษามุมระหว่างเส้นตรง เราจะนำเสนอการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์โดยเป็นส่วนหนึ่งของคลาสย่อยหลายคลาสได้อย่างไร จะตั้งค่าการแปลงที่ซับซ้อนมากขึ้นได้อย่างไร เช่น สมมาตรตามแนวแกนโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงที่กำหนดเอง

คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้และการอภิปรายโดยละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแปลงความสัมพันธ์จะได้รับแยกจากกัน โดยเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรเรขาคณิตเชิงทฤษฎี

ให้เราพิจารณาการใช้งานจริงของการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ในรูปแบบของโปรแกรมสาธิต ความสามารถของแอปพลิเคชันที่สาธิตการหมุนเครื่องบินด้วยเมาส์จะถูกเพิ่มเข้าไปในฟังก์ชันการแปลแบบขนานเมื่อกดปุ่ม CTRL .

เพราะ บทความนี้เป็นบทความสุดท้ายในส่วนนี้ รหัสแอปพลิเคชันสาธิตต้องมีความเหมาะสม ลองพิจารณาว่าจำเป็นต้องใช้บล็อกใดในแอปพลิเคชันกราฟิกในขณะเดียวกันก็ดูวิธีการนำไปใช้ในโปรแกรมนี้:

• บล็อกที่สร้างหน้าต่างและประมวลผลข้อความระบบปฏิบัติการในไฟล์อีเมล์ ซีพีพี
• เอ็นจิ้นกราฟิกที่เรนเดอร์รูปภาพคลาสเครื่องยนต์
• เลเยอร์ที่จำเป็นในการแปลงพิกัดเชิงตรรกะเป็นพิกัดหน้าต่างและในทางกลับกันคลาสวิวพอร์ต
• วัตถุที่รับผิดชอบในการตอบสนองต่อการกระทำของผู้ใช้คลาสการกระทำ

ตัวอย่างด้านล่างนี้ใช้บล็อกการทำงานเหล่านี้พร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด

บทที่ 1 แนวคิดเรื่องการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิต

1.1 การแปลงทางเรขาคณิตคืออะไร?

สมมาตรตามแนวแกน สมมาตรกลาง การหมุน การแปลแบบขนาน ความสมมาตรมีเหมือนกันที่พวกมันจะ "แปลง" แต่ละรูป F ให้กลายเป็นรูป F1 ใหม่ ดังนั้นจึงเรียกว่าการแปลงทางเรขาคณิต

โดยทั่วไป การแปลงทางเรขาคณิตคือกฎเกณฑ์ใดๆ ที่อนุญาตให้แต่ละจุด A บนระนาบระบุจุด A ใหม่ ซึ่งจุด A จะถูกถ่ายโอนไปยังจุดนั้นโดยการแปลงที่ต้องการ หากมีการกำหนดรูป F ใดๆ บนระนาบ แสดงว่าเซตนั้น ของจุดทั้งหมดที่ร่างบางของ F ที่กำลังพิจารณาอยู่ แสดงถึงร่าง F ใหม่ ในกรณีนี้ เราบอกว่า F" ได้มาจาก F โดยใช้การแปลงที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ตัวอย่าง. สมมาตรรอบเส้นตรง l คือการแปลงทางเรขาคณิต กฎที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาจุด A" จากจุด A" ในกรณีนี้มีดังต่อไปนี้: จากจุด A AP ตั้งฉากจะถูกลดระดับลงบนเส้นตรง l และบนส่วนขยายที่เลยจุด P ส่วน RA" = AP ถูกเลิกจ้าง

นอกเหนือจากการแปลงทางเรขาคณิต

สมมติว่าเรากำลังพิจารณาการแปลงทางเรขาคณิตสองแบบ หนึ่งในนั้นเราเรียกว่า "ครั้งแรก" และอีกอันเรียกว่า "ครั้งที่สอง" ลองหาจุด A บนระนาบตามใจชอบแล้วเขียนแทนด้วย A" ซึ่งเป็นจุดที่ A ไประหว่างการแปลงครั้งแรก ในทางกลับกัน จุด A" จะถูกโอนโดยการแปลงครั้งที่สองไปยังจุด A ใหม่ หรืออีกนัยหนึ่งคือ จุด A" ได้มาจากจุด A โดยใช้การแปลงสองครั้งตามลำดับ - ครั้งแรกและครั้งที่สอง

ผลลัพธ์ของการดำเนินการตามลำดับของการแปลงทั้งสองที่เกิดขึ้นก็คือการแปลงทางเรขาคณิตเช่นกัน โดยต้องใช้จุด A ไปยังจุด A" การแปลง "ผลลัพธ์" นี้เรียกว่าผลรวมของการแปลงครั้งแรกและครั้งที่สองที่พิจารณา

ให้รูป F ปรากฏอยู่บนระนาบ การแปลงครั้งแรกแปลงเป็นรูป F" การแปลงครั้งที่สองแปลงรูป F" ให้เป็นรูป F" ใหม่ ผลรวมของการแปลงครั้งแรกและครั้งที่สองจะแปลงรูป F เป็นรูป F ทันที"

ตัวอย่าง. ให้การแปลงครั้งแรกแสดงถึงความสมมาตรรอบจุด O1 และการแปลงครั้งที่สองแสดงถึงความสมมาตรรอบจุด O2 อีกจุดหนึ่ง ลองหาผลรวมของการแปลงทั้งสองนี้กัน

ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน ก่อนอื่นให้เราสมมติว่าจุด A ไม่ได้อยู่บนเส้น O1O2 ให้เราแสดงด้วย A" จุดสมมาตรกับจุด A เทียบกับ O1 และโดย A" จุดสมมาตรกับจุด A" สัมพันธ์กับ O2 เนื่องจาก O1O2 เป็นเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม AA"A"" ดังนั้นส่วน AA" จึงเป็น ขนานกับส่วน O1O2 และมีความยาวเป็นสองเท่า ทิศทางจากจุด A ไปยังจุด A" เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางจากจุด

O1 ถึงจุด O2 ตอนนี้ให้เราเขียนเวกเตอร์ด้วย MN โดยที่เซกเมนต์ MN และ O1 O2 ขนานกัน ส่วน MN ยาวเป็นสองเท่าของเซกเมนต์ O1O2 และรังสี MN และ O1O2 มีทิศทางเดียวกัน จากนั้น AA" = MN เช่น จุด A" จะได้มาจากจุด A โดยการถ่ายโอนแบบขนานไปยังเวกเตอร์ MN

เช่นเดียวกับจุดที่วางอยู่บนเส้น O1O2

ในที่สุด เราก็ได้: ผลรวมของสมมาตรรอบจุด O1 และสมมาตรรอบจุด O2 แสดงถึงการแปลแบบขนาน

1.2 การเคลื่อนไหว

สมมาตรตามแนวแกน การหมุน (โดยเฉพาะ สมมาตรกลาง) และการแปลแบบขนานมีเหมือนกันที่การแปลงแต่ละครั้งจะเปลี่ยนรูป F ใดๆ บนระนาบให้เป็นรูปที่เท่ากัน F " การแปลงที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าการเคลื่อนที่ Homothety เป็นตัวอย่างของ การเปลี่ยนแปลง ซึ่งไม่ใช่การเคลื่อนไหว แท้จริงแล้ว การเคลื่อนไหวแต่ละครั้งจะแปลงร่างใด ๆ ให้กลายเป็นร่างที่เท่ากัน กล่าวคือ เพียงเปลี่ยนตำแหน่งของร่างบนระนาบเท่านั้น ความคล้ายคลึงกันก็เปลี่ยนขนาดของร่างด้วย

บทบาทของการเคลื่อนไหวในเรขาคณิต

การเคลื่อนไหวมีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในเรขาคณิต พวกมันจะไม่เปลี่ยนรูปร่างหรือขนาดของฟิกเกอร์ โดยเปลี่ยนเฉพาะตำแหน่งของฟิกเกอร์เท่านั้น แต่ตัวเลขที่แตกต่างกันเฉพาะตำแหน่งบนเครื่องบินนั้นเหมือนกันโดยสิ้นเชิงจากมุมมองของเรขาคณิต นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงเรียกพวกมันว่า "ตัวเลขเท่ากัน" ในเรขาคณิต ไม่มีคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตใดที่แตกต่างจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของรูปทรงที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมที่เท่ากันไม่เพียงแต่มีด้านที่เหมือนกันเท่านั้น แต่ยังมีมุม ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง พื้นที่ รัศมีวงกลมที่ขีดไว้และในขอบเขตที่เหมือนกัน และอื่นๆ อีกด้วย

ในบทเรียนเรขาคณิต เราถือว่าตัวเลขที่เท่ากันเสมอ (นั่นคือ ตัวเลขที่สามารถรวมกันได้ด้วยการเคลื่อนไหว) ให้เท่ากันหรือแยกไม่ออก ตัวเลขดังกล่าวมักเข้าใจผิดว่าเป็นตัวเลขเดียวกัน นั่นคือเหตุผลที่เราสามารถพูดได้ว่า ตัวอย่างเช่น ปัญหาในการสร้างสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้าน a, b และมุม C ระหว่างพวกมันมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว ที่จริงแล้ว คุณสามารถหาสามเหลี่ยมจำนวนอนันต์ที่มีด้าน a และ b ที่กำหนด และมุม C ที่มีขนาดที่กำหนดระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้นได้ อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมดเท่ากันและเท่ากัน ดังนั้นจึงถือเป็นสามเหลี่ยม "หนึ่ง" ได้

ดังนั้น เรขาคณิตจึงศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่เหมือนกันสำหรับตัวเลขที่เท่ากัน คุณสมบัติดังกล่าวเรียกได้ว่าเป็น "คุณสมบัติทางเรขาคณิต" กล่าวอีกนัยหนึ่ง: เรขาคณิตศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของพวกมัน แต่ตัวเลขที่แตกต่างกันเฉพาะตำแหน่ง (ตัวเลขเท่ากัน) คือตัวเลขที่สามารถรวมกันได้โดยใช้การเคลื่อนไหว ดังนั้นเราจึงมาถึงคำจำกัดความของวิชาเรขาคณิตดังต่อไปนี้ เรขาคณิตศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ยังคงอยู่ระหว่างการเคลื่อนไหว

การเคลื่อนไหวทางเรขาคณิตและฟิสิกส์

ดังนั้น แนวคิดเรื่องการเคลื่อนที่จึงมีบทบาทหลักในเรขาคณิต การเคลื่อนไหว (“การทับซ้อนกัน”) ถูกนำมาใช้ในเกรด VI เพื่อกำหนดตัวเลขที่เท่ากัน เพื่อพิสูจน์สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม แนวคิดเรื่องการเคลื่อนที่ ดังที่เราเห็นข้างต้น ยังช่วยให้เราสามารถอธิบายเรื่องของเรขาคณิตได้

