پیدا کردن اعداد فیبوناچی اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی: رابطه

با این حال، این تمام چیزی نیست که می توان با نسبت طلایی انجام داد. اگر یک را بر 0.618 تقسیم کنیم، 1.618 به دست می آید، اگر آن را مکعب کنیم، 4.236 به دست می آید. اینها نسبت های بسط فیبوناچی هستند. تنها چیزی که در اینجا وجود ندارد عدد 3236 است که توسط جان مورفی پیشنهاد شده است.

نظر کارشناسان در مورد ثبات چیست؟

برخی ممکن است بگویند که این اعداد از قبل آشنا هستند زیرا در برنامه های تحلیل تکنیکال برای تعیین میزان اصلاحات و گسترش استفاده می شوند. علاوه بر این، همین سریال ها نقش مهمی در نظریه موج الیوت دارند. مبنای عددی آن هستند.

نیکولای متخصص ما یک مدیر نمونه کار ثابت در شرکت سرمایه گذاری Vostok است.

• - نیکولای، آیا به نظر شما ظهور اعداد فیبوناچی و مشتقات آن در نمودارهای ابزارهای مختلف تصادفی است؟ و آیا می توان گفت: "کاربرد عملی سری فیبوناچی" صورت می گیرد؟
• - من نگرش بدی نسبت به عرفان دارم. و حتی بیشتر از آن در نمودارهای بورس. هر چیزی دلایل خودش را دارد. در کتاب "سطوح فیبوناچی" او به زیبایی توضیح داد که نسبت طلایی در کجا ظاهر می شود، که از اینکه در نمودارهای قیمت بورس ظاهر شد تعجب نکرد. اما بیهوده! در بسیاری از مثال هایی که او آورد، پی اغلب ظاهر می شود. اما به دلایلی در نسبت قیمت لحاظ نشده است.
• - پس شما به اثربخشی اصل موج الیوت اعتقاد ندارید؟
• - نه، موضوع این نیست. اصل موج یک چیز است. نسبت عددی متفاوت است. و دلایل ظاهر شدن آنها در نمودار قیمت سومین است
• - به نظر شما دلایل ظاهر شدن نسبت طلایی در نمودارهای سهام چیست؟
• - پاسخ صحیح به این سوال ممکن است جایزه نوبل اقتصاد را برای شما به ارمغان آورد. در حال حاضر می توانیم دلایل واقعی را حدس بزنیم. آنها به وضوح با طبیعت هماهنگ نیستند. مدل های زیادی برای قیمت گذاری مبادله ای وجود دارد. آنها پدیده تعیین شده را توضیح نمی دهند. اما درک نکردن ماهیت یک پدیده نباید آن پدیده را انکار کند.
• - و اگر این قانون باز شود، آیا می تواند روند مبادلات را از بین ببرد؟
• - همانطور که همان تئوری موج نشان می دهد، قانون تغییرات قیمت سهام یک روانشناسی ناب است. به نظر من آگاهی از این قانون چیزی را تغییر نمی دهد و نمی تواند بورس را از بین ببرد.

مطالب ارائه شده توسط وب مستر وبلاگ Maxim.

همزمانی اصول بنیادی ریاضیات در انواع نظریه ها باورنکردنی به نظر می رسد. شاید فانتزی باشد یا برای نتیجه نهایی سفارشی شده باشد. صبر کن و ببین. بسیاری از چیزهایی که قبلاً غیرعادی تلقی می شد یا امکان پذیر نبود: برای مثال، اکتشاف فضایی امری عادی شده است و هیچ کس را شگفت زده نمی کند. همچنین تئوری موج که ممکن است غیرقابل درک باشد به مرور زمان قابل دسترس تر و قابل درک تر خواهد شد. آنچه قبلا غیر ضروری بود، در دست یک تحلیلگر با تجربه، به ابزاری قدرتمند برای پیش بینی رفتار آینده تبدیل می شود.

اعداد فیبوناچی در طبیعت

نگاه کن

حالا بیایید در مورد اینکه چگونه می توانید این واقعیت را که سری دیجیتال فیبوناچی در هر الگوی در طبیعت دخیل است را رد کنید صحبت کنیم.

بیایید هر دو عدد دیگر را بگیریم و دنباله ای با همان منطق اعداد فیبوناچی بسازیم. یعنی عضو بعدی دنباله برابر با مجموع دو نفر قبلی است. به عنوان مثال دو عدد 6 و 51 را در نظر می گیریم. حالا دنباله ای می سازیم که با دو عدد 1860 و 3009 کامل می کنیم. توجه داشته باشید که هنگام تقسیم این اعداد عددی نزدیک به نسبت طلایی به دست می آوریم.

