Znajdowanie liczb Fibonacciego. Liczby Fibonacciego i złoty podział: związek

Jednak to nie wszystko, co można zrobić dzięki złotemu podziałowi. Jeśli podzielimy jeden przez 0,618, otrzymamy 1,618; jeśli podniesiemy to do kwadratu, otrzymamy 2,618; jeśli podniesiemy to do sześcianu, otrzymamy 4,236. Są to współczynniki ekspansji Fibonacciego. Brakuje tu jedynie liczby 3236, którą zaproponował John Murphy.

Co eksperci sądzą o spójności?

Niektórzy mogą powiedzieć, że liczby te są już znane, ponieważ wykorzystuje się je w programach analizy technicznej do określania wielkości poprawek i rozszerzeń. Ponadto te same serie odgrywają ważną rolę w teorii fal Eliota. Stanowią one jego podstawę liczbową.

Nasz ekspert Nikolay jest sprawdzonym menadżerem portfela w firmie inwestycyjnej Vostok.

• — Nikolay, czy uważasz, że pojawienie się liczb Fibonacciego i ich pochodnych na wykresach różnych instrumentów jest przypadkowe? I czy można powiedzieć: „praktyczne zastosowanie szeregu Fibonacciego” ma miejsce?
• — Mam zły stosunek do mistycyzmu. A tym bardziej na wykresach giełdowych. Wszystko ma swoje przyczyny. w książce „Poziomy Fibonacciego” pięknie opisał, gdzie pojawia się złoty podział, że nie zdziwiło go, że pojawił się on na wykresach notowań giełdowych. Ale na próżno! W wielu podanych przez niego przykładach często pojawia się liczba Pi. Ale z jakiegoś powodu nie jest to uwzględnione w stosunkach cenowych.
• — Czyli nie wierzysz w skuteczność zasady fal Eliota?
• - Nie, nie o to chodzi. Zasada fali to jedno. Stosunek liczbowy jest inny. Trzecim powodem jest ich pojawienie się na wykresach cenowych
• — Jakie są Pana zdaniem przyczyny pojawienia się złotego podziału na wykresach giełdowych?
• — Za poprawną odpowiedź na to pytanie możesz otrzymać Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii. Na razie możemy się domyślać prawdziwych powodów. Wyraźnie nie są w harmonii z naturą. Istnieje wiele modeli wyceny giełdowej. Nie wyjaśniają wyznaczonego zjawiska. Ale brak zrozumienia natury zjawiska nie powinien zaprzeczać zjawisku jako takiemu.
• — A jeśli to prawo zostanie kiedykolwiek otwarte, czy będzie w stanie zniszczyć proces wymiany?
• — Jak pokazuje teoria tej samej fali, prawo zmian cen akcji to czysta psychologia. Wydaje mi się, że znajomość tego prawa niczego nie zmieni i nie będzie w stanie zniszczyć giełdy.

Materiał dostarczony przez blog webmastera Maxima.

Zbieżność podstawowych zasad matematyki w różnych teoriach wydaje się niewiarygodna. Może jest to fantazja lub dostosowana do efektu końcowego. Poczekaj i zobacz. Wiele z tego, co wcześniej uważano za niezwykłe lub nie było możliwe: na przykład eksploracja kosmosu stała się codziennością i nikogo nie dziwi. Również teoria fal, która może być niezrozumiała, z czasem stanie się bardziej przystępna i zrozumiała. To, co wcześniej było niepotrzebne, w rękach doświadczonego analityka stanie się potężnym narzędziem przewidywania przyszłych zachowań.

Liczby Fibonacciego w przyrodzie.

Patrzeć

Porozmawiajmy teraz o tym, jak obalić fakt, że cyfrowy ciąg Fibonacciego jest zaangażowany w dowolne wzorce w przyrodzie.

Weźmy dowolne dwie liczby i zbudujmy sekwencję o tej samej logice, co liczby Fibonacciego. Oznacza to, że następny element ciągu jest równy sumie dwóch poprzednich. Weźmy dla przykładu dwie liczby: 6 i 51. Teraz zbudujemy ciąg, który uzupełnimy dwiema liczbami 1860 i 3009. Zauważmy, że dzieląc te liczby otrzymamy liczbę bliską złotemu podziałowi.

Jednocześnie liczby uzyskane przy dzieleniu innych par zmniejszyły się od pierwszej do ostatniej, co pozwala nam powiedzieć, że jeśli ten szereg będzie kontynuowany w nieskończoność, otrzymamy liczbę równą złotemu podziałowi.

Zatem liczby Fibonacciego nie wyróżniają się niczym. Istnieją inne ciągi liczb, których jest nieskończona liczba, które w wyniku tych samych operacji dają złotą liczbę phi.

Fibonacci nie był ezoterykiem. Nie chciał dodawać do liczb żadnego mistycyzmu; po prostu rozwiązywał zwyczajny problem dotyczący królików. I napisał ciąg liczb wynikający z jego problemu, w pierwszym, drugim i kolejnych miesiącach, ile królików będzie po rozmnożeniu. W ciągu roku otrzymał tę samą sekwencję. A ja nie miałam związku. Nie było mowy o żadnej złotej proporcji czy boskim związku. Wszystko to zostało wynalezione po nim w okresie renesansu.

