Antidarinis ir neapibrėžtas integralas yra pagrindinės neapibrėžtinių integralų lentelės savybės. Antidarinis ir neapibrėžtas integralas

Pateikiama neapibrėžtinių integralų skaičiavimo metodų apžvalga. Svarstomi pagrindiniai integravimo būdai, kurie apima sumos ir skirtumo integravimą, konstantos patalpinimą už integralo ženklo ribų, kintamojo pakeitimą ir integravimą dalimis. Taip pat aptariami specialūs trupmenų, šaknų, trigonometrinių ir eksponentinių funkcijų integravimo metodai ir technikos.

Turinys

Sumų (skirtumų) integravimo taisyklė

Konstantos perkėlimas už integralo ženklo ribų

Tegul c yra nuo x nepriklausoma konstanta. Tada jį galima išimti iš integralo ženklo:

Kintamasis pakeitimas

Tegu x yra kintamojo t funkcija, x = φ(t), tada
.
Arba atvirkščiai, t = φ(x) ,
.

Pakeitę kintamąjį, galite ne tik apskaičiuoti paprastus integralus, bet ir supaprastinti sudėtingesnių skaičiavimą.

Integravimas pagal dalių taisyklę

Trupmenų integravimas (racionalios funkcijos)

Supažindinkime su užrašu. Tegu P k (x), Q m (x), R n (x) žymi atitinkamai k, m, n laipsnių polinomus kintamojo x atžvilgiu.

Apsvarstykite integralą, sudarytą iš polinomų trupmenos (vadinamoji racionalioji funkcija):

Jei k ≥ n, tada pirmiausia turite pasirinkti visą trupmenos dalį:
.
Dauginamo S k-n (x) integralas apskaičiuojamas naudojant integralų lentelę.

Integralas lieka:
, kur m< n .
Norint jį apskaičiuoti, integrandą reikia išskaidyti į paprastas trupmenas.

Norėdami tai padaryti, turite rasti lygties šaknis:
Q n (x) = 0 .
Naudodamiesi gautomis šaknimis, turite pateikti vardiklį kaip veiksnių sandaugą:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Čia s yra koeficientas x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Po to suskaidykite frakciją į paprasčiausią formą:

Integruodami gauname išraišką, susidedančią iš paprastesnių integralų.
Formos integralai

redukuojami iki lentelių pakeitimo t = x - a.

Apsvarstykite integralą:

Paverskime skaitiklį:
.
Pakeitę integrandą, gauname išraišką, apimančią du integralus:
,
.
Pirmasis, pakeitus t = x 2 + ex + f, redukuojamas į lentelę.
Antra, pagal redukcijos formulę:

redukuojama iki integralo

Sumažinkime jo vardiklį iki kvadratų sumos:
.
Tada pakeitus integralas

taip pat yra lentelėse.

Iracionalių funkcijų integravimas

Supažindinkime su užrašu. Tegu R(u 1, u 2, ..., u n) reiškia racionalią kintamųjų u 1, u 2, ..., u n funkciją. Tai yra
,
čia P, Q yra kintamųjų u 1, u 2, ..., u n daugianariai.

Trupmeninis tiesinis iracionalumas

Panagrinėkime formos integralus:
,
kur yra racionalieji skaičiai, m 1, n 1, ..., m s, n s yra sveikieji skaičiai.
Tegu n yra bendras skaičių r 1, ..., r s vardiklis.
Tada integralas pakeičiant redukuojamas į racionalių funkcijų integralą:
.

Integralai iš diferencialinių dvinarių

Apsvarstykite integralą:
,
kur m, n, p yra racionalieji skaičiai, a, b yra realieji skaičiai.
Tokie integralai trimis atvejais redukuojasi į racionaliųjų funkcijų integralus.

1) Jei p yra sveikas skaičius. Pakeitimas x = t N, kur N yra bendrasis trupmenų m ir n vardiklis.
2) Jei – sveikasis skaičius. Pakeitimas a x n + b = t M, kur M yra skaičiaus p vardiklis.
3) Jei – sveikasis skaičius. Pakeitimas a + b x - n = t M, kur M yra skaičiaus p vardiklis.

Jei nė vienas iš trijų skaičių nėra sveikasis skaičius, tai pagal Čebyševo teoremą tokio tipo integralai negali būti išreikšti baigtiniu elementariųjų funkcijų deriniu.