در همان زمان، اعدادی که هنگام تقسیم جفت های دیگر به دست آمد، از اول به آخر کاهش یافت، که به ما اجازه می دهد بگوییم که اگر این سری به طور نامحدود ادامه یابد، عددی برابر با نسبت طلایی به دست خواهیم آورد.

بنابراین، اعداد فیبوناچی به هیچ وجه برجسته نیستند. دنباله های دیگری از اعداد وجود دارند که تعداد نامتناهی از آنها وجود دارد که در نتیجه همان عملیات عدد طلایی ph را به دست می دهند.

فیبوناچی باطنی گرا نبود. او نمی خواست هیچ عرفانی را در اعداد و ارقام وارد کند، او به سادگی یک مشکل معمولی در مورد خرگوش ها را حل می کرد. و دنباله ای از اعدادی را نوشت که در ماه های اول، دوم و ماه های دیگر، بعد از تولید مثل چند خرگوش وجود دارد. در عرض یک سال، او همان سکانس را دریافت کرد. و من رابطه نداشتم هیچ صحبتی از نسبت طلایی یا نسبت الهی وجود نداشت. همه اینها پس از او در دوران رنسانس اختراع شد.

در مقایسه با ریاضیات، مزایای فیبوناچی بسیار زیاد است. او سیستم اعداد را از اعراب پذیرفت و اعتبار آن را ثابت کرد. مبارزه سخت و طولانی بود. از سیستم اعداد رومی: سنگین و نامناسب برای شمارش. پس از انقلاب فرانسه ناپدید شد. فیبوناچی ربطی به نسبت طلایی ندارد.

الگوریتم ها،

ریاضیات

• ترجمه

معرفی

برنامه نویسان باید تا الان از اعداد فیبوناچی خسته شده باشند. نمونه هایی از محاسبه آنها در سراسر استفاده می شود. این به این دلیل است که این اعداد ساده ترین مثال از بازگشت را ارائه می دهند. آنها همچنین نمونه خوبی از برنامه نویسی پویا هستند. اما آیا محاسبه آنها در یک پروژه واقعی ضروری است؟ نیازی نیست. نه برنامه نویسی بازگشتی و نه برنامه نویسی پویا گزینه های ایده آلی نیستند. و نه یک فرمول بسته با استفاده از اعداد ممیز شناور. حالا به شما خواهم گفت که چگونه این کار را به درستی انجام دهید. اما ابتدا، بیایید تمام گزینه های راه حل شناخته شده را بررسی کنیم.

این کد برای پایتون 3 در نظر گرفته شده است، اگرچه باید با پایتون 2 نیز کار کند.

برای شروع، اجازه دهید تعریف را به شما یادآوری کنم:

Fn = Fn-1 + Fn-2

و F 1 = F 2 = 1.

فرمول بسته

از جزئیات صرف نظر می کنیم، اما علاقه مندان می توانند با اشتقاق فرمول آشنا شوند. ایده این است که فرض کنیم مقداری x وجود دارد که برای آن F n = x n وجود دارد و سپس x را پیدا کنید.

چه مفهومی داره

x n-2 را کاهش دهید

حل معادله درجه دوم:

اینجاست که "نسبت طلایی" ϕ=(1+√5)/2 رشد می کند. با جایگزینی مقادیر اصلی و انجام برخی محاسبات بیشتر، به دست می آوریم:

چیزی که برای محاسبه Fn استفاده می کنیم.

از __future__ واردات تقسیم واردات ریاضی def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0.5)

خوب:
سریع و آسان برای n کوچک
بد:
عملیات نقطه شناور مورد نیاز است. n بزرگ به دقت بیشتری نیاز دارد.
شر:
استفاده از اعداد مختلط برای محاسبه F n از نظر ریاضی زیبا، اما از نظر کامپیوتر زشت است.