W porównaniu z matematyką zalety Fibonacciego są ogromne. Przejął system liczbowy od Arabów i udowodnił jego ważność. To była ciężka i długa walka. Z rzymskiego systemu liczbowego: ciężki i niewygodny w liczeniu. Zniknęła po rewolucji francuskiej. Fibonacci nie ma nic wspólnego ze złotym podziałem.

Algorytmy,

Matematyka

• Tłumaczenie

Wstęp

Programiści powinni mieć już dość liczb Fibonacciego. W całym artykule podano przykłady ich obliczeń. Dzieje się tak, ponieważ liczby te stanowią najprostszy przykład rekurencji. Są także dobrym przykładem programowania dynamicznego. Ale czy konieczne jest obliczanie ich w ten sposób w prawdziwym projekcie? Nie ma potrzeby. Ani rekurencja, ani programowanie dynamiczne nie są idealnymi opcjami. I nie jest to zamknięta formuła wykorzystująca liczby zmiennoprzecinkowe. Teraz powiem ci, jak zrobić to poprawnie. Ale najpierw przejrzyjmy wszystkie znane opcje rozwiązania.

Kod jest przeznaczony dla Pythona 3, chociaż powinien działać również z Pythonem 2.

Na początek przypomnę definicję:

Fn = Fn-1 + Fn-2

I F1 = F2 =1.

Zamknięta formuła

Pomińmy szczegóły, ale zainteresowani mogą zapoznać się z wyprowadzeniem wzoru. Pomysł jest taki, aby założyć, że istnieje x, dla którego F n = x n, a następnie znaleźć x.

Co to znaczy

Zmniejsz x n-2

Rozwiązanie równania kwadratowego:

W tym miejscu rośnie „złoty podział” ϕ=(1+√5)/2. Zastępując oryginalne wartości i wykonując więcej obliczeń, otrzymujemy:

Tego właśnie używamy do obliczenia Fn.

Z __future__ import podział import math def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0.5)

Dobry:
Szybkie i łatwe dla małych n
Złe:
Wymagane są operacje zmiennoprzecinkowe. Duże n będzie wymagało większej precyzji.
Zło:
Używanie liczb zespolonych do obliczania F n jest piękne z matematycznego punktu widzenia, ale brzydkie z komputerowego punktu widzenia.

Rekurencja

Najbardziej oczywiste rozwiązanie, które widziałeś już wiele razy - najprawdopodobniej jako przykład tego, czym jest rekurencja. Powtórzę to jeszcze raz dla kompletności. W Pythonie można to zapisać w jednej linii:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) if n > 2 else 1

Dobry:
Bardzo prosta implementacja zgodna z matematyczną definicją
Złe:
Wykładniczy czas wykonania. Dla dużego n jest bardzo powolny
Zło:
Przepełnienie stosu

Zapamiętanie

Rozwiązanie rekursyjne ma duży problem: nakładające się obliczenia. Kiedy wywoływane jest fib(n), zliczane są fib(n-1) i fib(n-2). Ale kiedy zostanie policzone fib(n-1), fib(n-2) zostanie policzone ponownie niezależnie - to znaczy, fib(n-2) zostanie policzone dwukrotnie. Jeśli będziemy kontynuować argumentację, zobaczymy, że fib(n-3) zostanie policzone trzy razy itd. Za dużo skrzyżowań.

Dlatego wystarczy zapamiętać wyniki, aby nie liczyć ich ponownie. Rozwiązanie to zużywa czas i pamięć w sposób liniowy. W moim rozwiązaniu używam słownika, ale można również użyć prostej tablicy.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): jeśli n w M: zwróć M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) zwróć M[n]

(W Pythonie można to również zrobić za pomocą dekoratora functools.lru_cache.)

Dobry:
Po prostu zamień rekurencję w rozwiązanie pamięciowe. Konwertuje wykładniczy czas wykonania na wykonanie liniowe, które zużywa więcej pamięci.
Złe:
Marnuje dużo pamięci
Zło:
Możliwe przepełnienie stosu, podobnie jak rekurencja

Programowanie dynamiczne

Po rozwiązaniu zapamiętywania staje się jasne, że nie potrzebujemy wszystkich poprzednich wyników, ale tylko dwa ostatnie. Ponadto zamiast zaczynać od fib(n) i cofać się, możesz zacząć od fib(0) i iść dalej. Poniższy kod ma liniowy czas wykonania i stałe użycie pamięci. W praktyce szybkość rozwiązania będzie jeszcze większa, ponieważ nie ma rekurencyjnych wywołań funkcji i związanej z nimi pracy. A kod wygląda na prostszy.

Rozwiązanie to jest często przytaczane jako przykład programowania dynamicznego.

Def fib(n): a = 0 b = 1 dla __ w zakresie(n): a, b = b, a + b return a

Dobry:
Działa szybko dla małego n, prostego kodu
Złe:
Nadal liniowy czas wykonania
Zło:
Nic specjalnego.