ในขณะเดียวกัน มีช่องว่างในคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของตัวเลขและแนวคิดเรื่องการเคลื่อนไหว ในความเป็นจริง ตัวเลขที่เท่ากันถูกกำหนดไว้ (ในระดับ VI) เป็นตัวเลขที่สามารถรวมกันได้โดยการซ้อนทับ (เช่น การเคลื่อนไหว) การเคลื่อนที่ถูกกำหนดไว้ข้างต้นว่าเป็นการแปลงที่แปลงรูปหลายเหลี่ยม F1 และ F สองตัวจนมีรูปหลายเหลี่ยม F" ที่เป็นโฮโมเทติกเป็น F และเท่ากับ F1 จากนั้นมุมของรูปหลายเหลี่ยม F จะเท่ากับมุมของรูปหลายเหลี่ยม F" ตามลำดับ และ ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม F นั้นเป็นสัดส่วนกับด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม F" ตามลำดับ แต่รูปหลายเหลี่ยม F มีมุมและด้านเท่ากันกับรูปหลายเหลี่ยม F1 ที่เท่ากัน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยม F1 และ F จึงคล้ายกันในแง่ที่ว่านี่คือ เข้าใจในหลักสูตรเรขาคณิตระดับ VIII

ในทางกลับกัน ให้รูปหลายเหลี่ยม F1 และ F มีมุมเท่ากันตามลำดับและด้านเป็นสัดส่วนตามลำดับ อัตราส่วนของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม F1 ต่อด้านที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยม F จะแสดงด้วย k ต่อไป ให้เราแสดงด้วย F" ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จาก F ด้วยโฮโมเทตีที่มีค่าสัมประสิทธิ์ k (และจุดศูนย์กลางของโฮโมเทตีใดๆ ในกรณีนี้ ตามทฤษฎีบท รูปหลายเหลี่ยม F" และ F1 จะมีด้านและมุมเท่ากัน ตามลำดับ กล่าวคือ รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากัน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยม F1 และ F จะคล้ายกันในแง่ของคำจำกัดความของความคล้ายคลึงที่ให้ไว้ที่นี่

บทที่ II ความสัมพันธ์ระหว่างการเปลี่ยนแปลง

2.1 กำหนดการเปลี่ยนแปลงของระนาบ

การแปลงความสัมพันธ์ α คือการเปลี่ยนแปลงของระนาบที่แปลงทุกเส้นให้เป็นเส้นตรง และรักษาความสัมพันธ์ที่มีจุดแบ่งส่วน

ในรูปที่ 1: L"= α(L), A"=α(A), B"=α(B), C"=α(C)

|

การเปลี่ยนแปลง - การเคลื่อนไหวและความคล้ายคลึงกัน - เป็นกรณีพิเศษของการแปลงความสัมพันธ์เนื่องจากเนื่องจากคุณสมบัติของการเคลื่อนไหวและความคล้ายคลึงกันจึงเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมดสำหรับคำจำกัดความของการแปลงความสัมพันธ์

ขอให้เรายกตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ที่ไม่สามารถลดทอนลงจากการเปลี่ยนแปลงที่พิจารณาก่อนหน้านี้ได้ ด้วยเหตุนี้ อันดับแรกเราจะพิจารณาการฉายภาพขนานของเครื่องบินลงบนเครื่องบิน

ให้ระนาบได้รับ: w และ w1 ซึ่งเป็นเส้นตรง l (ทิศทางการออกแบบ) ไม่ขนานกับระนาบใด ๆ เหล่านี้ (รูปที่ 2) จุด Aєw เรียกว่าเส้นโครงของจุด A1єw1 ถ้า AA1||l เส้น AA1 เรียกว่าเส้นฉาย การออกแบบขนานเป็นการโยงระนาบ w1 เข้ากับ w

ให้เราสังเกตคุณสมบัติของการออกแบบแบบขนานดังต่อไปนี้

1) รูปภาพของเส้นใดๆ a1 เป็นเส้นตรง

ในความเป็นจริง เส้นที่ฉายจุดของเส้น a1 ก่อตัวเป็นระนาบ (มันผ่าน a1 ขนานกับ l) ซึ่งเมื่อตัดกับ w จะให้ภาพของเส้น a1 - เส้น a (รูปที่ 2)

2) ความสัมพันธ์ที่จุดแบ่งส่วนยังคงอยู่เช่น

(รูปที่ 2)

มันจะตามมาจากทฤษฎีบททันทีเกี่ยวกับจุดตัดของด้านข้างของมุมด้วยเส้นคู่ขนาน

ให้เราดำเนินการสร้างตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์โดยตรง

ลองใช้ระนาบ w สองชุดแล้วย้ายอันหนึ่งไปยังตำแหน่งอื่น w1 (รูปที่ 3) ให้เราแสดงตำแหน่งใหม่ของจุดใดๆ Аєw เป็น А1єw1 ตอนนี้เราฉายระนาบ w1 ในตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งไปยัง w และเขียนแทนเส้นโครงของจุด A1 ด้วย A"

ผลที่ได้คือการเปลี่ยนแปลงของระนาบ w ไปสู่ตัวมันเอง ซึ่งในนั้น

- เนื่องจากคุณสมบัติสมมาตรของการฉายภาพแบบคู่ขนาน สำหรับการเปลี่ยนแปลงนี้ ทั้งสองข้อกำหนดของการแปลงความสัมพันธ์บางอย่างจึงเป็นไปตามที่พอใจ ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงที่สร้างขึ้นในขณะนี้จึงเป็นความสัมพันธ์ระหว่างเปอร์สเปคทีฟ

