چگونه نابرابری های نمایی درجه دوم را حل کنیم. حل معادلات نمایی و نامساوی

روش های حل سیستم معادلات

برای شروع، اجازه دهید به طور خلاصه به یاد بیاوریم که چه روش هایی به طور کلی برای حل سیستم های معادلات وجود دارد.

وجود داشته باشد چهار راه اصلیراه حل های سیستم معادلات:

روش جایگزینی: هر یک از معادلات داده شده را بگیرید و $y$ را بر حسب $x$ بیان کنید، سپس $y$ در معادله سیستم جایگزین می‌شود، از آنجا متغیر $x.$ پیدا می‌شود متغیر $y.$

روش جمع: در این روش باید یک یا هر دو معادله را در اعدادی ضرب کنید که وقتی هر دو را با هم جمع می‌کنید، یکی از متغیرها ناپدید می‌شود.

روش گرافیکی: هر دو معادله سیستم در صفحه مختصات به تصویر کشیده شده و نقطه تلاقی آنها پیدا می شود.

روش معرفی متغیرهای جدید: در این روش چند عبارت را برای ساده سازی سیستم جایگزین می کنیم و سپس از یکی از روش های فوق استفاده می کنیم.

سیستم های معادلات نمایی

تعریف 1

سیستم های معادلات متشکل از معادلات نمایی را سیستم معادلات نمایی می گویند.

حل سیستم معادلات نمایی را با استفاده از مثال در نظر خواهیم گرفت.

مثال 1

حل سیستم معادلات

تصویر 1.

راه حل.

برای حل این سیستم از روش اول استفاده خواهیم کرد. ابتدا، اجازه دهید $y$ را برحسب $x$ در معادله اول بیان کنیم.

شکل 2.

بیایید $y$ را در معادله دوم جایگزین کنیم:

\ \ \[-2-x=2\] \\

پاسخ: $(-4,6)$.

مثال 2

حل سیستم معادلات

شکل 3.

راه حل.

این سیستم معادل سیستم است

شکل 4.

اجازه دهید از روش چهارم برای حل معادلات استفاده کنیم. اجازه دهید $2^x=u\ (u >0)$، و $3^y=v\ (v >0)$، دریافت کنیم:

شکل 5.

اجازه دهید سیستم حاصل را با استفاده از روش جمع حل کنیم. بیایید معادلات را جمع کنیم:

\ \

سپس از معادله دوم، آن را دریافت می کنیم

با بازگشت به جایگزین، یک سیستم جدید معادلات نمایی دریافت کردم:

شکل 6.

ما گرفتیم:

شکل 7.

پاسخ: $(0,1)$.

سیستم های نابرابری های نمایی

تعریف 2

سیستم های نامساوی متشکل از معادلات نمایی را سیستم های نامساوی نمایی می نامند.

ما حل سیستم های نابرابری های نمایی را با استفاده از مثال ها در نظر خواهیم گرفت.

مثال 3

سیستم نابرابری ها را حل کنید

شکل 8.

راه حل:

این سیستم از نابرابری ها معادل سیستم است

شکل 9.

برای حل نابرابری اول، قضیه زیر را در مورد هم ارزی نابرابری های نمایی به یاد بیاورید:

قضیه 1.نابرابری $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $، که $a >0,a\ne 1$ معادل مجموعه دو سیستم است.

\

جایی که نقش $b$ می تواند یک عدد معمولی یا شاید چیزی سخت تر باشد. مثال ها؟ بله لطفا:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ چهار ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0،1)^(1-x)) \lt 0.01;\ چهار ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(ایکس))). \\\پایان (تراز کردن)\]

من فکر می کنم معنی واضح است: یک تابع نمایی $((a)^(x))$ وجود دارد، آن را با چیزی مقایسه می کنیم و سپس از آن خواسته می شود که $x$ را پیدا کند. در موارد خاص بالینی، به جای متغیر $x$، آنها می توانند مقداری تابع $f\left(x\right)$ قرار دهند و در نتیجه نابرابری را کمی پیچیده کنند.

البته در برخی موارد ممکن است نابرابری شدیدتر به نظر برسد. مثلا:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

یا حتی این:

به طور کلی، پیچیدگی چنین نابرابری‌هایی می‌تواند بسیار متفاوت باشد، اما در نهایت آنها همچنان به ساختار ساده $((a)^(x)) \gt b$ کاهش می‌یابند. و ما به نوعی چنین ساختاری را کشف خواهیم کرد (در موارد خاص بالینی، وقتی چیزی به ذهن نمی رسد، لگاریتم ها به ما کمک می کنند). بنابراین، اکنون به شما آموزش می دهیم که چگونه چنین ساختارهای ساده ای را حل کنید.

حل نابرابری های نمایی ساده

بیایید یک چیز بسیار ساده را در نظر بگیریم. به عنوان مثال، این:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

بدیهی است که عدد سمت راست را می توان به صورت توان دو بازنویسی کرد: $4=((2)^(2))$. بنابراین، نابرابری اصلی را می توان به شکل بسیار مناسب بازنویسی کرد:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

و اکنون دستانم برای دریافت پاسخ $x \gt 2$، می‌خارند تا این دو را در پایه‌های قدرت‌ها «قطع» کنم. اما قبل از خط زدن هر چیزی، بیایید قدرت های دو را به خاطر بسپاریم:

\[((2)^(1))=2;\چهار ((2)^(2))=4;\چهار ((2)^(3))=8;\چهار ((2)^( 4))=16;...\]

همانطور که می بینید، هر چه عدد در توان بزرگتر باشد، عدد خروجی بزرگتر است. "ممنون، کلاه!" - یکی از دانش آموزان فریاد می زند. آیا تفاوتی دارد؟ متاسفانه این اتفاق می افتد. مثلا:

\[((\left(\frac(1)(2) \راست))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ راست))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \راست))^(3))=\frac(1)(8 )...\]

در اینجا نیز همه چیز منطقی است: هر چه درجه بیشتر باشد، عدد 0.5 در خودش ضرب می شود (یعنی تقسیم به نصف). بنابراین، دنباله حاصل از اعداد در حال کاهش است و تفاوت بین دنباله اول و دوم فقط در پایه است:

• اگر پایه درجه $a \gt 1$ باشد، با افزایش توان $n$، عدد $((a)^(n))$ نیز افزایش خواهد یافت.
• و بالعکس، اگر $0 \lt a \lt 1$ باشد، با افزایش توان $n$، عدد $((a)^(n))$ کاهش خواهد یافت.