Algebra macierzy

I na koniec rozwiązanie najmniej oświecone, ale jak najbardziej poprawne, mądrze wykorzystujące zarówno czas, jak i pamięć. Można go również rozszerzyć na dowolną jednorodną sekwencję liniową. Pomysł jest taki, żeby użyć macierzy. Wystarczy to zobaczyć

I uogólnienie tego mówi, że

Dwie wartości x, które otrzymaliśmy wcześniej, z których jedną była złota proporcja, są wartościami własnymi macierzy. Dlatego innym sposobem wyprowadzenia zamkniętego wzoru jest użycie równania macierzowego i algebry liniowej.

Dlaczego więc ta formuła jest przydatna? Ponieważ potęgowanie można przeprowadzić w czasie logarytmicznym. Odbywa się to poprzez kwadraturę. Chodzi o to, że

Gdzie pierwsze wyrażenie jest używane dla parzystego A, drugie dla nieparzystego. Pozostaje jeszcze uporządkować mnożenia macierzy i wszystko gotowe. Wynikiem tego jest następujący kod. Stworzyłem rekurencyjną implementację pow, ponieważ jest łatwiejsza do zrozumienia. Zobacz wersję iteracyjną tutaj.

Def pow(x, n, I, mult): """ Zwraca x do potęgi n. Zakłada, że ​​I jest macierzą jednostkową mnożoną przez mult, a n jest dodatnią liczbą całkowitą """ jeśli n == 0: zwróć I elif n == 1: return x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def tożsamość_macierz (n): """Zwraca macierz tożsamości n na n""" r = lista(zakres(n)) return [ dla j w r] def matrix_multiply(A, B): BT = lista(zip(*B) ) return [ dla wiersza w A] def fib(n): F = pow([, ], n, macierz_tożsamości(2), mnożenie_macierzy) return F

Dobry:
Stały rozmiar pamięci, czas logarytmiczny
Złe:
Kod jest bardziej skomplikowany
Zło:
Trzeba pracować z matrycami, choć nie są takie złe

Porównanie wydajności

Warto porównać jedynie wariant programowania dynamicznego i macierzowy. Jeśli porównamy je przez liczbę znaków w liczbie n, okaże się, że rozwiązanie macierzowe jest liniowe, a rozwiązanie z programowaniem dynamicznym jest wykładnicze. Praktycznym przykładem jest obliczenie fib(10 ** 6), liczby, która będzie miała więcej niż dwieście tysięcy cyfr.

N=10**6
Obliczanie fib_matrix: fib(n) ma tylko 208988 cyfr, obliczenie zajęło 0,24993 sekundy.
Obliczanie fib_dynamic: fib(n) ma tylko 208988 cyfr, obliczenia trwały 11,83377 sekund.

Uwagi teoretyczne

Chociaż uwaga ta nie jest bezpośrednio związana z powyższym kodem, nadal jest interesująca. Rozważ następujący wykres:

Policzmy ścieżki o długości n od A do B. Na przykład dla n = 1 mamy jedną ścieżkę 1. Dla n = 2 znowu mamy jedną ścieżkę 01. Dla n = 3 mamy dwie ścieżki 001 i 101 Można w prosty sposób wykazać, że liczba ścieżek o długości n z A do B jest dokładnie równa F n. Po zapisaniu macierzy sąsiedztwa dla grafu otrzymujemy tę samą macierz, która została opisana powyżej. Dobrze znanym wnioskiem z teorii grafów jest to, że przy macierzy sąsiedztwa A zdarzeniami w An są liczba ścieżek o długości n na grafie (jeden z problemów wspomnianych w filmie Good Will Hunting).

Dlaczego na żebrach znajdują się takie oznaczenia? Okazuje się, że jeśli weźmiemy pod uwagę nieskończoną sekwencję symboli w nieskończonej sekwencji ścieżek w obie strony na wykresie, otrzymamy coś, co nazywa się „przesunięciami typu skończonego”, co jest rodzajem symbolicznego systemu dynamiki. To szczególne przesunięcie podrzędne skończonego typu znane jest jako „przesunięcie złotego podziału” i jest określone przez zestaw „zakazanych słów” (11). Innymi słowy, otrzymamy ciągi binarne, które są nieskończone w obu kierunkach i żadna z nich nie będzie sąsiadować ze sobą. Entropia topologiczna tego układu dynamicznego jest równa złotemu podziałowi ϕ. To ciekawe, jak liczba ta pojawia się okresowo w różnych obszarach matematyki.

We wszechświecie wciąż pozostaje wiele nierozwiązanych tajemnic, z których część naukowcom udało się już zidentyfikować i opisać. Liczby Fibonacciego i złoty podział stanowią podstawę do odkrywania otaczającego nas świata, konstruowania jego formy i optymalnej percepcji wzrokowej człowieka, za pomocą której może on odczuwać piękno i harmonię.