ด้านล่าง \(f\) หมายถึงการแปลงความสัมพันธ์ที่เขียนในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน \(O, \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)\) ตามสูตร
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\label( อ้างอิง 1)
$$
ระบุว่า
$$
\begin(วีเมทริกซ์)
ก_(1)&ข_(1)\\
ก_(2)&ข_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

ลองพิจารณาเส้นตรงบนระนาบด้วยสมการ \(\boldสัญลักษณ์(r)=\boldสัญลักษณ์(r)_(0)+\boldสัญลักษณ์(a)t\) และหาภาพของมันภายใต้การแปลง \(f\) (เข้าใจว่าภาพของเส้นเป็นเซตของภาพของจุด) เวกเตอร์รัศมีของรูปภาพ \(M^(*)\) ของจุดใดก็ได้ \(M\) สามารถคำนวณได้ดังนี้:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldสัญลักษณ์(c)+f(\boldสัญลักษณ์(r)).\number
$$

โดยที่ \(\boldสัญลักษณ์(c)\) เป็นเวกเตอร์คงที่ \(\overrightarrow(Of)(O)\) และ \(\boldสัญลักษณ์(r)\) เป็นเวกเตอร์รัศมีของจุด \(M\) ตาม (11) §2 เราได้รับ
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldสัญลักษณ์(c)+f(\boldสัญลักษณ์(r)_(0))+f(\boldสัญลักษณ์(a))t.\label(ref3)
$$
เนื่องจาก \(f\) เป็นการแปลงความสัมพันธ์และ \(\boldสัญลักษณ์(a) \neq \boldสัญลักษณ์(0)\) ดังนั้น \(\boldสัญลักษณ์(a)\) จะเข้าไปในเวกเตอร์ \(f(\boldสัญลักษณ์( a) ) \neq 0\) และสมการ \eqref(ref3) คือสมการของเส้นตรง ดังนั้น รูปภาพของจุดทุกจุดของเส้น \(\boldสัญลักษณ์(r)=\boldสัญลักษณ์(r)_(0)+\boldสัญลักษณ์(a)t\) จะอยู่บนเส้น \eqref(ref3)

ยิ่งกว่านั้น การแปลง \(f\) จะกำหนดการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งของเส้นหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เนื่องจากเมื่อเลือกจุดเริ่มต้นและเวกเตอร์ทิศทางที่ทำไว้ที่นี่ จุด \(M^(*)\) ก็มีเหมือนกัน ค่าบนบรรทัด \eqref(ref3) พารามิเตอร์ \(t\) เหมือนกับจุด \(M\) บนบรรทัดเดิม จากที่นี่เราได้รับคำสั่งแรก

คำชี้แจง 1.

ด้วยการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์:

• เส้นตรงกลายเป็นเส้นตรง
• ส่วนจะเข้าสู่ส่วน;
• เส้นขนานกลายเป็นเส้นขนาน

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์ข้อความที่สองก็เพียงพอที่จะสังเกตว่าส่วนของเส้นตรงประกอบด้วยจุดที่ค่าพารามิเตอร์เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ \(t_(1) \leq t \leq t_(2)\) ข้อความสั่งที่สามตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าภายใต้การเปลี่ยนแปลงแบบ Affine เวกเตอร์ collinear -th จะกลายเป็น collinear

คำชี้แจง 2

ในระหว่างการแปลงความสัมพันธ์ อัตราส่วนของความยาวของส่วนขนานจะไม่เปลี่ยนแปลง

การพิสูจน์.

ให้เซ็กเมนต์ \(AB\) และ \(CD\) ขนานกัน ซึ่งหมายความว่า มีตัวเลข \(\lambda\) ในลักษณะที่ \(\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)\) รูปภาพของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)\) และ \(\overrightarrow(CD)\) มีความสัมพันธ์กันด้วยการพึ่งพาแบบเดียวกัน \(\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ ลูกศรชี้ไปทางขวา(C^( *)D^(*))\) สืบต่อจากนี้ไปว่า
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*))|)(|\overrightarrow(C^(*) )D^(*))|)=|\แลมบ์ดา|.\หมายเลข
$$

ผลที่ตามมา

ถ้าจุด \(C\) แบ่งส่วน \(AB\) ในความสัมพันธ์ \(\lambda\) ดังนั้นรูปภาพ \(C^(*)\) จะแบ่งรูปภาพ \(A^(*)B^ (*) \) ส่วน \(AB\) ในความสัมพันธ์เดียวกัน \(\lambda\)

การเปลี่ยนแปลงพื้นที่ระหว่างการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์

ก่อนอื่นเรามาดูกันที่ ให้เราเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป \(O, \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)\) และแสดงด้วย \((p_(1), p_(2)) \) และ \ ((q_(1), q_(2))\) ส่วนประกอบของเวกเตอร์ \(\boldสัญลักษณ์(p)\) และ \(\boldสัญลักษณ์(q)\) ที่มันถูกสร้างขึ้น เราสามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้โดยใช้:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldสัญลักษณ์(p), \boldสัญลักษณ์(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)).\number
$$