با جمع بندی این حقایق، مهم ترین بیانیه ای را به دست می آوریم که حل کل نابرابری های نمایی بر اساس آن است:

اگر $a \gt 1$ باشد، آنگاه نابرابری $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ معادل نابرابری $x \gt n$ است. اگر $0 \lt a \lt 1$، آنگاه نابرابری $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ معادل نابرابری $x \lt n$ است.

به عبارت دیگر، اگر پایه بزرگتر از یک باشد، می توانید به سادگی آن را حذف کنید - علامت نابرابری تغییر نخواهد کرد. و اگر پایه کمتر از یک باشد، می توان آن را نیز حذف کرد، اما در عین حال باید علامت نابرابری را تغییر دهید.

لطفا توجه داشته باشید که ما گزینه های $a=1$ و $a\le 0$ را در نظر نگرفته ایم. زیرا در این موارد عدم قطعیت به وجود می آید. بیایید بگوییم چگونه یک نابرابری به شکل $((1)^(x)) \gt 3$ را حل کنیم؟ یک نفر به هر قدرتی دوباره یکی خواهد داد - ما هرگز سه یا بیشتر نخواهیم گرفت. آن ها هیچ راه حلی وجود ندارد

با دلایل منفی همه چیز جالب تر است. برای مثال، این نابرابری را در نظر بگیرید:

\[((\چپ(-2 \راست))^(x)) \gt 4\]

در نگاه اول همه چیز ساده است:

درست؟ اما نه! کافی است به جای $x$ چند عدد زوج و چند عدد فرد را جایگزین کنید تا مطمئن شوید که راه حل نادرست است. نگاهی بیاندازید:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\پیکان راست ((\چپ(-2 \راست))^(7))=-128 \lt 4. \\\پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، علائم متناوب هستند. اما قدرت های کسری و مزخرفات دیگر نیز وجود دارد. برای مثال، چگونه دستور می دهید $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (منهای دو به توان هفت) محاسبه شود؟ به هیچ وجه!

بنابراین، برای قطعیت، فرض می‌کنیم که در همه نابرابری‌های نمایی (و به هر حال، معادلات) $1\ne a \gt 0$. و سپس همه چیز بسیار ساده حل می شود:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\پیکان راست \چپ[ \شروع(تراز) & x \gt n\چهارم \چپ(a \gt 1 \راست)، \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \راست). \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

به طور کلی، یک بار دیگر قانون اصلی را به خاطر بسپارید: اگر پایه در یک معادله نمایی بزرگتر از یک باشد، می توانید به سادگی آن را حذف کنید. و اگر پایه کمتر از یک باشد می توان آن را نیز حذف کرد ولی علامت نابرابری تغییر می کند.

نمونه هایی از راه حل ها

بنابراین، اجازه دهید به چند نابرابری نمایی ساده نگاه کنیم:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0،1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0،2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\پایان (تراز کردن)\]

وظیفه اصلی در همه موارد یکسان است: کاهش نابرابری ها به ساده ترین شکل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. این دقیقاً همان کاری است که اکنون با هر نابرابری انجام خواهیم داد و در عین حال خواص درجه ها و توابع نمایی را تکرار خواهیم کرد. پس بزن بریم!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

تو اینجا چکاری میتوانی انجام دهی؟ خوب، در سمت چپ ما قبلاً یک عبارت نشانگر داریم - هیچ چیز نیاز به تغییر ندارد. اما در سمت راست نوعی مزخرف وجود دارد: کسری و حتی یک ریشه در مخرج!

با این حال، اجازه دهید قوانین کار با کسرها و توان ها را به خاطر بسپاریم:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\پایان (تراز کردن)\]

چه مفهومی داره؟ اول اینکه با تبدیل کسری به توانی با توان منفی می توانیم به راحتی از شر آن خلاص شویم. و ثانیاً، از آنجایی که مخرج ریشه دارد، خوب است که آن را به توان تبدیل کنیم - این بار با توان کسری.

این اقدامات را به ترتیب در سمت راست نابرابری اعمال کنید و ببینید چه اتفاقی می افتد:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \راست))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \راست))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \راست)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

فراموش نکنید که هنگام افزایش یک درجه به توان، نماهای این درجات با هم جمع می شوند. و به طور کلی، هنگام کار با معادلات نمایی و نابرابری ها، دانستن حداقل ساده ترین قوانین برای کار با توان ها کاملاً ضروری است:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \راست))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\پایان (تراز کردن)\]

در واقع، ما فقط قانون آخر را اعمال کردیم. بنابراین، نابرابری اصلی ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ فراک (1) (3)))\]

حالا ما از شر این دو در پایه خلاص می شویم. از 2 > 1، علامت نابرابری ثابت می ماند:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end (تراز کردن)\]

راه حل همینه! مشکل اصلی به هیچ وجه در تابع نمایی نیست، بلکه در تبدیل شایسته عبارت اصلی است: شما باید با دقت و سریع آن را به ساده ترین شکل خود برسانید.

نابرابری دوم را در نظر بگیرید:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

نه خوب نه بد. کسرهای اعشاری در اینجا منتظر ما هستند. همانطور که بارها گفته ام، در هر عبارت با قدرت باید از شر اعشار خلاص شوید - این اغلب تنها راه برای دیدن یک راه حل سریع و ساده است. در اینجا خلاص خواهیم شد:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2))؛ \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \راست))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\پایان (تراز کردن)\]

در اینجا دوباره ساده ترین نابرابری را داریم، و حتی با پایه 1/10، یعنی. کمتر از یک خوب، ما پایه ها را حذف می کنیم، همزمان علامت "کمتر" را به "بیشتر" تغییر می دهیم و دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\پایان (تراز کردن)\]

ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. لطفاً توجه داشته باشید: پاسخ دقیقاً یک مجموعه است و در هیچ موردی ساختاری به شکل $x \lt -1$ نیست. زیرا از نظر رسمی، چنین ساختاری اصلاً یک مجموعه نیست، بلکه یک نابرابری با توجه به متغیر $x$ است. بله، خیلی ساده است، اما جواب نمی دهد!