Złoty podział

Zasada określania wymiarów złotego podziału leży u podstaw doskonałości całego świata i jego części w jego strukturze i funkcjach, jej przejawy można dostrzec w przyrodzie, sztuce i technologii. Doktryna złotej proporcji powstała w wyniku badań starożytnych uczonych nad naturą liczb.

Opiera się na teorii proporcji i stosunków podziałów odcinków, którą stworzył starożytny filozof i matematyk Pitagoras. Udowodnił, że dzieląc odcinek na dwie części: X (mniejszą) i Y (większą), stosunek większej do mniejszej będzie równy stosunkowi ich sumy (całego odcinka):

Wynikiem jest równanie: x 2 - x - 1=0, który jest rozwiązany jako x=(1±√5)/2.

Jeśli weźmiemy pod uwagę stosunek 1/x, to będzie on równy 1,618…

Dowody stosowania złotego podziału przez starożytnych myślicieli znajdują się w książce Euklidesa „Elementy”, napisanej jeszcze w III wieku. BC, który zastosował tę zasadę do budowy pięciokątów foremnych. Wśród pitagorejczyków postać ta jest uważana za świętą, ponieważ jest zarówno symetryczna, jak i asymetryczna. Pentagram symbolizował życie i zdrowie.

Liczby Fibonacciego

Słynna książka Liber abaci włoskiego matematyka Leonarda z Pizy, znanego później jako Fibonacci, została opublikowana w 1202 roku. Naukowiec po raz pierwszy przytacza w niej wzór liczb, w szeregu, którego każda liczba jest sumą 2 poprzednie cyfry. Sekwencja liczb Fibonacciego jest następująca:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Naukowiec przytoczył także szereg wzorców:

• Dowolna liczba z szeregu podzielona przez następną będzie równa wartości zmierzającej do 0,618. Co więcej, pierwsze liczby Fibonacciego nie podają takiej liczby, jednak w miarę przesuwania się od początku ciągu stosunek ten będzie coraz dokładniejszy.
• Jeśli podzielisz liczbę z szeregu przez poprzednią, wynik popędzi do 1,618.
• Jedna liczba podzielona przez następną przez jeden pokaże wartość zmierzającą do 0,382.

Zastosowanie powiązań i wzorów złotego podziału, liczby Fibonacciego (0,618), można znaleźć nie tylko w matematyce, ale także w przyrodzie, historii, architekturze i budownictwie oraz w wielu innych naukach.

Spirala Archimedesa i złoty prostokąt

Spirale, bardzo powszechne w przyrodzie, badał Archimedes, który nawet wyprowadził ich równanie. Kształt spirali opiera się na prawach złotego podziału. Podczas rozwijania uzyskuje się długość, do której można zastosować proporcje i liczby Fibonacciego, krok wzrasta równomiernie;

Podobieństwo między liczbami Fibonacciego a złotym podziałem można dostrzec, konstruując „złoty prostokąt”, którego boki są proporcjonalne jako 1,618:1. Buduje się go poprzez przejście od większego prostokąta do mniejszych, tak aby długości boków były równe liczbom z szeregu. Można go także zbudować w odwrotnej kolejności, zaczynając od kwadratu „1”. Kiedy rogi tego prostokąta są połączone liniami w środku ich przecięcia, uzyskuje się spiralę Fibonacciego lub logarytmiczną.

Historia stosowania złotych proporcji

Wiele starożytnych zabytków architektury Egiptu zbudowano przy użyciu złotych proporcji: słynne piramidy Cheopsa itp. Architekci starożytnej Grecji szeroko wykorzystywali je przy budowie obiektów architektonicznych, takich jak świątynie, amfiteatry i stadiony. Takie proporcje zastosowano na przykład przy budowie starożytnej świątyni Partenonu (Ateny) i innych obiektów, które stały się arcydziełami starożytnej architektury, wykazując harmonię opartą na wzorach matematycznych.

W późniejszych wiekach zainteresowanie złotym podziałem osłabło, a wzory zostały zapomniane, ale powróciło w epoce renesansu wraz z księgą franciszkanina L. Pacioli di Borgo „Boska proporcja” (1509). Zawierała ilustracje Leonarda da Vinci, który ustanowił nową nazwę „złoty podział”. Udowodniono także naukowo 12 właściwości złotego podziału, a autor opowiedział, w jaki sposób przejawia się on w przyrodzie, w sztuce, nazywając to „zasadą budowania świata i natury”.

Człowiek witruwiański Leonardo

Rysunek, którym Leonardo da Vinci ilustrował Księgę Witruwiusza w 1492 roku, przedstawia postać ludzką w 2 pozycjach z ramionami rozłożonymi na boki. Figura jest wpisana w okrąg i kwadrat. Rysunek ten uważany jest za kanoniczne proporcje ciała ludzkiego (męskiego), opisane przez Leonarda na podstawie ich studiowania w traktatach rzymskiego architekta Witruwiusza.

Środek ciała w równej odległości od końców rąk i nóg to pępek, długość ramion równa wzrostowi osoby, maksymalna szerokość ramion = 1/8 wzrostu, odległość od czubka klatki piersiowej do włosów = 1/7, od czubka klatki piersiowej do czubka głowy = 1/6 itd.