بازگشت

واضح ترین راه حل، که قبلاً بارها دیده اید - به احتمال زیاد به عنوان نمونه ای از آنچه بازگشت است. برای کامل شدن دوباره آن را تکرار می کنم. در پایتون می توان آن را در یک خط نوشت:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib (n - 2) اگر n > 2 other 1

خوب:
یک پیاده سازی بسیار ساده که از تعریف ریاضی پیروی می کند
بد:
زمان اجرای تصاعدی برای n بزرگ بسیار کند است
شر:
سرریز پشته

حفظ کردن

راه حل بازگشتی یک مشکل بزرگ دارد: همپوشانی محاسبات. هنگامی که fib(n) فراخوانی می شود، fib(n-1) و fib(n-2) شمارش می شوند. اما وقتی fib(n-1) شمارش می شود، مجدداً fib(n-2) را مستقل می شمارد - یعنی fib(n-2) دو بار شمارش می شود. اگر استدلال را ادامه دهیم، خواهیم دید که fib(n-3) سه بار شمارش می شود و غیره. تقاطع های خیلی زیاد

بنابراین، فقط باید نتایج را به خاطر بسپارید تا دوباره آنها را بشمارید. این راه حل زمان و حافظه را به صورت خطی مصرف می کند. من از یک فرهنگ لغت در راه حل خود استفاده می کنم، اما می توان از یک آرایه ساده نیز استفاده کرد.

M = (0: 0، 1: 1) def fib(n): اگر n در M: بازگشت M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) بازگشت M[n]

(در پایتون، این کار را می توان با استفاده از دکوراتور، functools.lru_cache نیز انجام داد.)

خوب:
فقط بازگشت را به یک راه حل حافظه تبدیل کنید. زمان اجرای نمایی را به اجرای خطی تبدیل می کند که حافظه بیشتری مصرف می کند.
بد:
حافظه زیادی را تلف می کند
شر:
سرریز پشته احتمالی، درست مانند بازگشت

برنامه نویسی پویا

پس از حل با حفظ، مشخص می شود که ما به همه نتایج قبلی نیاز نداریم، بلکه فقط به دو نتیجه آخر نیاز داریم. همچنین، به جای شروع از fib(n) و رفتن به عقب، می توانید از fib(0) شروع کنید و به جلو بروید. کد زیر دارای زمان اجرای خطی و مصرف حافظه ثابت است. در عمل، سرعت حل حتی بالاتر خواهد بود، زیرا هیچ فراخوانی تابع بازگشتی و کار مرتبط وجود ندارد. و کد ساده تر به نظر می رسد.

این راه حل اغلب به عنوان نمونه ای از برنامه نویسی پویا ذکر می شود.

تعریف fib(n): a = 0 b = 1 برای __ در محدوده(n): a، b = b، a + b a را برمی گرداند

خوب:
برای کدهای n کوچک و ساده سریع کار می کند
بد:
هنوز زمان اجرای خطی
شر:
چیز خاصی نیست.

جبر ماتریسی

و در نهایت، کمترین روشنایی، اما صحیح ترین راه حل، با استفاده عاقلانه از زمان و حافظه. همچنین می توان آن را به هر دنباله خطی همگن گسترش داد. ایده استفاده از ماتریس است. فقط دیدن آن کافی است

و یک تعمیم از این می گوید

دو مقداری که قبلاً برای x به دست آوردیم، که یکی از آنها نسبت طلایی بود، مقادیر ویژه ماتریس هستند. بنابراین، راه دیگر برای استخراج فرمول بسته، استفاده از معادله ماتریسی و جبر خطی است.

پس چرا این فرمول مفید است؟ زیرا توان در زمان لگاریتمی قابل انجام است. این کار از طریق مربع انجام می شود. نکته این است که

جایی که عبارت اول برای زوج A، دومی برای فرد استفاده می شود. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ضرب های ماتریس را سازماندهی کنیم و همه چیز آماده است. این منجر به کد زیر می شود. من یک پیاده سازی بازگشتی از pow ایجاد کردم زیرا درک آن آسان تر است. نسخه تکراری را اینجا ببینید.

Def pow(x, n, I, mult): """ x را به توان n برمی‌گرداند. فرض می‌کنیم I ماتریس هویتی است که با mult ضرب می‌شود و n یک عدد صحیح مثبت """ است اگر n == 0: بازگشت I elif n == 1: برگردان x other: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) اگر n % 2: y = mult(x, y) بازگشت y defident_matrix (n): """یک n به n ماتریس هویت را برمی گرداند""" r = list(range(n)) بازگشت [ برای j در r] def matrix_multiply(A, B): BT = list(zip(*B) ) بازگشت [ برای row_a در A] def fib(n): F = pow([, ], n,identity_matrix(2), matrix_multiply) بازگشت F

خوب:
اندازه حافظه ثابت، زمان لگاریتمی
بد:
کد پیچیده تر است
شر:
شما باید با ماتریس ها کار کنید، اگرچه آنها آنقدرها هم بد نیستند

مقایسه عملکرد

ارزش مقایسه فقط نوع برنامه نویسی پویا و ماتریس را دارد. اگر آنها را با تعداد کاراکترهای عدد n مقایسه کنیم، معلوم می شود که راه حل ماتریس خطی است و راه حل با برنامه ریزی پویا نمایی است. یک مثال عملی محاسبه fib(10*6) است، عددی که بیش از دویست هزار رقم خواهد داشت.