یادداشت مهم. این نابرابری را می توان به روش دیگری حل کرد - با تقلیل هر دو طرف به توانی با پایه بزرگتر از یک. نگاهی بیاندازید:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \راست))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \راست))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

پس از چنین تبدیلی، ما دوباره یک نابرابری نمایی به دست خواهیم آورد، اما با پایه 10 > 1. این بدان معنی است که ما به سادگی می توانیم ده را خط بزنیم - علامت نابرابری تغییر نخواهد کرد. ما گرفتیم:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، پاسخ دقیقاً یکسان بود. در همان زمان، ما خود را از نیاز به تغییر علامت و به طور کلی به خاطر سپردن هر قانون نجات دادیم.

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

با این حال، اجازه ندهید این شما را بترساند. مهم نیست که چه چیزی در شاخص ها وجود دارد، فناوری حل نابرابری خود یکسان باقی می ماند. بنابراین، اجازه دهید ابتدا توجه داشته باشیم که 16 = 2 4. بیایید با در نظر گرفتن این واقعیت، نابرابری اصلی را بازنویسی کنیم:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\پایان (تراز کردن)\]

هورا! ما به نابرابری درجه دوم معمولی رسیدیم! علامت هیچ جا تغییر نکرده است، زیرا پایه دو است - عددی بزرگتر از یک.

صفرهای یک تابع در خط اعداد

ما علائم تابع $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ را مرتب می کنیم - بدیهی است که نمودار آن یک سهمی با شاخه های بالا خواهد بود، بنابراین "به علاوه" وجود خواهد داشت. ” در طرفین. ما به منطقه ای علاقه مندیم که تابع کمتر از صفر باشد، یعنی. $x\in \left(2;5 \right)$ پاسخ مشکل اصلی است.

در نهایت یک نابرابری دیگر را در نظر بگیرید:

\[((0،2)^(1+(((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

دوباره یک تابع نمایی با کسری اعشاری در قاعده می بینیم. بیایید این کسر را به کسری مشترک تبدیل کنیم:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0,2) )^(1+((x)^(2))))=((\چپ(((5)^(-1)) \راست))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \راست)))\پایان(تراز)\]

در این مورد، ما از تذکری که قبلا داده شد استفاده کردیم - به منظور ساده کردن راه حل بیشتر، پایه را به عدد 5 > 1 کاهش دادیم. بیایید همین کار را با سمت راست انجام دهیم:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \راست))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ راست))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

اجازه دهید نابرابری اصلی را با در نظر گرفتن هر دو تبدیل بازنویسی کنیم:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\arrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \راست)))\ge ((5)^(-2))\]

پایه های هر دو طرف یکسان هستند و بیشتر از یک هستند. هیچ عبارت دیگری در سمت راست و چپ وجود ندارد، بنابراین ما به سادگی پنج ها را خط می زنیم و یک عبارت بسیار ساده به دست می آوریم:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\چهار \ چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\پایان (تراز کردن)\]

اینجاست که باید بیشتر مراقب باشید. بسیاری از دانش آموزان دوست دارند به سادگی جذر دو طرف نابرابری را بگیرند و چیزی مانند $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ بنویسند. تحت هیچ شرایطی نباید این کار را انجام داد. ، از آنجایی که ریشه یک مربع دقیق یک مدول است و در هیچ موردی یک متغیر اصلی نیست:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\ چپ| x\راست|\]

با این حال، کار با ماژول ها لذت بخش ترین تجربه نیست، اینطور است؟ پس ما کار نخواهیم کرد در عوض، ما به سادگی تمام عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم و نابرابری معمول را با استفاده از روش فاصله حل می کنیم:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\پایان (تراز کردن)$

دوباره نقاط به دست آمده را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم و به علائم نگاه می کنیم:

لطفا توجه داشته باشید: نقاط سایه دار هستند

از آنجایی که ما در حال حل یک نابرابری غیر دقیق بودیم، تمام نقاط روی نمودار سایه دار هستند. بنابراین، پاسخ این خواهد بود: $x\in \left[ -1;1 \right]$ یک بازه نیست، بلکه یک بخش است.

به طور کلی، می خواهم توجه داشته باشم که هیچ چیز پیچیده ای در مورد نابرابری های نمایی وجود ندارد. معنای تمام تبدیل هایی که امروز انجام دادیم به یک الگوریتم ساده خلاصه می شود:

• مبنایی را پیدا کنید که همه درجات را به آن کاهش دهیم.
• تبدیل ها را با دقت انجام دهید تا نابرابری به شکل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ بدست آورید. البته به جای متغیرهای $x$ و $n$ می‌توان توابع بسیار پیچیده‌تری وجود داشت، اما معنی آن تغییر نخواهد کرد.
• پایه درجه ها را خط بزنید. در این مورد، اگر پایه $a \lt 1$ باشد، علامت نابرابری ممکن است تغییر کند.

در واقع، این یک الگوریتم جهانی برای حل همه این نابرابری ها است. و هر چیز دیگری که در مورد این موضوع به شما می گویند فقط تکنیک ها و ترفندهای خاصی است که تحول را ساده و سرعت می بخشد. اکنون در مورد یکی از این تکنیک ها صحبت خواهیم کرد.

روش منطقی سازی

بیایید مجموعه دیگری از نابرابری ها را در نظر بگیریم:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \راست))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \راست))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \راست))^(16-x)); \\ & ((\ چپ (3-2\sqrt(2) \راست))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\پایان (تراز کردن)\]

پس چه چیز خاصی در مورد آنها وجود دارد؟ آنها سبک هستند. گرچه بس کن! آیا عدد π به مقداری توان افزایش یافته است؟ چه بیمعنی؟

چگونه عدد $2\sqrt(3)-3$ را به یک پاور برسانیم؟ یا $3-2\sqrt(2)$؟ بدیهی است که نویسندگان مشکل قبل از اینکه سر کار بنشینند بیش از حد زالزالک نوشیده اند.