Od tego czasu rysunek stał się symbolem ukazującym wewnętrzną symetrię ludzkiego ciała.

Leonardo użył terminu „złoty podział” na określenie proporcjonalnych relacji w sylwetce ludzkiej. Np. odległość od pasa do stóp odnosi się do tej samej odległości od pępka do czubka głowy, w taki sam sposób jak wysokość do pierwszej długości (od pasa w dół). Obliczenie to odbywa się podobnie jak stosunek segmentów przy obliczaniu złotej proporcji i dąży do 1,618.

Wszystkie te harmonijne proporcje są często wykorzystywane przez artystów do tworzenia pięknych i efektownych dzieł.

Badania nad złotym podziałem w XVI-XIX wieku

Wykorzystując złoty podział i liczby Fibonacciego, badania nad zagadnieniem proporcji trwają od wieków. Równolegle z Leonardem da Vinci nad rozwojem teorii prawidłowych proporcji ciała ludzkiego pracował także niemiecki artysta Albrecht Durer. W tym celu stworzył nawet specjalny kompas.

W XVI wieku Zagadnieniu związku liczby Fibonacciego ze złotym podziałem poświęcone zostały prace astronoma I. Keplera, który jako pierwszy zastosował te zasady do botaniki.

W XIX wieku złoty podział czekał na nowe „odkrycie”. wraz z publikacją „Dociekań estetycznych” niemieckiego naukowca profesora Zeisiga. Podniósł te proporcje do absolutów i oświadczył, że są one uniwersalne dla wszystkich zjawisk naturalnych. Przeprowadził badania ogromnej liczby ludzi, a właściwie ich proporcji ciała (około 2 tys.), z których wyciągnięto wnioski na temat statystycznie potwierdzonych wzorców proporcji poszczególnych części ciała: długości ramion, przedramiona, dłonie, palce itp.

Badano także przedmioty artystyczne (wazony, konstrukcje architektoniczne), tony muzyczne i rozmiary podczas pisania wierszy - Zeisig ukazywał to wszystko poprzez długość odcinków i liczb, a także wprowadził termin „estetyka matematyczna”. Po otrzymaniu wyników okazało się, że uzyskano szereg Fibonacciego.

Liczba Fibonacciego i złoty podział w przyrodzie

W świecie roślin i zwierząt istnieje tendencja do morfologii w postaci symetrii, którą obserwuje się w kierunku wzrostu i ruchu. Podział na symetryczne części, w których zachowane są złote proporcje – ten wzór jest nieodłączny od wielu roślin i zwierząt.

Otaczającą nas przyrodę można opisać za pomocą liczb Fibonacciego, na przykład:

• położenie liści lub gałęzi dowolnych roślin, a także odległości są skorelowane z szeregiem danych liczb 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i tak dalej;
• nasiona słonecznika (łuski na szyszkach, komórki ananasa), ułożone w dwóch rzędach wzdłuż skręconych spiral w różnych kierunkach;
• stosunek długości ogona do całego ciała jaszczurki;
• kształt jajka, jeśli warunkowo narysujesz linię przez jego szeroką część;
• stosunek wielkości palców na dłoni danej osoby.

I oczywiście do najciekawszych kształtów należą spiralne muszle ślimaków, wzory na pajęczynach, ruch wiatru wewnątrz huraganu, podwójna helisa w DNA i struktura galaktyk – a wszystko to wiąże się z ciągiem Fibonacciego.

Zastosowanie złotego podziału w sztuce

Badacze poszukujący przykładów zastosowania złotego podziału w sztuce szczegółowo badają różne obiekty architektoniczne i dzieła sztuki. Znajdują się tu słynne dzieła rzeźbiarskie, których twórcy zachowali złote proporcje - posągi Zeusa Olimpijskiego, Apolla Belvedere i

Jedno z dzieł Leonarda da Vinci, „Portret Mony Lisy”, jest od wielu lat przedmiotem badań naukowców. Odkryli, że kompozycja dzieła składa się w całości ze „złotych trójkątów” połączonych w regularną pięciokątną gwiazdę. Wszystkie prace da Vinci są dowodem na to, jak głęboka była jego wiedza na temat budowy i proporcji ludzkiego ciała, dzięki której udało mu się uchwycić niezwykle tajemniczy uśmiech Mony Lisy.

Złoty podział w architekturze

Jako przykład naukowcy zbadali arcydzieła architektury stworzone zgodnie z zasadami „złotego podziału”: piramidy egipskie, Panteon, Partenon, katedrę Notre Dame de Paris, katedrę św. Bazylego itp.

Partenon – jedna z najpiękniejszych budowli starożytnej Grecji (V w. p.n.e.) – posiada 8 kolumn i 17 po różnych stronach, stosunek jego wysokości do długości boków wynosi 0,618. Występy na elewacjach wykonane są według „złotego podziału” (zdjęcie poniżej).