ปล่อยให้การแปลงความสัมพันธ์ \(f\) เขียนในระบบพิกัดที่เลือกโดยใช้สูตร \eqref(ref1) จากสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์ก่อนหน้านี้ เป็นไปตามที่เวกเตอร์ \(f(\boldสัญลักษณ์(p))\) และ \(f(\boldสัญลักษณ์(q))\) มี \(f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)) โดยพื้นฐานแล้ว f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2))\) องค์ประกอบเดียวกัน \((p_(1), p_(2))\) และ \((q_(1), q_(2)) \) นั่น และเวกเตอร์ \(\boldสัญลักษณ์(p)\) และ \(\boldสัญลักษณ์(q)\) ในรูปแบบพื้นฐาน \(\boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)\ ). รูปภาพของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างบนเวกเตอร์ \(f(\boldสัญลักษณ์(p))\) และ \(f(\boldสัญลักษณ์(q))\) และพื้นที่ของมันจะเท่ากับ
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldสัญลักษณ์(p)), f(\boldสัญลักษณ์(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2))).\number
$$

ลองคำนวณปัจจัยสุดท้ายกัน ดังที่เราทราบจากสิ่งที่พิสูจน์แล้ว พิกัดของเวกเตอร์ \(f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2))\) เท่ากัน ตามลำดับ \ ((a_(1), a_( 2))\) และ \((b_(1), b_(2))\) ดังนั้น \(S_(\pm) (f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2)))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2))\) และ
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)).\number
$$
จากที่นี่เราเห็นสิ่งนั้น
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
ก_(1)&ข_(1)\\
ก_(2)&ข_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ของภาพของสี่เหลี่ยมด้านขนานเชิงพื้นที่ต่อพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเท่ากันสำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมด และเท่ากับ \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)\)

ตามมาว่าปัจจัยนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกระบบพิกัดที่เขียนการแปลง แม้ว่าจะคำนวณจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดก็ตาม ปริมาณนี้เป็นค่าคงที่ที่แสดงคุณสมบัติทางเรขาคณิตของการแปลง

จากสูตร \eqref(ref4) เห็นได้ชัดว่าอัตราส่วนของพื้นที่ของภาพของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ได้เชิงต่อพื้นที่นั้นเท่ากับ
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\label(ref5)
$$

ถ้า \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0\) ดังนั้น การวางแนวของสี่เหลี่ยมด้านขนานเชิงมุมทั้งหมดจะคงอยู่ในระหว่างการแปลง และถ้า \(a_(1)b_(2) -a_(2 )b_(1)< 0\), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

เรามาจัดการกับพื้นที่ของตัวเลขอื่นๆ กัน สามเหลี่ยมแต่ละอันสามารถขยายออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยมีพื้นที่เป็นสองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน \eqref(ref5)

รูปหลายเหลี่ยมทุกรูปสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ ดังนั้น สูตร \eqref(ref5) จึงใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ได้

เราจะไม่แตะต้องที่นี่ในการกำหนดพื้นที่ของรูปร่างโค้งโดยพลการ เราจะบอกเพียงว่าในกรณีเหล่านั้นเมื่อมีการกำหนดพื้นที่นี้ มันจะเท่ากับขีดจำกัดของพื้นที่ของลำดับรูปหลายเหลี่ยมจำนวนหนึ่งที่จารึกไว้ในรูปที่อยู่ระหว่างการพิจารณา จากทฤษฎีขีดจำกัด เราทราบสมมติฐานต่อไปนี้: ถ้าลำดับ \(S_(n)\) มีแนวโน้มไปที่ขีดจำกัด \(S\) ดังนั้นลำดับ \(\delta S_(n)\) โดยที่ \(\ delta\) เป็นค่าคงที่ มีแนวโน้มที่จะจำกัด \(\delta S\) จากข้อเสนอนี้ เราสรุปได้ว่าสูตร \eqref(ref5) ใช้ได้ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราค้นหานิพจน์สำหรับพื้นที่ของวงรีในรูปของครึ่งแกน ก่อนหน้านี้เราสังเกตเห็นว่าวงรีที่มีครึ่งแกน \(a\) และ \(b\) สามารถหาได้จากการบีบอัดวงกลมที่มีรัศมี \(a\) ให้เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของมัน อัตราส่วนการบีบอัดคือ \(b/a\) หนึ่งในนั้นเราได้รับบันทึกพิกัดของการบีบอัดเป็นเส้นตรง \(x^(*)=x\), \(y^(*)=\lambda y\) ดีเทอร์มีแนนต์ของสัมประสิทธิ์ในสูตรเหล่านี้เท่ากับ \(\lambda\) ซึ่งก็คือในกรณีของเรา \(b/a\) ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่วงรีต่อพื้นที่ของวงกลมคือ \(b/a\) และพื้นที่นี้คือ \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). ในที่สุดเราก็มี
$$
S=\pi ab.\number
$$

รูปภาพของบรรทัดลำดับที่สอง

เราได้เห็นแล้วว่าเส้นตรงกลายเป็นเส้นตรง นี่เป็นกรณีพิเศษของข้อความต่อไปนี้

คำชี้แจง 3

การแปลงความสัมพันธ์จะแปลงเส้นพีชคณิตเป็นเส้นพีชคณิตที่มีลำดับเดียวกัน

การพิสูจน์.