N=10**6
محاسبه fib_matrix: fib(n) فقط 208988 رقم دارد، محاسبه 0.24993 ثانیه طول کشید.
محاسبه fib_dynamic: fib(n) فقط 208988 رقم دارد، محاسبه 11.83377 ثانیه طول کشید.

نکات نظری

در حالی که مستقیماً به کد بالا مربوط نمی شود، این اظهار نظر همچنان مورد توجه است. نمودار زیر را در نظر بگیرید:

بیایید تعداد مسیرهای به طول n را از A تا B بشماریم. به عنوان مثال، برای n = 1 یک مسیر داریم، 1. برای n = 2 دوباره یک مسیر داریم، 01. برای n = 3 دو مسیر داریم، 001 و 101 می توان به سادگی نشان داد که تعداد مسیرهای به طول n از A تا B دقیقا برابر با F n است. پس از نوشتن ماتریس مجاورت برای نمودار، همان ماتریسی را که در بالا توضیح داده شد، دریافت می کنیم. این یک نتیجه شناخته شده از نظریه گراف است که با توجه به یک ماتریس مجاورت A، وقوع در A n تعداد مسیرهایی به طول n در نمودار است (یکی از مشکلات ذکر شده در فیلم Good Will Hunting).

چرا چنین علامت هایی روی دنده ها وجود دارد؟ معلوم می شود که وقتی یک دنباله نامتناهی از نمادها را در یک دنباله بی نهایت مسیرهای رفت و برگشت در یک نمودار در نظر می گیریم، چیزی به نام "subshifts نوع محدود" دریافت می کنید که نوعی سیستم دینامیک نمادین است. این جابجایی فرعی خاص از نوع محدود به «تغییر نسبت طلایی» معروف است و با مجموعه‌ای از «کلمات ممنوعه» مشخص می‌شود (11). به عبارت دیگر، دنباله های دوتایی خواهیم داشت که در هر دو جهت بی نهایت هستند و هیچ جفتی از آنها مجاور نخواهد بود. آنتروپی توپولوژیکی این سیستم دینامیکی برابر با نسبت طلایی φ است. جالب است که چگونه این عدد به صورت دوره ای در حوزه های مختلف ریاضیات ظاهر می شود.

هنوز بسیاری از اسرار حل نشده در جهان وجود دارد که دانشمندان قبلاً قادر به شناسایی و توصیف برخی از آنها بوده اند. اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی پایه و اساس بازگشایی دنیای اطراف ما، ساختن فرم آن و درک بصری بهینه توسط شخص است که با کمک آن می تواند زیبایی و هماهنگی را احساس کند.

نسبت طلایی

اصل تعیین ابعاد نسبت طلایی زیربنای کمال کل جهان و اجزای آن در ساختار و کارکردهای آن است که تجلی آن را در طبیعت، هنر و فناوری می توان دید. دکترین نسبت طلایی در نتیجه تحقیقات دانشمندان باستانی در مورد ماهیت اعداد پایه گذاری شد.

این نظریه بر اساس تئوری نسبت ها و نسبت های تقسیمات بخش ها است که توسط فیلسوف و ریاضیدان باستانی فیثاغورث ساخته شده است. او ثابت کرد که هنگام تقسیم یک بخش به دو قسمت: X (کوچکتر) و Y (بزرگتر)، نسبت بزرگتر به کوچکتر برابر با نسبت مجموع آنها (کل قطعه) خواهد بود:

نتیجه یک معادله است: x 2 - x - 1=0،که به صورت حل شده است x=(1±√5)/2.

اگر نسبت 1/x را در نظر بگیریم برابر است با 1,618…

شواهد استفاده از نسبت طلایی توسط متفکران باستان در کتاب اقلیدس به نام "عناصر" که در قرن سوم نوشته شده است، آمده است. قبل از میلاد، که این قانون را برای ساختن پنج ضلعی های منظم اعمال کرد. در میان فیثاغورثی ها این شکل مقدس به شمار می رود زیرا هم متقارن و هم نامتقارن است. پنتاگرام نماد زندگی و سلامتی بود.

اعداد فیبوناچی

کتاب معروف Liber abaci توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو اهل پیزا که بعدها به فیبوناچی معروف شد در سال 1202 منتشر شد. در آن دانشمند برای اولین بار به الگوی اعداد اشاره می کند که در یک سری از آنها هر عدد حاصل جمع اعداد است. 2 رقم قبلی دنباله اعداد فیبوناچی به صورت زیر است:

0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، و غیره.