Jednym z naukowców, który wymyślił i z sukcesem zastosował ulepszenie modułowego układu proporcji obiektów architektonicznych (tzw. „modulor”), był francuski architekt Le Corbusier. Modulator opiera się na układzie pomiarowym związanym z warunkowym podziałem na części ciała człowieka.

Rosyjski architekt M. Kazakow, który zbudował w Moskwie kilka budynków mieszkalnych, a także gmach Senatu na Kremlu i szpital w Golicynie (obecnie 1. Klinika im. N. I. Pirogowa), był jednym z architektów, którzy wykorzystali prawa w projektowaniu i konstrukcja o złotym podziale.

Stosowanie proporcji w projektowaniu

W projektowaniu odzieży wszyscy projektanci mody tworzą nowe obrazy i modele, biorąc pod uwagę proporcje ludzkiego ciała i zasady złotego podziału, choć z natury nie wszyscy ludzie mają idealne proporcje.

Planując architekturę krajobrazu i tworząc trójwymiarowe kompozycje parkowe za pomocą roślin (drzew i krzewów), fontann i obiektów małej architektury, można także zastosować prawa „boskich proporcji”. Przecież kompozycja parku powinna być nastawiona na wywarcie wrażenia na odwiedzającym, który będzie mógł swobodnie się po nim poruszać i odnaleźć centrum kompozycyjne.

Wszystkie elementy parku utrzymane są w takich proporcjach, aby za pomocą geometrycznej struktury, względnego położenia, oświetlenia i światła stworzyć wrażenie harmonii i doskonałości.

Zastosowanie złotego podziału w cybernetyce i technologii

Prawa złotego podziału i liczby Fibonacciego pojawiają się także w przejściach energetycznych, w procesach zachodzących z cząstkami elementarnymi tworzącymi związki chemiczne, w układach kosmicznych czy w strukturze genetycznej DNA.

Podobne procesy zachodzą w organizmie człowieka, objawiając się biorytmami jego życia, działaniem narządów, na przykład mózgu czy wzroku.

Algorytmy i wzorce złotych proporcji są szeroko stosowane we współczesnej cybernetyce i informatyce. Jednym z prostych zadań, jakie stawiają początkujący programiści, jest napisanie formuły i wyznaczenie sumy liczb Fibonacciego do określonej liczby za pomocą języków programowania.

Współczesne badania nad teorią złotego podziału

Od połowy XX wieku zainteresowanie problemami i wpływem praw złotych proporcji na życie ludzkie gwałtownie wzrosło, a wielu naukowców różnych zawodów: matematyków, badaczy etnicznych, biologów, filozofów, pracowników medycznych, ekonomistów, muzyków, itp.

W Stanach Zjednoczonych magazyn The Fibonacci Quarterly zaczął się ukazywać w latach 70. XX wieku, gdzie publikowano prace na ten temat. W prasie pojawiają się prace, w których uogólnione zasady złotego podziału i ciągu Fibonacciego znajdują zastosowanie w różnych dziedzinach wiedzy. Na przykład do kodowania informacji, badań chemicznych, badań biologicznych itp.

Wszystko to potwierdza wnioski starożytnych i współczesnych naukowców, że złota proporcja jest wielostronnie powiązana z podstawowymi zagadnieniami nauki i przejawia się w symetrii wielu tworów i zjawisk otaczającego nas świata.

Witajcie drodzy czytelnicy!

Złoty podział – co to jest? Liczby Fibonacciego są? Artykuł zawiera odpowiedzi na te pytania krótko i jasno, w prostych słowach.

Te pytania fascynują umysły coraz większej liczby pokoleń od kilku tysiącleci! Okazuje się, że matematyka może nie być nudna, ale ekscytująca, interesująca i fascynująca!

Inne przydatne artykuły:

Co to są liczby Fibonacciego?

Zadziwiający jest fakt podczas dzielenia każdej kolejnej liczby w ciągu liczbowym przez poprzednią wynikiem jest liczba zmierzająca do 1,618.

Szczęściarz odkrył tę tajemniczą sekwencję średniowieczny matematyk Leonardo z Pizy (lepiej znany jako Fibonacci). Przed nim Leonardo da Vinci odkrył zaskakująco powtarzającą się proporcję w budowie ludzkiego ciała, roślin i zwierząt Phi = 1,618. Naukowcy nazywają tę liczbę (1,61) „liczbą Boga”.

Przed Leonardem da Vinci ten ciąg liczb był znany w Starożytne Indie i starożytny Egipt. Piramidy egipskie budowano stosując proporcje Phi = 1,618.

Ale to nie wszystko, jak się okazuje prawa natury Ziemi i Kosmosu w jakiś niewytłumaczalny sposób podlegają ścisłym prawom matematycznym Ciągi liczbowe Fidonacciego.

Na przykład zarówno powłoka na Ziemi, jak i galaktyka w kosmosie są zbudowane przy użyciu liczb Fibonacciego. Zdecydowana większość kwiatów ma 5, 8, 13 płatków. W słoneczniku, na łodygach roślin, w wirujących wirach chmur, wirach, a nawet na wykresach kursów walut Forex, liczby Fibonacciego sprawdzają się wszędzie.