در واقع هیچ چیز ترسناکی در مورد این وظایف وجود ندارد. اجازه دهید یادآوری کنم: یک تابع نمایی عبارتی از شکل $((a)^(x))$ است، که در آن پایه $a$ هر عدد مثبتی به جز یک است. عدد π مثبت است - ما قبلاً این را می دانیم. اعداد $2\sqrt(3)-3$ و $3-2\sqrt(2)$ نیز مثبت هستند - به راحتی می توان آنها را با صفر مقایسه کرد.

معلوم می شود که همه این نابرابری های "ترسناک" با موارد ساده ای که در بالا مورد بحث قرار گرفت، تفاوتی ندارند؟ و آیا به همین ترتیب حل می شوند؟ بله، کاملاً درست است. با این حال، با استفاده از مثال آنها، می خواهم تکنیکی را در نظر بگیرم که در زمان کار مستقل و امتحانات بسیار صرفه جویی می کند. ما در مورد روش عقلانی کردن صحبت خواهیم کرد. بنابراین، توجه:

هر نابرابری نمایی به شکل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ معادل نابرابری $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ راست) \gt 0 $.

کل روش همینه :) فکر میکردی یه جور بازی دیگه باشه؟ هیچی مثل این! اما این واقعیت ساده که به معنای واقعی کلمه در یک خط نوشته شده است، کار ما را بسیار ساده می کند. نگاهی بیاندازید:

\[\begin(ماتریس) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \پایین \\ \چپ(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end (ماتریس)\]

بنابراین دیگر توابع نمایی وجود ندارد! و لازم نیست به یاد داشته باشید که آیا علامت تغییر می کند یا خیر. اما یک مشکل جدید به وجود می آید: با ضریب لعنتی \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] چه باید کرد؟ ما نمی دانیم که مقدار دقیق عدد π چقدر است. با این حال، به نظر می رسد کاپیتان به چیزهای واضح اشاره می کند:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\تقریبا 3.14... \gt 3\پیکان راست \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

به طور کلی، مقدار دقیق π واقعاً به ما مربوط نیست - فقط برای ما مهم است که بفهمیم در هر صورت $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $، t.e. این یک ثابت مثبت است و می‌توانیم هر دو طرف نابرابری را بر آن تقسیم کنیم:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، در یک لحظه خاص مجبور شدیم بر منفی یک تقسیم کنیم - و علامت نابرابری تغییر کرد. در پایان، من مثلث درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا گسترش دادم - واضح است که ریشه ها برابر با $((x)_(1))=5$ و $((x)_(2))=-1$ هستند. . سپس همه چیز با استفاده از روش فاصله کلاسیک حل می شود:

حل نابرابری با استفاده از روش فاصله

همه نقاط حذف می شوند زیرا نابرابری اصلی سخت است. ما به منطقه ای با مقادیر منفی علاقه مند هستیم، بنابراین پاسخ $x\in \left(-1;5 \right)$ است. راه حل همین است.

بریم سراغ کار بعدی:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \راست))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

همه چیز در اینجا به طور کلی ساده است، زیرا یک واحد در سمت راست وجود دارد. و ما به یاد داریم که یک هر عددی است که به توان صفر افزایش یافته است. حتی اگر این عدد یک عبارت غیر منطقی در پایه سمت چپ باشد:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \راست))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \راست))^(0)); \\\پایان (تراز کردن)\]

خوب، بیایید منطقی کنیم:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\ ]

تنها چیزی که باقی می ماند این است که نشانه ها را کشف کنیم. عامل $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ دارای متغیر $x$ نیست - فقط یک ثابت است و ما باید علامت آن را پیدا کنیم. برای این کار به نکات زیر توجه کنید:

\[\begin(ماتریس) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \راست)=0 \\\پایان(ماتریس)\]

معلوم می شود که عامل دوم فقط یک ثابت نیست، بلکه یک ثابت منفی است! و هنگام تقسیم بر آن، علامت نابرابری اصلی به عکس تغییر می کند:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\ چپ (x-2 \راست) \gt 0. \\\پایان (تراز کردن)\]

اکنون همه چیز کاملاً آشکار می شود. ریشه های مثلث مربع سمت راست عبارتند از: $((x)_(1))=0$ و $((x)_(2))=2$. آنها را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم و به نشانه های تابع $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ نگاه می کنیم:

موردی که ما علاقه مند به فواصل جانبی هستیم

ما به فواصل مشخص شده با علامت مثبت علاقه مندیم. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است:

بیایید به مثال بعدی برویم:

\[((\left(\frac(1)(3) \راست))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ راست))^(16-x))\]

خوب، همه چیز در اینجا کاملاً واضح است: پایه ها دارای قدرت هایی به همان تعداد هستند. بنابراین، من همه چیز را به طور خلاصه می نویسم:

\[\begin(ماتریس) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \پایین \\ ((\چپ(((3)^(-1)) \راست))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\چپ(((3)^(-2)) \راست))^(16-x)) \\\پایان(ماتریس)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ چپ (16-x \راست))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، در طول فرآیند تبدیل باید در یک عدد منفی ضرب می شدیم، بنابراین علامت نابرابری تغییر کرد. در انتها، من دوباره قضیه ویتا را برای عامل سه جمله ای درجه دوم به کار بردم. در نتیجه، پاسخ به صورت زیر خواهد بود: $x\in \left(-8;4 \right)$ - هرکسی می‌تواند این را با کشیدن یک خط عددی، علامت‌گذاری نقاط و شمارش علائم تأیید کند. در همین حال، ما به آخرین نابرابری از "مجموعه" خود خواهیم رفت:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \راست))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

همانطور که می بینید، در پایه دوباره یک عدد غیر منطقی وجود دارد و در سمت راست دوباره یک واحد وجود دارد. بنابراین، نابرابری نمایی خود را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \راست))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ راست))^(0))\]

ما منطقی سازی را اعمال می کنیم:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\ ]

با این حال، کاملاً واضح است که $1-\sqrt(2) \lt 0$، زیرا $\sqrt(2)\حدود 1,4... \gt 1$. بنابراین، عامل دوم دوباره یک ثابت منفی است که می توان هر دو طرف نابرابری را بر اساس آن تقسیم کرد:

\[\begin(ماتریس) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \پایین \ \\پایان (ماتریس)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\ چپ (x-3 \راست) \lt 0. \\\پایان (تراز کردن)\]

به پایگاه دیگری بروید

یک مشکل جداگانه هنگام حل نابرابری های نمایی، جستجوی مبنای "درست" است. متأسفانه، همیشه در نگاه اول در یک کار مشخص نیست که چه چیزی را به عنوان مبنا و چه کاری را با توجه به درجه این مبنا انجام دهیم.