این دانشمند همچنین تعدادی الگو را ذکر کرد:

• هر عددی از سری تقسیم بر عدد بعدی برابر با مقداری خواهد بود که به 0.618 تمایل دارد. علاوه بر این، اعداد فیبوناچی اول چنین عددی را ارائه نمی دهند، اما هرچه از ابتدای دنباله حرکت می کنیم، این نسبت دقیق تر و دقیق تر می شود.
• اگر عدد سری را بر عدد قبلی تقسیم کنید، نتیجه به 1.618 می رسد.
• یک عدد تقسیم بر عدد بعدی بر یک مقداری را نشان می دهد که به 0.382 گرایش دارد.

کاربرد اتصال و الگوهای نسبت طلایی، عدد فیبوناچی (0.618) را نه تنها در ریاضیات، بلکه در طبیعت، تاریخ، معماری و ساخت و ساز و در بسیاری از علوم دیگر می توان یافت.

مارپیچ ارشمیدس و مستطیل طلایی

مارپیچ ها، که در طبیعت بسیار رایج هستند، توسط ارشمیدس مورد مطالعه قرار گرفتند، که حتی معادله آن را استخراج کرد. شکل مارپیچ بر اساس قوانین نسبت طلایی است. هنگام باز کردن آن، طولی به دست می آید که نسبت ها و اعداد فیبوناچی را می توان به طور یکنواخت افزایش داد.

موازی بین اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی را می توان با ساختن یک "مستطیل طلایی" که اضلاع آن متناسب با 1.618:1 است، مشاهده کرد. با حرکت از مستطیل بزرگتر به مستطیل کوچکتر ساخته می شود به طوری که طول اضلاع برابر با اعداد سری باشد. همچنین می توان آن را به ترتیب معکوس ساخت که با مربع "1" شروع می شود. هنگامی که گوشه های این مستطیل با خطوطی در مرکز تقاطع خود به هم متصل می شوند، یک مارپیچ فیبوناچی یا لگاریتمی به دست می آید.

تاریخچه استفاده از نسبت های طلایی

بسیاری از بناهای معماری باستانی مصر با استفاده از تناسبات طلایی ساخته شده اند: اهرام معروف خئوپس و غیره. معماران یونان باستان به طور گسترده از آنها در ساخت اشیاء معماری مانند معابد، آمفی تئاترها و استادیوم ها استفاده می کردند. به عنوان مثال، از چنین تناسباتی در ساخت معبد باستانی پارتنون، (آتن) و سایر اشیایی که به شاهکارهای معماری باستانی تبدیل شدند، استفاده شد و هماهنگی مبتنی بر الگوهای ریاضی را نشان داد.

در قرون بعدی، علاقه به نسبت طلایی فروکش کرد و الگوها فراموش شدند، اما دوباره در رنسانس با کتاب راهب فرانسیسکن L. Pacioli di Borgo «نسبت الهی» (1509) از سر گرفت. این شامل تصاویری از لئوناردو داوینچی بود که نام جدید «نسبت طلایی» را ایجاد کرد. 12 خاصیت نسبت طلایی از نظر علمی نیز به اثبات رسیده است و نویسنده در مورد چگونگی تجلی آن در طبیعت، در هنر صحبت کرده و آن را "اصل ساختن جهان و طبیعت" نامیده است.

مرد ویترویی لئوناردو

این نقاشی که لئوناردو داوینچی برای تصویرسازی کتاب ویترویوس در سال 1492 از آن استفاده کرد، یک انسان را در 2 حالت با بازوهای باز به طرفین نشان می دهد. شکل به صورت دایره و مربع حک شده است. این نقاشی به عنوان نسبت های متعارف بدن انسان (مرد) در نظر گرفته می شود که توسط لئوناردو بر اساس مطالعه آنها در رساله های معمار رومی ویترویوس توصیف شده است.

مرکز بدن به عنوان یک نقطه مساوی از انتهای دست ها و پاها ناف است، طول دست ها برابر با قد فرد است، حداکثر عرض شانه ها = 1/8 قد، فاصله از بالای سینه تا مو = 1/7، از بالای سینه تا بالای سر = 1/6 و غیره.

از آن زمان، این نقاشی به عنوان نمادی برای نشان دادن تقارن درونی بدن انسان استفاده شده است.