ที่จริงแล้ว ให้เส้นตรง \(L\) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน \(O, \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)\) มีสมการพีชคณิตของลำดับ \(p \) เรารู้อยู่แล้วว่าภาพของทุกจุดของเส้น \(L\) ภายใต้การแปลงความสัมพันธ์ \(f\) มีอยู่ในระบบพิกัด \(f(O), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)) , f(\boldสัญลักษณ์( e)_(2))\) เป็นพิกัดเดียวกันกับรูปภาพผกผันในระบบพิกัด \(O, \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2) \) ดังนั้น พิกัดของรูปภาพในระบบ \(f(O), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2))\) มีความสัมพันธ์กันด้วยพีชคณิตเดียวกัน สมการของลำดับ \(p\ ) นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะได้ข้อสรุปที่เราต้องการ

จากข้อความที่พิสูจน์แล้วข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปตามที่บรรทัดลำดับที่สองภายใต้การแปลงความสัมพันธ์จะกลายเป็นบรรทัดลำดับที่สอง เราจะพิสูจน์ข้อความที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น ดังที่เราทราบแล้วว่าบรรทัดลำดับที่สองสามารถแบ่งออกเป็น เราจะเห็นว่าคลาสของบรรทัดถูกรักษาไว้ภายใต้การเปลี่ยนแปลงแบบ Affine บนพื้นฐานนี้ คลาสของเส้นที่ระบุในทฤษฎีบทดังกล่าวเรียกว่าคลาสแอฟฟิเน ลองพิสูจน์ข้อความใหม่กัน

คำชี้แจงที่ 4

บรรทัดลำดับที่สองที่เป็นของคลาส Affine หนึ่งคลาสสามารถแปลงเป็นบรรทัดของคลาสเดียวกันได้ภายใต้การแปลง Affine ใดๆ เท่านั้น บรรทัดลำดับที่สองแต่ละบรรทัดสามารถแปลงได้โดยการแปลงอัฟฟินที่เหมาะสมไปเป็นบรรทัดอื่นใดในคลาสอัฟฟินเดียวกัน

การพิสูจน์.

เราจะเรียกเส้นมีขอบเขตถ้ามันอยู่ในสี่เหลี่ยมด้านขนานบางรูป จะเห็นได้ง่ายว่าด้วยการแปลงความสัมพันธ์ เส้นที่มีขอบเขตจะต้องกลายเป็นขอบเขต และเส้นที่ไม่มีขอบเขตจะต้องกลายเป็นไม่มีขอบเขต

1. วงรีคือเส้นลำดับที่สองที่มีขอบเขต นอกจากวงรีแล้ว มีเพียงเส้นที่ประกอบด้วยจุดเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือเส้นตัดจินตภาพคู่หนึ่งเท่านั้นที่ถูกจำกัด เนื่องจากวงรีมีจำนวนจำกัดและประกอบด้วยจุดมากกว่าหนึ่งจุด จึงสามารถแปลงเป็นวงรีได้เท่านั้น
2. ไฮเปอร์โบลามีสองกิ่งแยกจากกัน คุณสมบัตินี้สามารถกำหนดได้ในลักษณะที่ทำให้ค่าคงที่ภายใต้การแปลงความสัมพันธ์มีความชัดเจน กล่าวคือ มีเส้นตรงที่ไม่ตัดกันไฮเปอร์โบลา แต่ตัดกันบางคอร์ดของมัน ในบรรดาเส้นลำดับที่สองทั้งหมด มีเพียงไฮเปอร์โบลาและคู่ของเส้นคู่ขนานเท่านั้นที่มีคุณสมบัตินี้ กิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาไม่ใช่เส้นตรง ดังนั้น เมื่อแปลงแบบอัฟฟินี จึงสามารถแปลงเป็นไฮเปอร์โบลาได้เท่านั้น
3. พาราโบลาคือเส้นไม่จำกัดลำดับที่สอง ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่ไม่เป็นเส้นตรงหนึ่งชิ้น ไม่มีบรรทัดลำดับที่สองอื่นๆ ที่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นพาราโบลาจึงสามารถแปลงเป็นพาราโบลาได้เท่านั้น
4. หากเส้นลำดับที่สองแทนจุด (คู่ของเส้นตัดจินตภาพ) เส้น (เส้นตรงคู่หนึ่ง) คู่ของเส้นตัดกันหรือคู่ของเส้นขนาน จากนั้นจากคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ของการแปลงความสัมพันธ์จะเป็นไปตามนั้น ว่าบรรทัดนี้ไม่สามารถแปลงเป็นบรรทัดของคลาสอื่นได้

ให้เราพิสูจน์ส่วนที่สองของข้อเสนอ ในสิ่งที่เราได้พิสูจน์ไปแล้ว สมการบัญญัติของเส้นลำดับที่สองเขียนในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนและมีพารามิเตอร์ \(a, b, ...\) หากเราละทิ้งความเป็นออร์โธนอร์มัลลิตีของพื้นฐาน เราก็สามารถดำเนินการต่อไปได้ ลดความซับซ้อนของสมการบัญญัติและนำมาสู่รูปแบบที่ไม่มีพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่น การแทนที่พิกัด \(x'=x/a\), \(y'=y/b\) แปลงสมการวงรี \(x^(2)a^(2)+y^(2)b ^(2 )=1\) ลงในสมการ \(x'^(2)+y'^(2)=1\) ไม่ว่าจะเป็น \(a\) และ \(b\) ก็ตาม (สมการสุดท้ายไม่ใช่สมการของวงกลม เนื่องจากระบบพิกัดใหม่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน)

ผู้อ่านสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าสมการบัญญัติของเส้นอันดับสองสามารถเปลี่ยนเป็นสมการต่อไปนี้ได้โดยการย้ายไปยังระบบพิกัดที่เหมาะสม:

1. \(x^(2)+y^(2)=1\);
2. \(x^(2)+y^(2)=0\);
3. \(x^(2)-y^(2)=1\);
4. \(x^(2)-y^(2)=0\);
5. \(y^(2)=2x\);
6. \(y^(2)-1=0\);
7. \(y^(2)=0\)

เราจะเรียกระบบพิกัดดังกล่าวว่าระบบพิกัดแบบบัญญัติที่เกี่ยวข้อง

ตามมาจากก่อนหน้านี้ การเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ที่รวมระบบพิกัดเชิงบัญญัติของความสัมพันธ์ความสัมพันธ์ของสองบรรทัดของคลาสความสัมพันธ์เดียวกันก็รวมเส้นเหล่านี้เข้าด้วยกันด้วย เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

การสลายตัวของการเปลี่ยนแปลงมุมฉาก

ทฤษฎีบท 1

การแปลงมุมตั้งฉากแต่ละครั้งจะสลายตัวเป็นผลคูณของการแปลแบบขนาน การหมุน และบางทีอาจเป็นสมมาตรตามแนวแกน

การพิสูจน์.