اما نگران نباشید: هیچ فناوری جادویی یا "راز" در اینجا وجود ندارد. در ریاضیات، هر مهارتی که قابل الگوریتم سازی نباشد را می توان به راحتی با تمرین توسعه داد. اما برای این شما باید مشکلات سطوح مختلف پیچیدگی را حل کنید. به عنوان مثال، مانند این:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \راست))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \راست))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ پایان (تراز کردن)\]

دشوار؟ ترسناک؟ راحت تر از زدن مرغ به آسفالت است! بیایید تلاش کنیم. نابرابری اول:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

خوب، فکر می کنم همه چیز اینجا روشن است:

ما نابرابری اصلی را بازنویسی می کنیم و همه چیز را به پایه دو تقلیل می دهیم:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\راست فلش \چپ(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

بله، بله، درست شنیدید: من فقط از روش منطقی سازی که در بالا توضیح داده شد استفاده کردم. اکنون باید با دقت کار کنیم: یک نابرابری کسری - عقلانی داریم (این نابرابری است که یک متغیر در مخرج دارد)، بنابراین قبل از اینکه هر چیزی را با صفر برابر کنیم، باید همه چیز را به یک مخرج مشترک برسانیم و از عامل ثابت خلاص شویم. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end (تراز کردن)\]

حال از روش فاصله استاندارد استفاده می کنیم. صفرهای عددی: $x=\pm 4$. مخرج فقط زمانی به صفر می رسد که $x=0$ باشد. در مجموع سه نقطه وجود دارد که باید روی خط اعداد علامت گذاری شوند (همه نقاط به دلیل سخت بودن علامت نابرابری پین شده اند). ما گرفتیم:

مورد پیچیده تر: سه ریشه

همانطور که ممکن است حدس بزنید، سایه‌زنی فواصل زمانی را مشخص می‌کند که در آن عبارت سمت چپ مقادیر منفی می‌گیرد. بنابراین، پاسخ نهایی به طور همزمان شامل دو بازه زمانی خواهد بود:

انتهای فواصل در پاسخ گنجانده نشده است زیرا نابرابری اولیه سخت بود. تأیید بیشتر این پاسخ مورد نیاز نیست. از این نظر، نابرابری های نمایی بسیار ساده تر از لگاریتمی هستند: بدون ODZ، بدون محدودیت و غیره.

بریم سراغ کار بعدی:

\[((\left(\frac(1)(3) \راست))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

در اینجا نیز هیچ مشکلی وجود ندارد، زیرا ما از قبل می دانیم که $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$، بنابراین کل نابرابری را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \راست))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end (تراز کردن)\]

لطفاً توجه داشته باشید: در خط سوم تصمیم گرفتم زمان را برای چیزهای بی اهمیت تلف نکنم و بلافاصله همه چیز را بر (-2) تقسیم کنم. مینول وارد براکت اول شد (اکنون همه جا امتیازات مثبت وجود دارد) و دو با یک عامل ثابت کاهش یافت. این دقیقاً همان کاری است که هنگام تهیه محاسبات واقعی برای کار مستقل و آزمایشی باید انجام دهید - نیازی نیست که هر عمل و تحولی را مستقیماً توصیف کنید.

بعد، روش آشنای فواصل وارد عمل می شود. عدد صفر: اما هیچ کدام وجود ندارد. زیرا ممیز منفی خواهد بود. به نوبه خود، مخرج فقط در $x=0$ تنظیم مجدد می شود - درست مانند دفعه قبل. خوب، واضح است که در سمت راست $x=0$، کسر مقادیر مثبت و در سمت چپ - منفی خواهد داشت. از آنجایی که ما به مقادیر منفی علاقه داریم، پاسخ نهایی این است: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \راست))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \راست))^(x))\ge 1\]

با کسرهای اعشاری در نابرابری های نمایی چه باید کرد؟ درست است: از شر آنها خلاص شوید، آنها را به موارد معمولی تبدیل کنید. در اینجا ما ترجمه خواهیم کرد:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \راست))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \راست))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\راست))^(x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

پس در مبانی توابع نمایی چه چیزی به دست آوردیم؟ و دو عدد معکوس به دست آوردیم:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \راست))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ راست))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \راست))^(-1)) \راست))^(x))=((\ چپ(\frac(4)(25) \راست))^(-x))\]

بنابراین، نابرابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \راست) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(1+2x+\left(-x \راست)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(0) ). \\\پایان (تراز کردن)\]

البته هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان آنها جمع می شود که در خط دوم این اتفاق افتاد. علاوه بر این، ما واحد را در سمت راست، همچنین به عنوان یک قدرت در پایه 4/25 نشان دادیم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که منطقی کنیم:

\[((\left(\frac(4)(25) \راست))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \راست))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

توجه داشته باشید که $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$، یعنی. عامل دوم یک ثابت منفی است و هنگام تقسیم بر آن، علامت نابرابری تغییر می کند:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end (تراز کردن)\]

در نهایت، آخرین نابرابری از "مجموعه" فعلی:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \راست))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

در اصل، ایده راه حل در اینجا نیز واضح است: تمام توابع نمایی موجود در نابرابری باید به پایه "3" کاهش یابد. اما برای این کار باید کمی با ریشه ها و قدرت ها سر و کله بزنید:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\چهار 81=((3)^(4)). \\\پایان (تراز کردن)\]

با در نظر گرفتن این حقایق، نابرابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((\left((3)^(\frac(8)(3))) \راست))^(-x)) \lt ((\left((3) ^(2))\راست))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

به خط 2 و 3 محاسبات توجه کنید: قبل از انجام هر کاری با نامساوی حتماً آن را به شکلی که از همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردیم بیاورید: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. تا زمانی که چند فاکتور چپ دست، ثابت های اضافی و غیره در سمت چپ یا راست داشته باشید، هیچ منطقی سازی یا «خارج شدن» از زمینه ها را نمی توان انجام داد! به دلیل عدم درک این واقعیت ساده، کارهای بی شماری به اشتباه تکمیل شده اند. من خودم زمانی که تازه شروع به تحلیل نابرابری‌های نمایی و لگاریتمی می‌کنیم، دائماً این مشکل را با دانش‌آموزانم مشاهده می‌کنم.