لئوناردو از اصطلاح "نسبت طلایی" برای تعیین روابط متناسب در چهره انسان استفاده کرد. به عنوان مثال، فاصله کمر تا پا به همان اندازه که قد تا طول اول (از کمر به پایین) از ناف تا بالای سر است، مرتبط است. این محاسبه به طور مشابه با نسبت بخش ها هنگام محاسبه نسبت طلایی انجام می شود و به 1.618 تمایل دارد.

همه این تناسبات هماهنگ اغلب توسط هنرمندان برای خلق آثار زیبا و چشمگیر استفاده می شود.

تحقیق در مورد نسبت طلایی در قرن 16 تا 19

با استفاده از نسبت طلایی و اعداد فیبوناچی، تحقیقات در مورد مسئله نسبت ها برای قرن ها ادامه داشته است. به موازات لئوناردو داوینچی، هنرمند آلمانی آلبرشت دورر نیز بر روی توسعه نظریه تناسب صحیح بدن انسان کار کرد. برای این منظور حتی یک قطب نما مخصوص ساخت.

در قرن شانزدهم مسئله ارتباط بین عدد فیبوناچی و نسبت طلایی به کار ستاره شناس I. Kepler اختصاص داشت که اولین بار این قوانین را در گیاه شناسی به کار برد.

یک "کشف" جدید در انتظار نسبت طلایی در قرن 19 بود. با انتشار "تحقیق زیبایی شناختی" دانشمند آلمانی پروفسور زایسیگ. او این نسبت ها را تا حد مطلق بالا برد و اعلام کرد که برای همه پدیده های طبیعی جهانی است. او مطالعاتی را روی تعداد زیادی از افراد یا به عبارت بهتر نسبت های بدنی آنها (حدود 2 هزار نفر) انجام داد که بر اساس نتایج آن نتایجی در مورد الگوهای تایید شده آماری در نسبت قسمت های مختلف بدن به دست آمد: طول شانه ها، ساعد، دست، انگشتان و غیره

اشیاء هنری (گلدان‌ها، سازه‌های معماری)، لحن‌های موسیقی و اندازه‌ها هنگام نوشتن اشعار نیز مورد مطالعه قرار گرفتند - زایسیگ همه اینها را از طریق طول بخش‌ها و اعداد نشان داد و همچنین اصطلاح "زیبایی‌شناسی ریاضی" را معرفی کرد. پس از دریافت نتایج مشخص شد که سری فیبوناچی به دست آمده است.

عدد فیبوناچی و نسبت طلایی در طبیعت

در دنیای گیاهی و جانوری تمایل به مورفولوژی به صورت تقارن وجود دارد که در جهت رشد و حرکت مشاهده می شود. تقسیم به قسمت های متقارن که در آن نسبت های طلایی مشاهده می شود - این الگو در بسیاری از گیاهان و حیوانات ذاتی است.

طبیعت اطراف ما را می توان با استفاده از اعداد فیبوناچی توصیف کرد، به عنوان مثال:

• محل برگ ها یا شاخه های هر گیاه و همچنین فواصل با یک سری اعداد داده شده 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13 و غیره مرتبط است.
• دانه های آفتابگردان (فلس روی مخروط ها، سلول های آناناس)، که در دو ردیف در امتداد مارپیچ های پیچ خورده در جهات مختلف قرار گرفته اند.
• نسبت طول دم و کل بدن مارمولک؛
• شکل یک تخم مرغ، اگر یک خط را به طور مشروط از طریق قسمت گسترده آن بکشید.
• نسبت اندازه انگشتان روی دست فرد

و البته جالب‌ترین شکل‌ها شامل پوسته‌های حلزون مارپیچی، الگوهای روی تار عنکبوت، حرکت باد در داخل طوفان، مارپیچ دوگانه در DNA و ساختار کهکشان‌ها می‌شود - که همگی شامل دنباله فیبوناچی هستند.

استفاده از نسبت طلایی در هنر

محققانی که در جستجوی نمونه هایی از استفاده از نسبت طلایی در هنر هستند، اشیاء و آثار هنری مختلف معماری را با جزئیات مطالعه می کنند. آثار مجسمه سازی معروفی وجود دارد که سازندگان آنها به نسبت های طلایی پایبند بودند - مجسمه های زئوس المپیک، آپولو بلودر و

یکی از ساخته‌های لئوناردو داوینچی، «پرتره مونالیزا» سال‌ها موضوع تحقیقات دانشمندان بوده است. آنها دریافتند که ترکیب اثر کاملاً از "مثلثهای طلایی" تشکیل شده است که با هم متحد شده و به یک ستاره پنج ضلعی منظم تبدیل شده اند. همه آثار داوینچی گواه این است که دانش او در ساختار و تناسبات بدن انسان چقدر عمیق بود و به لطف آنها توانست لبخند اسرارآمیز مونالیزا را به تصویر بکشد.