กำหนดให้ \(f\) เป็นการแปลงมุมฉาก และ \(\vartriangle ABC\) เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมฉาก \(A\) เมื่อแปลง \(f\) มันจะเปลี่ยนเป็นสามเหลี่ยมเท่ากัน \(\vartriangle A^(*)B^(*)C^(*)\) โดยมีมุมฉากที่จุดยอด \(A^(*) \) ทฤษฎีบทนี้จะได้รับการพิสูจน์ ถ้าโดยการแปลแบบขนานตามลำดับ \(p\) การหมุน \(q\) และ (ถ้าจำเป็น) สมมาตรตามแนวแกน \(r\) เราสามารถรวมสามเหลี่ยม \(ABC\) และ \( อ^ (*)B^(*)ค^(*)\) แท้จริงแล้ว ผลิตภัณฑ์ \(rqp\) เป็นการแปลงความสัมพันธ์เหมือนกับ \(f\) และการแปลงความสัมพันธ์ถูกกำหนดโดยรูปภาพของจุดสามจุดที่ไม่อยู่ในเส้นเดียวกัน ดังนั้น \(rqp\) จึงเกิดขึ้นพร้อมกับ \(f\)

ดังนั้น ลองแปล \(A\) และ \(A^(*)\) โดยการถ่ายโอนแบบขนาน \(p\) เป็นเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AA^(*))\) (ถ้า \(A=A ^(* )\) ดังนั้น \(p\) คือการแปลงเอกลักษณ์) จากนั้น โดยการหมุน \(q\) รอบจุด \(A^(*)\) \(p(B)\) เข้ากันได้กับ \(B^(*)\) (บางทีการแปลงนี้ก็อาจจะเหมือนกันเช่นกัน ). จุด \(q(p(C))\) เกิดขึ้นพร้อมกับ \(C^(*)\) หรือมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง \(A^(*)B^(*)\ ). ในกรณีแรก บรรลุเป้าหมายแล้ว และในกรณีที่สอง จะต้องมีความสมมาตรตามแนวแกนสัมพันธ์กับเส้นตรงที่ระบุ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

โปรดทราบว่าการขยายตัวของการเปลี่ยนแปลงมุมฉากที่เกิดขึ้นนั้นไม่ซ้ำกัน นอกจากนี้ การหมุนหรือการแปลแบบขนานสามารถแยกย่อยเป็นผลคูณของสมมาตรตามแนวแกน ผลคูณของการแปลและการหมุนแบบขนานสามารถแสดงเป็นการหมุนครั้งเดียว และอื่นๆ เราจะไม่ระบุวิธีการทำเช่นนี้ แต่จะชี้แจงคุณสมบัติทั่วไปต่อไปนี้ของส่วนขยายทั้งหมดดังกล่าว

คำชี้แจงที่ 5

สำหรับการสลายตัวของการแปลงมุมฉากเป็นผลคูณของการแปลแบบขนาน การหมุน และสมมาตรตามแนวแกน จำนวนเท่าใดก็ได้ของสมมาตรตามแนวแกนที่รวมอยู่ในการขยายตัวจะเท่ากัน

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ขอให้เราพิจารณาพื้นฐานที่กำหนดเองบนระนาบและติดตามการเปลี่ยนแปลงในการวางแนวของมัน (ทิศทางของการหมุนที่สั้นที่สุดจาก \(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)\) ถึง \(\boldสัญลักษณ์(e)_ (2)\)) ในระหว่างการแปลงที่ดำเนินการ โปรดทราบว่าการหมุนและการแปลแบบขนานจะไม่เปลี่ยนการวางแนวของฐานใดๆ แต่สมมาตรตามแนวแกนจะเปลี่ยนการวางแนวของฐานใดๆ ดังนั้น หากการแปลงมุมฉากที่กำหนดเปลี่ยนการวางแนวของฐาน การขยายตัวใดๆ ของฐานนั้นจะต้องรวมสมมาตรของแกนเป็นจำนวนคี่ด้วย หากการวางแนวของฐานไม่เปลี่ยนแปลง จำนวนสมมาตรของแกนที่รวมอยู่ในส่วนขยายจะเป็นได้เพียงเลขคู่เท่านั้น

คำนิยาม.

เรียกว่าการแปลงมุมฉากที่สามารถแยกย่อยเป็นผลคูณของการแปลและการหมุนแบบขนาน การแปลงมุมตั้งฉากชนิดที่หนึ่ง , และที่เหลือ - การแปลงมุมฉากของชนิดที่สอง .