Kai kuriais atvejais pirmiausia naudinga integralą sumažinti iki patogesnių reikšmių m ir p. Tai galima padaryti naudojant redukcijos formules:
;
.

Integralai, kuriuose yra kvadratinio trinalio kvadratinė šaknis

Čia nagrinėjame formos integralus:
,

Eulerio pakaitalai

Tokius integralus galima redukuoti į vieno iš trijų Eulerio pakaitų racionalių funkcijų integralus:
, jei a > 0;
, kai c > 0;
, kur x 1 yra lygties a x 2 + b x + c = 0 šaknis. Jei ši lygtis turi realias šaknis.

Trigonometriniai ir hiperboliniai pakaitalai

Tiesioginiai metodai

Daugeliu atvejų Eulerio pakeitimai lemia ilgesnius skaičiavimus nei tiesioginiai metodai. Naudojant tiesioginius metodus, integralas sumažinamas iki vienos iš toliau išvardytų formų.

I tipas

Formos integralas:
,
čia P n (x) yra n laipsnio daugianario.

Tokie integralai randami neapibrėžtų koeficientų metodu, naudojant tapatybę:

Diferencijuodami šią lygtį ir sulyginę kairę ir dešinę puses, randame koeficientus A i.

II tipas

Formos integralas:
,
čia P m (x) yra m laipsnio daugianario.

Pakeitimas t = (x - α) -1šis integralas sumažinamas iki ankstesnio tipo. Jei m ≥ n, tai trupmena turi turėti sveikąjį skaičių.

III tipas

Trečias ir sudėtingiausias tipas:
.

Čia reikia atlikti pakeitimą:
.
Po to integralas įgis tokią formą:
.
Toliau konstantos α, β turi būti parinktos taip, kad t koeficientai būtų lygūs nuliui:
B = 0, B 1 = 0.
Tada integralas išskaidomas į dviejų tipų integralų sumą:
;
,
kurios yra atitinkamai integruotos pakaitalais:
z2 = A1t2 + C1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.

Bendras atvejis

Transcendentinių (trigonometrinių ir eksponentinių) funkcijų integravimas

Iš anksto atkreipkime dėmesį, kad trigonometrinėms funkcijoms taikomi metodai yra taikomi ir hiperbolinėms funkcijoms. Dėl šios priežasties hiperbolinių funkcijų integravimo atskirai nenagrinėsime.

Racionalių trigonometrinių cos x ir sin x funkcijų integravimas

Panagrinėkime formos trigonometrinių funkcijų integralus:
,
kur R yra racionali funkcija. Tai taip pat gali apimti liestines ir kotangentas, kurios turėtų būti konvertuojamos naudojant sinusus ir kosinusus.

Integruojant tokias funkcijas, naudinga turėti omenyje tris taisykles:
1) jei R ( cos x, sin x) padauginta iš -1 iš ženklo pasikeitimo prieš vieną iš dydžių cos x arba nuodėmė x, tada kitą iš jų naudinga pažymėti t.
2) jei R ( cos x, sin x) nesikeičia dėl ženklo pasikeitimo tuo pačiu metu prieš tai cos x Ir nuodėmė x, tada naudinga įdėti tg x = t arba vaikiška lovelė x = t.
3) pakeitimas visais atvejais veda į racionaliosios trupmenos integralą. Deja, šis pakeitimas lemia ilgesnius skaičiavimus nei ankstesni, jei taikoma.

Cos x ir sin x galios funkcijų sandauga

Panagrinėkime formos integralus:

Jei m ir n yra racionalieji skaičiai, tai vienas iš pakeitimų t = nuodėmė x arba t = cos x integralas redukuojamas į diferencialinio dvinario integralą.

Jei m ir n yra sveikieji skaičiai, tai integralai apskaičiuojami integruojant dalimis. Taip gaunamos šios redukcijos formulės:

;
;
;
.

Integravimas dalimis

Eilerio formulės taikymas

Jei integrandas yra tiesinis vienos iš funkcijų atžvilgiu
cos kirvis arba sinaksas, tuomet patogu taikyti Eulerio formulę:
e iax = cos ax + isin ax(kur i 2 = - 1 ),
pakeičiant šią funkciją e iax ir paryškinti tikrąjį (pakeitus cos kirvis) arba įsivaizduojama dalis (keičiant sinaksas) nuo gauto rezultato.

Nuorodos:
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, „Lan“, 2003 m.