اما بیایید به وظیفه خود برگردیم. بیایید سعی کنیم این بار بدون منطق انجام دهیم. به یاد داشته باشید: پایه درجه بزرگتر از یک است، بنابراین سه گانه را می توان به سادگی خط زد - علامت نابرابری تغییر نخواهد کرد. ما گرفتیم:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین. پاسخ نهایی: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

جداسازی یک عبارت پایدار و جایگزینی یک متغیر

در پایان، من حل چهار نابرابری نمایی دیگر را پیشنهاد می‌کنم که در حال حاضر برای دانش‌آموزان ناآماده بسیار دشوار است. برای کنار آمدن با آنها، باید قوانین کار با مدرک را به خاطر بسپارید. به ویژه قرار دادن عوامل مشترک خارج از پرانتز.

اما مهمترین چیز این است که یاد بگیرید بفهمید دقیقاً چه چیزی را می توان از پرانتز خارج کرد. چنین عبارتی پایدار نامیده می شود - می توان آن را با یک متغیر جدید نشان داد و بنابراین از تابع نمایی خلاص شد. بنابراین، بیایید به وظایف نگاه کنیم:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \راست))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end (تراز کردن)\]

بیایید از همان خط اول شروع کنیم. اجازه دهید این نابرابری را جداگانه بنویسیم:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

توجه داشته باشید که $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$، بنابراین سمت راست طرف را می توان بازنویسی کرد:

توجه داشته باشید که هیچ توابع نمایی دیگری به جز $((5)^(x+1))$ در نابرابری وجود ندارد. و به طور کلی، متغیر $x$ در هیچ جای دیگری ظاهر نمی شود، بنابراین بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم: $((5)^(x+1))=t$. ما ساختار زیر را دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\پایان (تراز کردن)\]

به متغیر اصلی ($t=((5)^(x+1))$ برمی گردیم و در همان زمان به یاد داشته باشید که 1=5 0 . ما داریم:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\پایان (تراز کردن)\]

راه حل همینه! پاسخ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. بریم سراغ نابرابری دوم:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

اینجا همه چیز یکسان است. توجه داشته باشید که $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . سپس سمت چپ را می توان بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\راست. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\ فلش راست x\in \ چپ[ 2;+\infty \راست). \\\پایان (تراز کردن)\]

تقریباً اینگونه است که باید راه حلی برای آزمایش های واقعی و کار مستقل تهیه کنید.

خوب، بیایید چیز پیچیده تری را امتحان کنیم. برای مثال، این نابرابری است:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

مشکل اینجا چیست؟ اول از همه، مبانی توابع نمایی در سمت چپ متفاوت است: 5 و 25. اما، 25 = 5 2، بنابراین عبارت اول را می توان تبدیل کرد:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \راست))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(تراز کردن )\]

همانطور که می بینید، در ابتدا همه چیز را به همان پایه آوردیم و سپس متوجه شدیم که عبارت اول را می توان به راحتی به دومی کاهش داد - فقط باید توان را گسترش دهید. اکنون می توانید با خیال راحت یک متغیر جدید معرفی کنید: $((5)^(2x+2))=t$، و کل نابرابری به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\پایان (تراز کردن)\]

و باز هم بدون مشکل! پاسخ نهایی: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. بیایید در درس امروز به سراغ نابرابری نهایی برویم:

\[((\چپ(0.5 \راست))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

اولین چیزی که باید به آن توجه کنید، البته کسر اعشاری در پایه توان اول است. لازم است از شر آن خلاص شوید و در عین حال همه توابع نمایی را به یک پایه - شماره "2" بیاورید:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\پیکان راست ((16)^(x+1.5))=((\چپ(((2)^(4)) \راست))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end (تراز کردن)\]

عالی است، ما اولین قدم را برداشته ایم - همه چیز به یک پایه منتهی شده است. اکنون باید یک عبارت پایدار را انتخاب کنید. توجه داشته باشید که $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. اگر یک متغیر جدید $((2)^(4x+6))=t$ معرفی کنیم، آنگاه نابرابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\پایان (تراز کردن)\]

به طور طبیعی، ممکن است این سوال پیش بیاید: چگونه متوجه شدیم که 256 = 2 8؟ متأسفانه، در اینجا فقط باید قدرت های دو (و در عین حال قدرت های سه و پنج) را بدانید. خوب، یا 256 را بر 2 تقسیم کنید (می توانید تقسیم کنید، زیرا 256 یک عدد زوج است) تا به نتیجه برسیم. چیزی شبیه به این خواهد بود:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(تراز کردن )\]

همین امر در مورد سه (اعداد 9، 27، 81 و 243 درجات آن هستند) و با هفت (اعداد 49 و 343 نیز خوب است که به خاطر بسپارید) صادق است. خوب، این پنج نیز درجات "زیبا" دارد که باید بدانید:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\پایان (تراز کردن)\]

البته در صورت تمایل، با ضرب کردن متوالی آنها در یکدیگر، می توان تمامی این اعداد را در ذهن شما بازگرداند. با این حال، زمانی که باید چندین نابرابری نمایی را حل کنید، و هر یک از نامساوی بعدی دشوارتر از قبلی است، آخرین چیزی که می خواهید به آن فکر کنید قدرت برخی اعداد است. و از این نظر، این مسائل پیچیده تر از نابرابری های "کلاسیک" هستند که با روش بازه ای حل می شوند.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر این مبحث کمک کرده باشد. اگر چیزی نامشخص است، در نظرات بپرسید. و در درس های بعدی می بینمت :)

به این معنا که اجباری هنگام حل یک سیستم معادلات نمایی? قطعا، دگرگونیاین سیستم به سیستمی از معادلات ساده

مثال ها.