Obejrzyj proste i zabawne wyjaśnienie sekwencji liczb Fibonacciego i złotego podziału w tym KRÓTKIM WIDEO (6 minut):

Czym jest złoty podział lub boska proporcja?

Czym zatem jest złoty podział, złota lub boska proporcja? Fibonacci odkrył również, że sekwencja that składa się z kwadratów liczb Fibonacciego to jeszcze większa tajemnica. Spróbujmy graficznie przedstaw sekwencję w postaci obszaru:

1², 2², 3², 5², 8²…

Jeśli w graficzną reprezentację ciągu kwadratów liczb Fibonacciego wpiszemy spiralę, otrzymamy Złoty Podział, według zasad, według których zbudowane jest wszystko we wszechświecie, łącznie z roślinami, zwierzętami, spiralą DNA, ciałem ludzkim , ... Tę listę można ciągnąć w nieskończoność.

Złoty podział i liczby Fibonacciego w przyrodzie WIDEO

Proponuję obejrzeć krótki film (7 minut), który odsłania niektóre tajemnice Złotego Podziału. Myśląc o prawie liczb Fibonacciego, jako o pierwotnym prawie rządzącym przyrodą ożywioną i nieożywioną, pojawia się pytanie: czy ta idealna formuła na makrokosmos i mikrokosmos powstała sama, czy też ktoś ją stworzył i z powodzeniem zastosował?

Co o tym sądzisz? Zastanówmy się wspólnie nad tą zagadką, a może zbliżymy się do niej.

Mam nadzieję, że artykuł był dla Ciebie przydatny i nauczyłeś się czym jest złoty podział * i liczby Fibonacciego? Do zobaczenia ponownie na stronach bloga, subskrybuj bloga. Formularz zapisu znajduje się pod artykułem.

Życzę wszystkim wielu nowych pomysłów i inspiracji do ich realizacji!

ciąg Fibonacciego, znany wszystkim z filmu „Kod Da Vinci” – ciąg liczb opisany w formie zagadki przez włoskiego matematyka Leonarda z Pizy, lepiej znanego pod pseudonimem Fibonacci, w XIII wieku. Krótko o istocie zagadki:

Ktoś umieścił parę królików w pewnym zamkniętym pomieszczeniu, aby dowiedzieć się, ile par królików urodzi się w ciągu roku, jeśli natura królików jest taka, że ​​co miesiąc para królików rodzi kolejną parę, po czym stają się one zdolne do wydania potomstwa po osiągnięciu przez nie drugiego miesiąca życia.

Rezultatem jest ciąg liczb taki jak ten: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , gdzie podana jest liczba par królików w każdym z dwunastu miesięcy, oddzielona przecinkami. Można go kontynuować w nieskończoność. Jego istotą jest to, że każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich.

Seria ta ma kilka cech matematycznych, którymi zdecydowanie należy się zająć. Asymptotycznie (zbliżając się coraz wolniej) dąży do pewnego stałego stosunku. Jednak ten stosunek jest irracjonalny, to znaczy jest liczbą o nieskończonym, nieprzewidywalnym ciągu cyfr dziesiętnych w części ułamkowej. Nie da się tego precyzyjnie wyrazić.

Zatem stosunek dowolnego elementu szeregu do poprzedzającego go oscyluje wokół liczby 1,618 , czasem ją przekraczając, czasem nie osiągając. Stosunek do poniższych podobnie zbliża się do liczby 0,618 , co jest odwrotnie proporcjonalne 1,618 . Jeśli podzielimy elementy przez jeden, otrzymamy liczby 2,618 I 0,382 , które są również odwrotnie proporcjonalne. Są to tak zwane współczynniki Fibonacciego.

Po co to wszystko? W ten sposób podchodzimy do jednego z najbardziej tajemniczych zjawisk przyrodniczych. Sprytny Leonardo w zasadzie nie odkrył niczego nowego, po prostu przypomniał światu takie zjawisko jak Złoty podział, co nie jest gorsze od twierdzenia Pitagorasa.

Wszystkie otaczające nas przedmioty rozróżniamy po ich kształcie. Jedne lubimy bardziej, inne mniej, a jeszcze inne są całkowicie odrażające. Czasami zainteresowanie może być podyktowane sytuacją życiową, a czasami pięknem obserwowanego obiektu. Symetryczny i proporcjonalny kształt sprzyja najlepszej percepcji wzrokowej oraz wywołuje poczucie piękna i harmonii. Kompletny obraz składa się zawsze z części o różnej wielkości, pozostających w pewnej relacji między sobą i całością. Złoty podział- najwyższy przejaw doskonałości całości i jej części w nauce, sztuce i przyrodzie.

Dla prostego przykładu złoty podział to podział odcinka na dwie części w takiej proporcji, że większa część odnosi się do mniejszej, tak jak ich suma (cały odcinek) do większej.