Taip pat žiūrėkite:

NENUMATYTAS INTEGRAL

Pradedame studijuoti integralus, kurie plačiai naudojami daugelyje technologijų sričių. Pradėkime savo tyrimą nuo neapibrėžto integralo.

Antidarinis ir neapibrėžtas integralas

Diferencialinio skaičiavimo pagrindinis uždavinys yra duotų funkcijų diferencijavimas, kitaip tariant, užduotis rasti duotosios funkcijos kitimo greitį. Daugybė mokslo ir technikos klausimų veda prie atvirkštinės problemos formulavimo: davus funkciją f (x), atkurkite funkciją F (x), kuriai f (x) būtų išvestinė: F ¢ (x) = f (x) ).

Apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama antiderivatine f (x), jei

F ¢ (x) = f (x) arba dF(x) = f (x) dx.

Pavyzdžiai. 1) f (x) = 3x 2, F (x) = x 3;

2) f (x) = cosx, F(x) = sinx.

Nesunku pastebėti, kad ši funkcija f (x) = 3x 2 atitinka ne vieną antidarinį, o aibę: x 3 ; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.

Iš tiesų, (x 3)¢ = 3x 2 ; (x 3 + 1)¢ = 3x 2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + C)¢ = 3x 2.

Apskritai, jei F(x) yra tam tikros funkcijos f (x) antidarinė, tada funkcija F(x) + c, "СОR taip pat bus antidarinė funkcija, nes:

¢ = F¢(x) = f (x).

Ar visų f (x) antidarinių aibė yra išnaudota F(x) + C formos išraiškomis, ar yra šios funkcijos antidarinių, kurių negalima gauti iš F(x) + C bet kuriai C reikšmei? Pasirodo, teiginys yra teisingas: kitų funkcijos f (x) antidarinių nėra. Kitaip tariant, jei F 1 (x) ir F 2 (x) yra du f (x) antidariniai, tada F 1 (x) = F 2 (x) + C,

kur C yra tam tikra konstanta.

Tikrai, nes F 1 (x) ir F 2 (x) yra f (x) antidariniai, tada

Panagrinėkime skirtumą visiems x.

Tegul x 0 yra tam tikra fiksuota argumento reikšmė,

x yra savavališka kita reikšmė.

Pagal Lagranžo formulę

kur yra koks nors skaičius tarp x 0 ir x. Nes:

Ar kiekviena funkcija f (x) turi antidarinį?

Teorema. Jei funkcija f (x) yra ištisinė tam tikru intervalu, tada ji turi antidarinį (jokio įrodymo).

Apibrėžimas. Jei F (x) yra tam tikra f (x) antidarinė, tada išraiška F (x) + C, kur C yra savavališka konstanta, vadinama neapibrėžtu integralu ir žymima: , o f (x) vadinama integrando funkcija, o išraiška f (x) dx - pagal integrandą:

Vadinamas veiksmas ieškant neapibrėžto integralo, kitaip, surandant visus tam tikros funkcijos antidarinius integracijašią funkciją. Akivaizdu, kad diferenciacijos ir integravimo operacijos yra tarpusavyje atvirkštinės.

Atvirkštinių matematinių operacijų pavyzdžiai pateikia sudėjimą ir atimtį, eksponentinį ir šaknies ištraukimą, daugybą ir padalijimą.

Antidarinio apibrėžimas.

Funkcijos f(x) antiderivinė intervale (a; b) yra funkcija F(x), tokia, kad lygybė galioja bet kuriam x iš duoto intervalo.

Jei atsižvelgsime į tai, kad konstantos C išvestinė lygi nuliui, tada lygybė yra teisinga . Taigi funkcija f(x) turi aibę antidarinių F(x)+C, savavališkai konstantai C, ir šios antidarinės viena nuo kitos skiriasi savavališka konstanta.

Neapibrėžto integralo apibrėžimas.

Visas funkcijos f(x) antidarinių rinkinys vadinamas neapibrėžtuoju šios funkcijos integralu ir žymimas .

Išraiška vadinama integrandas ir f(x) – integrand funkcija. Integrandas reiškia funkcijos f(x) diferencialą.

Nežinomos funkcijos radimo veiksmas, atsižvelgiant į jos skirtumą, vadinamas neapibrėžtas integracija, nes integravimo rezultatas yra ne viena funkcija F(x), o jos antidarinių F(x)+C aibė.