نسبت طلایی در معماری

به عنوان مثال، دانشمندان شاهکارهای معماری ایجاد شده بر اساس قوانین "نسبت طلایی" را بررسی کردند: اهرام مصر، پانتئون، پارتنون، کلیسای جامع نوتردام پاریس، کلیسای جامع سنت باسیل و غیره.

پارتنون - یکی از زیباترین بناهای یونان باستان (قرن پنجم قبل از میلاد) - دارای 8 ستون و 17 ستون در اضلاع مختلف است که نسبت ارتفاع آن به طول اضلاع 0.618 است. برجستگی های روی نماهای آن با توجه به "نسبت طلایی" ساخته شده است (عکس زیر).

یکی از دانشمندانی که پیشرفتی در سیستم مدولار تناسبات برای اشیاء معماری (به اصطلاح "مدولور") ایجاد کرد و با موفقیت اعمال کرد، معمار فرانسوی لوکوربوزیه بود. تعدیل کننده بر اساس یک سیستم اندازه گیری مرتبط با تقسیم مشروط به بخش هایی از بدن انسان است.

معمار روسی M. Kazakov، که چندین ساختمان مسکونی در مسکو، و همچنین ساختمان سنا در کرملین و بیمارستان Golitsyn (در حال حاضر اولین کلینیک به نام N. I. Pirogov) ساخته است، یکی از معمارانی بود که از قوانین در طراحی و طراحی استفاده کرد. ساخت و ساز در مورد نسبت طلایی

اعمال تناسب در طراحی

در طراحی لباس، همه طراحان مد با در نظر گرفتن تناسبات بدن انسان و قوانین نسبت طلایی، تصاویر و مدل‌های جدیدی خلق می‌کنند، اگرچه طبیعتاً همه افراد تناسب ایده‌آل ندارند.

هنگام برنامه ریزی طراحی منظر و ایجاد ترکیبات پارک سه بعدی با کمک گیاهان (درختان و درختچه ها)، فواره ها و اشیاء کوچک معماری، می توان قوانین "نسبت های الهی" را نیز اعمال کرد. از این گذشته ، ترکیب پارک باید بر ایجاد تأثیری بر بازدید کننده متمرکز شود ، که می تواند آزادانه در آن حرکت کند و مرکز ترکیب را پیدا کند.

همه عناصر پارک به اندازه ای هستند که با کمک ساختار هندسی، موقعیت نسبی، روشنایی و نور، جلوه ای از هماهنگی و کمال ایجاد می کنند.

کاربرد نسبت طلایی در سایبرنتیک و فناوری

قوانین بخش طلایی و اعداد فیبوناچی همچنین در انتقال انرژی، در فرآیندهایی که با ذرات بنیادی تشکیل دهنده ترکیبات شیمیایی، در سیستم‌های فضایی و در ساختار ژنتیکی DNA رخ می‌دهند، ظاهر می‌شوند.

فرآیندهای مشابهی در بدن انسان رخ می دهد و خود را در بیوریتم های زندگی او، در عملکرد اندام ها، به عنوان مثال، مغز یا بینایی نشان می دهد.

الگوریتم ها و الگوهای نسبت های طلایی به طور گسترده در سایبرنتیک مدرن و علوم کامپیوتر استفاده می شود. یکی از کارهای ساده ای که به برنامه نویسان تازه کار محول می شود، نوشتن فرمول و تعیین مجموع اعداد فیبوناچی تا یک عدد معین با استفاده از زبان های برنامه نویسی است.

تحقیق مدرن در مورد نظریه نسبت طلایی

از اواسط قرن بیستم، علاقه به مشکلات و تأثیر قوانین نسبت های طلایی بر زندگی انسان به شدت افزایش یافته است و بسیاری از دانشمندان حرفه های مختلف: ریاضیدانان، محققان قومی، زیست شناسان، فیلسوفان، کارکنان پزشکی، اقتصاددانان، موسیقیدانان، و غیره.

در ایالات متحده، مجله The Fibonacci Quarterly در دهه 1970 شروع به انتشار کرد، جایی که آثاری در این زمینه منتشر شد. آثاری در مطبوعات ظاهر می شوند که در آنها از قوانین تعمیم یافته نسبت طلایی و سری فیبوناچی در زمینه های مختلف دانش استفاده می شود. به عنوان مثال، برای کدگذاری اطلاعات، تحقیقات شیمیایی، تحقیقات بیولوژیکی و غیره.