حل سیستم معادلات:

بیان کنیم دراز طریق ایکساز معادله سیستم (2) و این مقدار را با معادله سیستم (1) جایگزین کنید.

معادله (2) سیستم حاصل را حل می کنیم:

2 x +2 x +2 = 10، فرمول را اعمال کنید: تبر + y=تبر∙ یک سال.

2 x +2 x ∙2 2 =10، بیایید ضریب مشترک 2 x را از پرانتز خارج کنیم:

2 x (1+2 2)=10 یا 2 x ∙5=10، بنابراین 2 x =2.

2 x = 2 1، از اینجا x=1. به سیستم معادلات برگردیم.

پاسخ: (1؛ 2).

راه حل.

ضلع چپ و راست معادله (1) را به صورت توان با پایه نشان می دهیم 2 ، و سمت راست (2) معادله به عنوان توان صفر عدد است 5 .

اگر دو توان با پایه های یکسان با هم برابر باشند، نماهای این توان ها برابر هستند - توان ها را با پایه ها برابر می کنیم. 2 و نماهای با پایه 5 .

سیستم معادلات خطی حاصل را با دو متغیر با استفاده از روش جمع حل می کنیم.

ما پیدا می کنیم x=2و به جای آن این مقدار را جایگزین می کنیم ایکسبه معادله دوم سیستم.

ما پیدا می کنیم در.

جواب: (2؛ 1.5).

راه حل.

اگر در دو مثال قبلی با معادل سازی نشانگرهای دو درجه با پایه های یکسان به سیستم ساده تری رفتیم، در مثال سوم این عملیات غیرممکن است. حل چنین سیستم هایی با معرفی متغیرهای جدید راحت است. متغیرها را معرفی می کنیم توو vو سپس متغیر را بیان کنید تواز طریق vو یک معادله برای متغیر بدست می آوریم v.

معادله (2) سیستم را حل می کنیم.

v 2 +63v-64=0. بیایید ریشه ها را با استفاده از قضیه Vieta انتخاب کنیم، با دانستن اینکه: v 1 +v 2 = -63; v 1 ∙v 2 =-64.

دریافت می کنیم: v 1 =-64، v 2 =1. ما به سیستم برمی گردیم و شما را پیدا می کنیم.

از آنجایی که مقادیر تابع نمایی همیشه مثبت است، معادلات 4 x = -1 و 4 y = -64 هیچ راه حلی ندارند

در این درس ما به انواع نامعادله های نمایی نگاه می کنیم و نحوه حل آنها را بر اساس تکنیک حل ساده ترین نابرابری های نمایی می آموزیم.

1. تعریف و ویژگی های تابع نمایی

اجازه دهید تعریف و ویژگی های اصلی تابع نمایی را به یاد بیاوریم. حل تمام معادلات و نابرابری های نمایی بر اساس این ویژگی ها است.

تابع نماییتابعی از فرم است که پایه آن درجه و در اینجا x متغیر مستقل، آرگومان است. y متغیر وابسته، تابع است.

برنج. 1. نمودار تابع نمایی

نمودار نماهای افزایش و کاهش را نشان می دهد که تابع نمایی را به ترتیب با پایه بزرگتر از یک و کوچکتر از یک اما بزرگتر از صفر نشان می دهد.

هر دو منحنی از نقطه (0;1) عبور می کنند

ویژگی های تابع نمایی:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع یکنواخت است، با افزایش می یابد، با کاهش می یابد.

یک تابع یکنواخت هر یک از مقادیر خود را با یک مقدار آرگومان می گیرد.

وقتی، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد، تابع از صفر شامل به اضافه بی‌نهایت افزایش می‌یابد، یعنی برای مقادیر داده‌شده آرگومان، یک تابع افزایشی یکنواخت داریم (). برعکس، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد، تابع از بی‌نهایت به صفر کاهش می‌یابد، یعنی برای مقادیر داده‌شده آرگومان، تابع یکنواخت نزولی داریم ().

2. ساده ترین نابرابری های نمایی، روش حل، مثال

بر اساس موارد فوق، روشی را برای حل ساده ترین نابرابری های نمایی ارائه می کنیم:

تکنیک حل نابرابری:

پایه درجه ها را برابر کنید.

شاخص ها را با حفظ یا تغییر علامت نابرابری به عکس مقایسه کنید.

راه حل برای نابرابری های نمایی پیچیده معمولاً شامل کاهش آنها به ساده ترین نابرابری های نمایی است.

پایه درجه بزرگتر از یک است، به این معنی که علامت نابرابری حفظ می شود:

بیایید سمت راست را با توجه به ویژگی های درجه تبدیل کنیم:

پایه درجه کمتر از یک است، علامت نابرابری باید معکوس شود:

برای حل نابرابری درجه دوم، معادله درجه دوم مربوطه را حل می کنیم:

با استفاده از قضیه ویتا ریشه ها را پیدا می کنیم:

شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.

بنابراین، ما یک راه حل برای نابرابری داریم:

به راحتی می توان حدس زد که سمت راست را می توان به عنوان توانی با توان صفر نشان داد:

پایه درجه بزرگتر از یک است، علامت نابرابری تغییر نمی کند، به دست می آوریم:

بیایید تکنیک حل چنین نابرابری ها را به یاد بیاوریم.

تابع کسری - گویا را در نظر بگیرید:

دامنه تعریف را پیدا می کنیم:

پیدا کردن ریشه های تابع:

تابع یک ریشه دارد،

فواصل علامت ثابت را انتخاب می کنیم و علائم تابع را در هر بازه تعیین می کنیم:

برنج. 2. فواصل پایداری علامت

به این ترتیب پاسخ را دریافت کردیم.

پاسخ:

3. حل نابرابری های نمایی استاندارد

بیایید نابرابری ها را با شاخص های یکسان، اما پایه های متفاوت در نظر بگیریم.