Remiantis darinio savybėmis, galima suformuluoti ir įrodyti neapibrėžto integralo savybės(antidarinio savybės).

Patikslinimui pateiktos tarpinės neapibrėžtinio integralo pirmosios ir antrosios savybių lygybės.

Norint įrodyti trečiąją ir ketvirtąją savybes, pakanka rasti lygybių dešiniųjų pusių išvestis:

Šios išvestinės yra lygios integrandams, o tai yra įrodymas dėl pirmosios savybės. Jis taip pat naudojamas paskutiniuose perėjimuose.

Taigi integracijos problema yra atvirkštinė diferenciacijos problema, ir tarp šių problemų yra labai glaudus ryšys:

• pirmoji savybė leidžia patikrinti integraciją. Norint patikrinti atliktos integracijos teisingumą, pakanka apskaičiuoti gauto rezultato išvestinę. Jei dėl diferenciacijos gauta funkcija yra lygi integrandui, tai reikš, kad integracija buvo atlikta teisingai;
• antroji neapibrėžtinio integralo savybė leidžia rasti jo antidarinį iš žinomo funkcijos diferencialo. Šia savybe pagrįstas tiesioginis neapibrėžtų integralų skaičiavimas.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos, kurios reikšmė lygi vienetui, priešišvestinę, kai x = 1.

Sprendimas.

Tai žinome iš diferencialinio skaičiavimo (tik pažiūrėkite į pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę). Taigi, . Pagal antrąjį turtą . Tai yra, turime daug antidarinių. Jei x = 1, gauname reikšmę. Pagal sąlygą ši reikšmė turi būti lygi vienetui, todėl C = 1. Norimas antidarinys įgaus formą .

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą ir patikrinkite rezultatą diferencijuodami.

Sprendimas.

Naudojant dvigubo kampo sinuso formulę iš trigonometrijos , Štai kodėl

Iš trigonometrinių funkcijų išvestinių lentelės turime

Tai yra,

Pagal trečiąją neapibrėžtinio integralo savybę galime rašyti

Pasukę į antrą nuosavybę, gauname .

Vadinasi,

Apžiūra.

Norėdami patikrinti rezultatą, išskiriame gautą išraišką:

Dėl to mes gavome integrandą, o tai reiškia, kad integracija buvo atlikta teisingai. Paskutiniame perėjime buvo naudojama dvigubo kampo sinuso formulė.

Jei pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė perrašoma diferencialų pavidalu, tai iš jos, naudojant antrąją neapibrėžtinio integralo savybę, galima sudaryti antidarinių lentelę.

Funkcija F(x ) paskambino antiderivatinis už funkciją f(x) tam tikru intervalu, jei visiems x nuo šio intervalo galioja lygybė

F"(x ) = f(x ) .

Pavyzdžiui, funkcija F(x) = x 2 f(x ) = 2X , nes

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Pagrindinė antidarinio savybė

Jeigu F(x) - funkcijos antidarinys f(x) tam tikru intervalu, tada funkcija f(x) turi be galo daug antidarinių, ir visi šie antidariniai gali būti parašyti formoje F(x) + C, Kur SU yra savavališka konstanta.

Pavyzdžiui. Funkcija F(x) = x 2 + 1 yra funkcijos antidarinys f(x ) = 2X , nes F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkcija F(x) = x 2 - 1 yra funkcijos antidarinys f(x ) = 2X , nes F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkcija F(x) = x 2 - 3 yra funkcijos antidarinys f(x) = 2X , nes F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); bet kokia funkcija F(x) = x 2 + SU , Kur SU - savavališka konstanta, ir tik tokia funkcija yra funkcijos antidarinys f(x) = 2X . ◄

Antidarinių skaičiavimo taisyklės

1. Jeigu F(x) - antidarinis skirtas f(x) , A G(x) - antidarinis skirtas g(x) , Tai F(x) + G(x) - antidarinis skirtas f(x) + g(x) . Kitaip tariant, sumos antidarinė lygi antidarinių sumai .
2. Jeigu F(x) - antidarinis skirtas f(x) , Ir k - tada nuolat k · F(x) - antidarinis skirtas k · f(x) . Kitaip tariant, pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo .
3. Jeigu F(x) - antidarinis skirtas f(x) , Ir k,b- pastovus ir k ≠ 0 , Tai 1 / k F( k x+ b ) - antidarinis skirtas f(k x+ b) .