การแปลงมุมตั้งฉากในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนเขียนไว้ว่า:
$$
\begin(อาร์เรย์)(ซีซี)


\end(array).\number
$$
ด้วยเครื่องหมายบนของสัมประสิทธิ์ \(y\) ในสูตรเหล่านี้ ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์จะเท่ากับ +1 และด้วยเครื่องหมายล่างจะเท่ากับ -1 จากที่นี่และจากสูตร \eqref(ref4) ข้อความต่อไปนี้จะตามมา

คำชี้แจง 6

การแปลงมุมฉากของชนิดที่ 1 เขียนในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนโดยใช้สูตร
$$
\begin(อาร์เรย์)(ซีซี)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2)
\end(array).\number
$$
ด้วยเครื่องหมายบนสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของ \(y\) และการแปลงมุมฉากของชนิดที่สอง - ด้วยเครื่องหมายล่าง

การสลายตัวของการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์

เราได้เห็นแล้วว่าการแปลงความสัมพันธ์สามารถเปลี่ยนระนาบได้มากเพียงใด วงกลมสามารถเปลี่ยนเป็นวงรี สามเหลี่ยมปกติให้กลายเป็นระนาบใดก็ได้ ดูเหมือนว่าไม่สามารถรักษามุมได้ อย่างไรก็ตาม ข้อความต่อไปนี้ถือเป็น

คำชี้แจงที่ 7

สำหรับการแปลงความสัมพันธ์แต่ละครั้ง จะมีเส้นตั้งฉากกันสองเส้นที่แปลงเป็นเส้นตั้งฉากกัน

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้พิจารณาวงกลม ด้วยการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์นี้ มันจะกลายเป็นวงรี แกนวงรีแต่ละแกนคือเซตของจุดกึ่งกลางของคอร์ดที่ขนานกับแกนอีกแกนหนึ่ง ในระหว่างการแปลงความสัมพันธ์ คอร์ดจะเปลี่ยนเป็นคอร์ด ความเท่าเทียมจะต้องยังคงอยู่ และจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์จะเปลี่ยนเป็นจุดกึ่งกลางของภาพ ดังนั้นต้นแบบของแกนวงรีจึงเป็นส่วนที่มีคุณสมบัติเหมือนกัน: แต่ละส่วนคือเซตของจุดกึ่งกลางของคอร์ดของวงกลมที่ขนานกับอีกส่วนหนึ่ง ส่วนดังกล่าวมีเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมตั้งฉากกันสองอันอย่างแน่นอน นี่คือสิ่งที่เราต้องการ: วงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางตั้งฉากกันสองเส้นซึ่งแปลงเป็นส่วนตั้งฉากกัน - แกนของวงรี

เป็นที่น่าสังเกตกรณีพิเศษอย่างหนึ่ง: วงกลมที่อยู่ใต้การเปลี่ยนแปลงแบบสัมพันธ์สามารถกลายเป็นวงกลมได้ ในกรณีนี้ ให้ใช้เหตุผลเดียวกันกับเส้นผ่านศูนย์กลางสองเส้นที่ตั้งฉากกันของภาพวงกลม แน่นอนว่าในกรณีนี้ ทิศทางสองทิศทางที่ตั้งฉากกันจะยังคงตั้งฉากกัน

คำนิยาม.

ทิศทางที่ตั้งฉากกันสองทิศทางเรียกว่าทิศทางหลักหรือทิศทางเอกพจน์ของการแปลงความสัมพันธ์ \(f\) หากทิศทางทั้งสองเปลี่ยนทิศทางเป็นทิศทางตั้งฉากซึ่งกันและกัน

ทฤษฎีบท 2

การแปลงความสัมพันธ์แต่ละครั้งจะถูกแยกย่อยเป็นผลคูณของการแปลงมุมฉากและการบีบอัดสองครั้งเป็นเส้นตั้งฉากกันสองเส้น

การพิสูจน์.

หลักฐานก็คล้ายกับหลักฐาน พิจารณาการแปลงความสัมพันธ์ \(f\) และเลือกสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว \(ABC\) เพื่อให้ขา \(AB\) และ \(AC\) หันไปตามทิศทางหลักของการแปลง \(f\) ให้เราแสดงด้วย \(A^(*)\), \(B^(*)\) และ \(C^(*)\) ภาพของจุดยอดของมัน ขอให้เราสร้างการแปลงตั้งฉาก \(g\) โดยที่ \(g(A)=A^(*)\) และจุด \(g(B)\) และ \(g(C)\) อยู่ตามลำดับ บนรังสี \(A^(*)B^(*)\) และ \(A^(*)C^(*)\) (ซึ่งสามารถทำได้ง่าย เช่นเดียวกับในทฤษฎีบทที่ 1 โดยการแปลแบบขนาน การหมุน และสมมาตรตามแนวแกน)

ให้ \(\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|\), a \(\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)ก(C)|\) จากนั้นการหดตัวของ \(p_(1)\) ไปยังเส้นตรง \(A^(*)C^(*)\) ในความสัมพันธ์ \(\lambda\) จะเปลี่ยน \(g(B)\) เป็น \ (p_(1) g(B)=B^(*)\) และจะไม่เลื่อนจุด \(A^(*)\) และ \(g(C)\) ในทำนองเดียวกัน การทำสัญญา \(p_(2)\) กับบรรทัด \(A^(*)B^(*)\) จะแปลง \(g(C)\) เป็น \(p_(2)g(C)= C^ (*)\) และจะไม่เลื่อนจุดของเส้น \(A^(*)B^(*)\)

ซึ่งหมายความว่าผลิตภัณฑ์ \(p_(2)p_(1)g\) นำคะแนน \(A\), \(B\) และ \(C\) ไปยังจุด \(A^(*)\) , \ (B^(*)\) และ \(C^(*)\) เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลง \(f\) ที่มอบให้เรา จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ เรามี \(p_(2)p_(1)g=f\) ตามที่ต้องการ