Jeśli weźmiemy cały segment C za 1 , a następnie segment A będzie równe 0,618 , odcinek B - 0,382 tylko w ten sposób spełniony zostanie warunek złotego podziału (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Postawa C Do A równa się 1,618 , A Z Do B 2,618 . Są to te same znane nam już współczynniki Fibonacciego.

Jest oczywiście złoty prostokąt, złoty trójkąt, a nawet złoty prostopadłościan. Proporcje ludzkiego ciała są pod wieloma względami bliskie Złotej Sekcji.

Obraz: marcus-frings.de

Ale zabawa zaczyna się, gdy połączymy zdobytą wiedzę. Rysunek wyraźnie pokazuje związek pomiędzy ciągiem Fibonacciego a złotym podziałem. Zaczynamy od dwóch kwadratów pierwszego rozmiaru. Dodaj kwadrat drugiego rozmiaru na górze. Narysuj obok niego kwadrat o boku równym sumie boków poprzednich dwóch, trzeciego rozmiaru. Analogicznie pojawia się kwadrat wielkości piątej. I tak dalej, aż się zmęczysz, najważniejsze jest to, że długość boku każdego kolejnego kwadratu jest równa sumie długości boków dwóch poprzednich. Widzimy serię prostokątów, których długości boków są liczbami Fibonacciego i, co dziwne, nazywane są one prostokątami Fibonacciego.

Jeśli narysujemy gładkie linie przez rogi naszych kwadratów, otrzymamy nic innego jak spiralę Archimedesa, której przyrost jest zawsze jednakowy.

Nic Ci nie przypomina?

Zdjęcie: ethanhein na Flickrze

I nie tylko w skorupie mięczaka można znaleźć spirale Archimedesa, ale w wielu kwiatach i roślinach nie są one tak oczywiste.

Aloes wielolistny:

Zdjęcie: browary na Flickrze

Zdjęcie: beart.org.uk
Zdjęcie: esdraskalderan na Flickrze
Zdjęcie: manj98 na Flickrze

A teraz czas przypomnieć sobie Złotą Sekcję! Czy te fotografie przedstawiają jedne z najpiękniejszych i najbardziej harmonijnych tworów natury? I to nie wszystko. Jeśli przyjrzysz się uważnie, możesz znaleźć podobne wzory w wielu formach.

Oczywiście stwierdzenie, że wszystkie te zjawiska opierają się na ciągu Fibonacciego, brzmi zbyt głośno, ale tendencja jest oczywista. A poza tym ona sama jest daleka od doskonałości, jak wszystko na tym świecie.

Zakłada się, że ciąg Fibonacciego jest z natury próbą dostosowania się do bardziej fundamentalnego i doskonałego ciągu logarytmicznego złotego podziału, który jest prawie taki sam, tyle że zaczyna się znikąd i prowadzi donikąd. Natura zdecydowanie potrzebuje jakiegoś początku, od którego mogłaby zacząć; nie może stworzyć czegoś z niczego. Stosunki pierwszych wyrazów ciągu Fibonacciego są dalekie od złotego podziału. Im jednak dalej się posuniemy, tym bardziej te odchylenia się wygładzają. Aby zdefiniować dowolny szereg, wystarczy znać jego trzy wyrazy, występujące jeden po drugim. Ale nie dla złotego ciągu, wystarczą dwa, jest to postęp geometryczny i arytmetyczny jednocześnie. Można by pomyśleć, że jest to podstawa wszystkich innych ciągów.

Każdy wyraz złotego ciągu logarytmicznego jest potęgą złotego podziału ( z). Część serii wygląda mniej więcej tak: ... z -5 ; z-4; z-3; z-2; z-1; z 0 ; z 1; z 2 ; z 3; z 4; z 5... Jeśli zaokrąglimy wartość Złotego Podziału do trzech miejsc po przecinku, otrzymamy z=1,618, to szereg wygląda następująco: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Każdy kolejny wyraz można otrzymać nie tylko poprzez pomnożenie poprzedniego przez 1,618 , ale także poprzez dodanie dwóch poprzednich. Zatem wykładniczy wzrost osiąga się po prostu przez dodanie dwóch sąsiadujących elementów. Jest to szereg bez początku i końca i taki właśnie ma być ciąg Fibonacciego. Mając bardzo określony początek, dąży do ideału, nigdy go nie osiągając. Takie jest życie.

A jednak w związku z tym wszystkim, co widzieliśmy i czytaliśmy, pojawiają się całkiem logiczne pytania:
Skąd wzięły się te liczby? Kim jest ten architekt wszechświata, który próbował uczynić go idealnym? Czy kiedykolwiek wszystko było takie, jak chciał? A jeśli tak, to dlaczego poszło źle? Mutacje? Wolny wybór? Co będzie następne? Czy spirala zwija się czy rozwija?

Po znalezieniu odpowiedzi na jedno pytanie otrzymasz następne. Jeśli go rozwiążesz, otrzymasz dwa nowe. Gdy się z nimi uporasz, pojawi się trzech kolejnych. Po ich rozwiązaniu będziesz miał pięć nierozwiązanych. Potem osiem, potem trzynaście, 21, 34, 55...

Źródła: ; ; ;