Neapibrėžtas integralas

Neapibrėžtas integralas nuo funkcijos f(x) vadinama išraiška F(x) + C, tai yra visų tam tikros funkcijos antidarinių aibė f(x) . Neapibrėžtas integralas žymimas taip:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- jie skambina integrand funkcija ;

f(x)dx- jie skambina integrandas ;

x - jie skambina integracijos kintamasis ;

F(x) - viena iš primityvių funkcijų f(x) ;

SU yra savavališka konstanta.

Pavyzdžiui, ∫ 2 x dx =X 2 + SU , ∫ cosx dx = nuodėmė X + SU ir taip toliau. ◄

Žodis „integralus“ kilęs iš lotyniško žodžio sveikasis skaičius , o tai reiškia „atkurta“. Atsižvelgiant į neapibrėžtą integralą 2 x, atrodo, kad atkuriame funkciją X 2 , kurio išvestinė lygi 2 x. Funkcijos atkūrimas iš jos išvestinės arba, kas yra tas pats, neapibrėžto integralo radimas virš duoto integrando vadinamas integracija šią funkciją. Integravimas – tai atvirkštinė diferenciacijos operacija Norint patikrinti, ar integracija atlikta teisingai, pakanka diferencijuoti rezultatą ir gauti integrandą.

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės

1. Neapibrėžto integralo išvestinė lygi integrandui:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. Integralo pastovųjį koeficientą galima išimti iš integralo ženklo:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. Funkcijų sumos (skirtumo) integralas yra lygus šių funkcijų integralų sumai (skirtumui):

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Jeigu k,b- pastovus ir k ≠ 0 , Tai

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Antidarinių ir neapibrėžtųjų integralų lentelė

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
aš.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Šioje lentelėje pateikti antidariniai ir neapibrėžtieji integralai paprastai vadinami lentelės antiderivatai Ir lentelės integralai .

Apibrėžtasis integralas

Įsileiskite tarp [a; b] pateikiama nuolatinė funkcija y = f(x) , Tada apibrėžtasis integralas nuo a iki b funkcijas f(x) vadinamas antidarinio prieaugiu F(x) ši funkcija, tai yra

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Skaičiai a Ir b atitinkamai vadinami žemesnė Ir viršuje integracijos ribos.

Pagrindinės apibrėžtojo integralo skaičiavimo taisyklės

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kur k - pastovus;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kur f(x) — tolygi funkcija;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kur f(x) yra nelyginė funkcija.

komentuoti . Visais atvejais daroma prielaida, kad integrandai yra integruojami skaitiniais intervalais, kurių ribos yra integravimo ribos.

Geometrinė ir fizinė apibrėžtojo integralo reikšmė

Geometrinė reikšmė apibrėžtasis integralas	Fizinė prasmė apibrėžtasis integralas
Kvadratas S kreivinė trapecija (skaičius, apribotas nuolatinio teigiamo intervalo grafiku [a; b] funkcijas f(x) , ašis Jautis ir tiesiai x=a , x=b ) apskaičiuojamas pagal formulę $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Kelias s, kurį materialusis taškas įveikė, judėdamas tiesia linija greičiu, kintančiu pagal dėsnį v(t) , tam tikrą laiką a ; b], tada figūros plotas, apribotas šių funkcijų grafikais ir tiesiomis linijomis x = a , x = b , apskaičiuojamas pagal formulę $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Pavyzdžiui. Apskaičiuokime figūros, apribotos linijomis, plotą y = x 2 Ir y= 2-x . Schematiškai pavaizduokime šių funkcijų grafikus ir kita spalva paryškinkime figūrą, kurios sritį reikia rasti. Norėdami rasti integracijos ribas, išsprendžiame lygtį: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Sukimosi kūno tūris

	Jei dėl sukimosi apie ašį gaunamas kūnas Jautis kreivinė trapecija, apribota ištisiniu ir neneigiamu intervalo grafiku [a; b] funkcijas y = f(x) ir tiesiai x = a Ir x = b , tada jis vadinamas sukimosi kūnas . Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas pagal formulę $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Jei apsisukimų kūnas gaunamas sukant figūrą, kurią virš ir apriboja funkcijų grafikai y = f(x) Ir y = g(x) , atitinkamai, tada $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Pavyzdžiui. Apskaičiuokime kūgio tūrį spinduliu r ir aukštis h . Pastatykime kūgį stačiakampėje koordinačių sistemoje taip, kad jo ašis sutaptų su ašimi Jautis , o bazės centras buvo ištakoje. Generatoriaus sukimasis AB apibrėžia kūgį. Kadangi lygtis AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
o mūsų turimam kūgio tūriui $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Matėme, kad darinys turi daugybę panaudojimo būdų: išvestinė yra judėjimo greitis (arba, apskritai, bet kokio proceso greitis); išvestinė – funkcijos grafiko liestinės nuolydis; naudodami išvestinę funkciją galite ištirti monotoniškumą ir ekstremalumą; išvestinė padeda išspręsti optimizavimo problemas.