یکی از ویژگی های تابع نمایی این است که برای هر مقدار آرگومان مقادیر کاملاً مثبت می گیرد، به این معنی که می توان آن را به یک تابع نمایی تقسیم کرد. اجازه دهید نابرابری داده شده را به سمت راست آن تقسیم کنیم:

پایه درجه بزرگتر از یک است، علامت نابرابری حفظ می شود.

بیایید راه حل را توضیح دهیم:

شکل 6.3 نمودارهای توابع و . بدیهی است که وقتی آرگومان بزرگتر از صفر باشد، نمودار تابع بالاتر است، این تابع بزرگتر است. وقتی مقادیر آرگومان منفی است، تابع پایین تر می رود، کوچکتر می شود. اگر آرگومان برابر باشد، توابع برابر هستند، به این معنی که این نقطه نیز راه حلی برای نابرابری داده شده است.

برنج. 3. تصویر برای مثال 4

اجازه دهید نابرابری داده شده را با توجه به ویژگی های درجه تبدیل کنیم:

در اینجا چند اصطلاح مشابه وجود دارد:

بیایید هر دو بخش را به زیر تقسیم کنیم:

اکنون به حل مشابه مثال 4 ادامه می دهیم، هر دو قسمت را بر دو تقسیم می کنیم:

پایه درجه بزرگتر از یک است، علامت نابرابری باقی می ماند:

4. حل گرافیکی نابرابری های نمایی

مثال 6 - نابرابری را به صورت گرافیکی حل کنید:

بیایید به توابع سمت چپ و راست نگاه کنیم و برای هر یک از آنها یک نمودار بسازیم.

تابع نمایی است و در کل دامنه تعریف خود، یعنی برای همه مقادیر واقعی آرگومان افزایش می یابد.

تابع خطی است و در کل دامنه تعریف خود کاهش می یابد، یعنی برای همه مقادیر واقعی آرگومان.

اگر این توابع همدیگر را قطع کنند، یعنی سیستم راه حلی داشته باشد، چنین راه حلی منحصر به فرد است و به راحتی قابل حدس زدن است. برای انجام این کار، روی اعداد صحیح () تکرار می کنیم.

به راحتی می توان فهمید که ریشه این سیستم عبارت است از:

بنابراین، نمودارهای توابع در نقطه ای با آرگومان برابر با یک قطع می شوند.

حالا باید جواب بگیریم. معنای نابرابری داده شده این است که توان باید بزرگتر یا مساوی تابع خطی باشد، یعنی بزرگتر یا منطبق بر آن باشد. پاسخ واضح است: (شکل 6.4)

برنج. 4. تصویر برای مثال 6

بنابراین، ما به حل نابرابری های نمایی استاندارد مختلف نگاه کردیم. در ادامه به بررسی نابرابری های نمایی پیچیده تر می پردازیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

موردکوویچ A.G. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. - M.: Mnemosyne. Muravin G.K., Muravin O.V. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. - م.: باستارد. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn P. et al. - م.: روشنگری.

ریاضی. md ریاضی-تکرار. com پراکنده کردن کمسو ru.

مشق شب

1. جبر و آغاز تجزیه، نمرات 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990، شماره 472، 473;

2- نابرابری را حل کنید:

3. نابرابری را حل کنید.

و x = b ساده ترین معادله نمایی است. در او آبزرگتر از صفر و آبرابر با یک نیست

حل معادلات نمایی

از ویژگی های تابع نمایی می دانیم که دامنه مقادیر آن به اعداد حقیقی مثبت محدود می شود. سپس اگر b=0 باشد، معادله هیچ جوابی ندارد. همین وضعیت در معادله b اتفاق می افتد

حال فرض می کنیم که b>0. اگر در تابع نمایی پایه آبزرگتر از وحدت است، پس تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. اگر در تابع نمایی برای پایه آشرط زیر 0 برقرار است

بر این اساس و با اعمال قضیه ریشه، متوجه می شویم که معادله a x = b دارای یک ریشه واحد است، برای b>0 و مثبت آبرابر با یک نیست برای پیدا کردن آن، باید b را به شکل b = a c نشان دهید.
آن وقت معلوم است که باحل معادله a x = a c خواهد بود.

مثال زیر را در نظر بگیرید: معادله 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25 را حل کنید.

بیایید 25 را به عنوان 5 2 تصور کنیم، دریافت می کنیم:

5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 .

یا معادل آن چیست:

x 2 - 2 * x - 1 = 2.

معادله درجه دوم حاصل را با استفاده از هر یک از روش های شناخته شده حل می کنیم. دو ریشه x = 3 و x = -1 بدست می آوریم.

پاسخ: 3;-1.

بیایید معادله 4 x - 5*2 x + 4 = 0 را حل کنیم. بیایید جایگزین را انجام دهیم: t=2 x و معادله درجه دوم زیر را بدست آوریم:

t 2 - 5 * t + 4 = 0.
ما این معادله را با استفاده از هر یک از روش های شناخته شده حل می کنیم. ریشه های t1 = 1 t2 = 4 را می گیریم

حال معادلات 2 x = 1 و 2 x = 4 را حل می کنیم.

پاسخ: 0؛ 2.

حل نابرابری های نمایی

راه حل ساده ترین نابرابری های نمایی نیز بر اساس ویژگی های توابع افزایش و کاهش است. اگر در یک تابع نمایی، پایه a بزرگتر از یک باشد، آنگاه تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. اگر در تابع نمایی برای پایه آشرط زیر برقرار است 0، سپس این تابع در کل مجموعه اعداد واقعی کاهش می یابد.

مثالی را در نظر بگیرید: حل نابرابری (0.5) (7 - 3*x)< 4.

توجه داشته باشید که 4 = (0.5) 2 . سپس نابرابری به شکل (0.5) (7 - 3*x) خواهد بود.< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

ما دریافت می کنیم: 7 - 3 * x>-2.

از این رو: x<3.

پاسخ: x<3.

اگر پایه در نابرابری بزرگتر از یک بود، پس هنگام خلاص شدن از پایه، نیازی به تغییر علامت نابرابری وجود نخواهد داشت.