Tačiau realiame gyvenime turime išspręsti ir atvirkštines problemas: pavyzdžiui, kartu su greičio nustatymo pagal žinomą judėjimo dėsnį problema susiduriame ir su judėjimo dėsnio pagal žinomą greitį atkūrimo problema. Panagrinėkime vieną iš šių problemų.

1 pavyzdys. Materialus taškas juda tiesia linija, jo greitis momentu t apskaičiuojamas pagal formulę u = tg. Raskite judėjimo dėsnį.

Sprendimas. Tegu s = s(t) yra norimas judėjimo dėsnis. Yra žinoma, kad s"(t) = u"(t). Tai reiškia, kad norint išspręsti problemą reikia pasirinkti funkcija s = s(t), kurios išvestinė lygi tg. Tai nesunku atspėti

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad pavyzdys išspręstas teisingai, bet nepilnai. Mes nustatėme, kad iš tikrųjų problema turi be galo daug sprendimų: bet kokia formos funkcija savavališka konstanta gali tarnauti kaip judėjimo dėsnis, nes

Kad užduotis būtų konkretesnė, reikėjo pataisyti pradinę situaciją: nurodyti judančio taško koordinatę tam tikru laiko momentu, pavyzdžiui, t=0. Jei, tarkime, s(0) = s 0, tai iš lygybės gauname s(0) = 0 + C, t.y. S 0 = C. Dabar judėjimo dėsnis yra vienareikšmiškai apibrėžtas:
Matematikoje abipusiai atvirkštiniai veiksmai suteikiami skirtingais pavadinimais ir sugalvojami specialūs žymėjimai: pavyzdžiui, kvadratas (x 2) ir kvadratinės šaknies iš sinuso (sinх) paėmimas ir arcsine(arcsin x) ir kt. Duotos funkcijos išvestinės radimo procesas vadinamas diferenciacija, o atvirkštine operacija, t.y. funkcijos radimo iš duotosios išvestinės procesas – integracija.
Pats terminas „išvestinė“ gali būti pateisinamas „kasdieniame gyvenime“: funkcija y - f(x) „gimdo“ naują funkciją y"= f"(x) Funkcija y = f(x) veikia kaip „tėvas“ , tačiau matematikai, žinoma, nevadina jo „tėvu“ ar „gamintojas“, jie sako, kad tai, atsižvelgiant į funkciją y"=f"(x), yra pirminis vaizdas, arba, in trumpai, antidarinys.

1 apibrėžimas. Funkcija y = F(x) vadinama funkcijos y = f(x) antiderivatine duotame intervale X, jei visiems x iš X galioja lygybė F"(x)=f(x).

Praktikoje intervalas X paprastai nenurodomas, o numanomas (kaip natūrali funkcijos apibrėžimo sritis).

Štai keletas pavyzdžių:

1) Funkcija y = x 2 yra funkcijos y = 2x priešišvestinė, nes visiems x lygybė (x 2)" = 2x yra teisinga.
2) funkcija y - x 3 yra funkcijos y-3x 2 priešišvestinė, nes visiems x lygybė (x 3)" = 3x 2 yra teisinga.
3) Funkcija y-sinх yra funkcijos y = cosx priešišvestinė, nes visiems x lygybė (sinx)" = cosx yra teisinga.
4) Funkcija yra intervalo funkcijos antiderivinė, nes visiems x > 0 lygybė yra teisinga
Apskritai, žinant darinių radimo formules, nesunku sudaryti antidarinių radimo formulių lentelę.

Tikimės, kad supratote, kaip sudaryta ši lentelė: funkcijos išvestinė, kuri įrašyta antrame stulpelyje, yra lygi funkcijai, parašyta atitinkamoje pirmojo stulpelio eilutėje (patikrinkite, nepatingėkite, tai labai naudinga). Pavyzdžiui, funkcijai y = x 5 antidarinė, kaip jūs nustatysite, yra funkcija (žr. ketvirtą lentelės eilutę).

Pastabos: 1. Toliau įrodysime teoremą, kad jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcija y = f(x) turi be galo daug antidarinių ir jie visi turi formą y = F(x ) + C. Todėl teisingiau būtų pridėti terminą C visur antrame lentelės stulpelyje, kur C yra savavališkas realusis skaičius.
2. Trumpumo dėlei kartais vietoj frazės „funkcija y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė“, sakoma, kad F(x) yra f(x) antidarinė. .

2. Antidarinių radimo taisyklės

Ieškant antidarinių, taip pat ieškant išvestinių, naudojamos ne tik formulės (jos nurodytos lentelėje 196 p.), bet ir kai kurios taisyklės. Jos yra tiesiogiai susijusios su atitinkamomis išvestinių finansinių priemonių apskaičiavimo taisyklėmis.

Žinome, kad sumos išvestinė yra lygi jos išvestinių sumai. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

1 taisyklė. Sumos antidarinė lygi antidarinių sumai.

Atkreipiame jūsų dėmesį į šiokį tokį „lengvumą“. Tiesą sakant, reikėtų suformuluoti teoremą: jei funkcijos y = f(x) ir y = g(x) turi antidarinius intervale X, atitinkamai y-F(x) ir y-G(x), tada funkcijų y suma = f(x)+g(x) turi antidarinį intervale X, o ši antidarinė yra funkcija y = F(x)+G(x). Tačiau dažniausiai formuluojant taisykles (ne teoremas) paliekami tik raktiniai žodžiai – taip patogiau taisykles taikyti praktiškai

2 pavyzdys. Raskite funkcijos y = 2x + cos x antidarinį.

Sprendimas. 2x antidarinys yra x"; cox antidarinys yra sin x. Tai reiškia, kad funkcijos y = 2x + cos x antidarinė bus funkcija y = x 2 + sin x (ir apskritai bet kuri formos funkcija Y = x 1 + sinx + C) .
Žinome, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

2 taisyklė. Iš antidarinio ženklo galima išimti pastovų faktorių.

3 pavyzdys.

Sprendimas. a) Sin x antidarinys yra -soz x; Tai reiškia, kad funkcijai y = 5 sin x antidarinė funkcija bus funkcija y = -5 cos x.

b) cos x antidarinys yra sin x; Tai reiškia, kad funkcijos antidarinys yra funkcija
c) x 3 antidarinys yra x antidarinys, funkcijos y = 1 antidarinys yra funkcija y = x. Naudodami pirmąją ir antrąją antidarinių radimo taisykles, nustatome, kad funkcijos y = 12x 3 + 8x-1 antidarinys yra funkcija
komentuoti. Kaip žinoma, sandaugos išvestinė nėra lygi išvestinių sandaugai (produkto diferencijavimo taisyklė yra sudėtingesnė), o dalinio išvestinė nelygi išvestinių sandaugai. Todėl nėra taisyklių, kaip rasti produkto antidarinį arba dviejų funkcijų koeficiento antidarinį. Būk atsargus!
Išsiaiškinkime kitą antidarinių radimo taisyklę. Žinome, kad funkcijos y = f(kx+m) išvestinė apskaičiuojama pagal formulę

Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.
3 taisyklė. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcijos y=f(kx+m) antidarinė yra funkcija

Iš tikrųjų,

Tai reiškia, kad tai funkcijos y = f(kx+m) antidarinė.
Trečiosios taisyklės prasmė yra tokia. Jei žinote, kad funkcijos y = f(x) antidarinė yra funkcija y = F(x), ir jums reikia rasti funkcijos y = f(kx+m) antiišvestinę, tada elkitės taip: imkite ta pati funkcija F, bet vietoj argumento x pakeiskite išraiška kx+m; be to, nepamirškite prieš funkcijos ženklą parašyti „pataisos koeficientas“.
4 pavyzdys. Raskite nurodytų funkcijų antidarinius:

Sprendimas, a) Sin x antidarinys yra -soz x; Tai reiškia, kad funkcijai y = sin2x antidarinė bus funkcija
b) cos x antidarinys yra sin x; Tai reiškia, kad funkcijos antidarinys yra funkcija

c) x 7 antidarinė reiškia, kad funkcijai y = (4-5x) 7 antidarinė bus funkcija

3. Neapibrėžtas integralas

Aukščiau jau pažymėjome, kad uždavinys rasti tam tikros funkcijos y = f(x) antidarinį turi daugiau nei vieną sprendimą. Pakalbėkime apie šią problemą išsamiau.

Įrodymas. 1. Tegul y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antiišvestinė intervale X. Tai reiškia, kad visiems x iš X galioja lygybė x"(x) = f(x). Raskite bet kurios formos y = F(x)+C išvestinę:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Taigi, (F(x)+C) = f(x). Tai reiškia, kad y = F(x) + C yra funkcijos y = f(x) antidarinė.
Taigi, mes įrodėme, kad jei funkcija y = f(x) turi antidarinį y=F(x), tai funkcija (f = f(x) turi be galo daug antidarinių, pavyzdžiui, bet kurią y = formos funkciją F(x) +C yra antidarinys.
2. Dabar įrodykime, kad nurodytas funkcijų tipas išsemia visą antidarinių rinkinį.

Tegul y=F 1 (x) ir y=F(x) yra dvi funkcijos Y = f(x) antidarinės intervale X. Tai reiškia, kad visiems x iš intervalo X galioja šie ryšiai: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Panagrinėkime funkciją y = F 1 (x) -.F(x) ir raskime jos išvestinę: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) – f(x) = 0.
Yra žinoma, kad jei funkcijos išvestinė intervale X yra identiškai lygi nuliui, tai funkcija yra pastovi intervale X (žr. 3 teoremą iš § 35). Tai reiškia, kad F 1 (x) - F (x) = C, t.y. Fx) = F(x)+C.

Teorema įrodyta.

5 pavyzdys. Duotas greičio kitimo su laiku dėsnis: v = -5sin2t. Raskite judėjimo dėsnį s = s(t), jei žinoma, kad momentu t=0 taško koordinatė buvo lygi skaičiui 1,5 (t. y. s(t) = 1,5).

Sprendimas. Kadangi greitis yra koordinatės, kaip laiko funkcijos, išvestinė, pirmiausia reikia rasti greičio antidarinį, t.y. funkcijos v = -5sin2t antidarinys. Vienas iš tokių antidarinių yra funkcija, o visų antidarinių rinkinys turi tokią formą:

Norėdami rasti konkrečią konstantos C reikšmę, naudojame pradines sąlygas, pagal kurias s(0) = 1,5. Į formulę (1) pakeitę reikšmes t=0, S = 1,5, gauname:

Pakeitę rastą C reikšmę į (1) formulę, gauname mus dominantį judėjimo dėsnį:

2 apibrėžimas. Jei funkcija y = f(x) intervale X turi antidarinį y = F(x), tai visų antidarinių aibė, t.y. y = F(x) + C formos funkcijų aibė vadinama funkcijos y = f(x) neapibrėžtuoju integralu ir žymima taip:

(skaitykite: „neapibrėžtas integralas ef iš x de x“).
Kitoje pastraipoje išsiaiškinsime, kokia yra paslėpta šio pavadinimo prasmė.
Remdamiesi šiame skyriuje pateikta antidarinių lentele, sudarysime pagrindinių neapibrėžtų integralų lentelę:

Remdamiesi aukščiau pateiktomis trimis taisyklėmis, kaip rasti antidarinius, galime suformuluoti atitinkamas integravimo taisykles.

1 taisyklė. Funkcijų sumos integralas yra lygus šių funkcijų integralų sumai:

2 taisyklė. Iš integralo ženklo galima išimti pastovų koeficientą:

3 taisyklė. Jeigu

6 pavyzdys. Raskite neapibrėžtus integralus:

Sprendimas, a) Naudodami pirmą ir antrą integravimo taisykles gauname:

Dabar naudokime 3 ir 4 integravimo formules:

Rezultate gauname:

b) Naudodami trečiąją integravimo taisyklę ir 8 formulę, gauname:

c) Norėdami tiesiogiai rasti duotąjį integralą, neturime nei atitinkamos formulės, nei atitinkamos taisyklės. Tokiais atvejais kartais padeda anksčiau atliktos identiškos išraiškos, esančios po integralo ženklu, transformacijos.

Laipsniui sumažinti naudokite trigonometrinę formulę:

Tada iš eilės randame:

A.G. Mordkovičiaus algebra 10 klasė

Kalendorinis teminis planavimas matematikoje, vaizdo įrašą matematika internetu, Matematika mokykloje