همه اینها نتیجه گیری دانشمندان قدیم و جدید را تأیید می کند که تناسب طلایی به طور چند جانبه با مسائل اساسی علم مرتبط است و در تقارن بسیاری از آفرینش ها و پدیده های جهان اطراف ما متجلی می شود.

سلام، خوانندگان عزیز!

نسبت طلایی - چیست؟ اعداد فیبوناچی هستند? این مقاله حاوی پاسخ های مختصر و واضح و به زبان ساده به این سؤالات است.

این سوالات چندین هزار سال است که ذهن نسل های بیشتری را به هیجان آورده است! معلوم می شود که ریاضیات ممکن است خسته کننده نباشد، اما هیجان انگیز، جالب و جذاب باشد!

سایر مقالات مفید:

اعداد فیبوناچی چیست؟

واقعیت شگفت انگیز این است که هنگام تقسیم هر عدد بعدی در یک دنباله عددی بر عدد قبلینتیجه عددی است که به 1.618 تمایل دارد.

یک مرد خوش شانس این سکانس مرموز را کشف کرد ریاضیدان قرون وسطایی لئوناردو پیزا (که بیشتر با نام فیبوناچی شناخته می شود). قبل از او لئوناردو داوینچینسبت تکراری شگفت انگیزی در ساختار بدن انسان، گیاهان و حیوانات کشف کرد فی = 1.618. دانشمندان همچنین این عدد (1.61) را "عدد خدا" می نامند.

قبل از لئوناردو داوینچی، این دنباله از اعداد در شناخته شده بود هند باستان و مصر باستان. اهرام مصر با استفاده از تناسبات ساخته شده اند فی = 1.618.

اما این همه چیز نیست، معلوم است قوانین طبیعت زمین و فضاآنها به روشی غیرقابل توضیح از قوانین سختگیرانه ریاضی تبعیت می کنند توالی اعداد فیدوناکی.

به عنوان مثال، هم یک پوسته روی زمین و هم یک کهکشان در فضا با استفاده از اعداد فیبوناچی ساخته شده اند. اکثریت قریب به اتفاق گل ها دارای 5، 8، 13 گلبرگ هستند. در یک گل آفتابگردان، روی ساقه گیاهان، در گرداب های چرخان ابرها، در گرداب ها و حتی در نمودارهای نرخ ارز فارکس، اعداد فیبوناچی در همه جا کار می کنند.

یک توضیح ساده و سرگرم کننده از دنباله اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی را در این ویدیوی کوتاه (6 دقیقه) تماشا کنید:

نسبت طلایی یا نسبت الهی چیست؟

بنابراین، نسبت طلایی یا نسبت طلایی یا الهی چیست؟ فیبوناچی همچنین کشف کرد که دنباله ای که از مربع های اعداد فیبوناچی تشکیل شده استیک معمای بزرگتر است بیایید تلاش کنیم به صورت گرافیکی دنباله را در قالب یک ناحیه نشان دهید:

1²، 2²، 3²، 5²، 8²…

اگر یک مارپیچ را در یک نمایش گرافیکی از دنباله مربع های اعداد فیبوناچی وارد کنیم، نسبت طلایی را بدست می آوریم که طبق قوانین آن همه چیز در جهان از جمله گیاهان، حیوانات، مارپیچ DNA، بدن انسان ساخته شده است. ، ... این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد.

نسبت طلایی و اعداد فیبوناچی در طبیعت VIDEO

پیشنهاد می کنم یک فیلم کوتاه (7 دقیقه ای) ببینید که برخی از رازهای نسبت طلایی را برملا می کند. وقتی به قانون اعداد فیبوناچی فکر می‌کنیم، به عنوان قانون اولیه حاکم بر طبیعت زنده و بی‌جان، این سوال مطرح می‌شود: آیا این فرمول ایده‌آل برای جهان کلان و عالم صغیر به خودی خود پدید آمده است یا کسی آن را ایجاد کرده و با موفقیت به کار می‌برد؟

تو در مورد آن چه فکر می کنی؟ بیایید با هم به این معما فکر کنیم و شاید به آن نزدیک شویم.

من واقعا امیدوارم که مقاله برای شما مفید بوده باشد و یاد گرفته باشید نسبت طلایی * و اعداد فیبوناچی چیست؟? دوباره شما را در صفحات وبلاگ می بینیم، در وبلاگ مشترک شوید. فرم اشتراک در زیر مقاله موجود است.

برای همه ایده های جدید و الهام بخش برای اجرای آنها آرزو می کنم!

دنباله فیبوناچی، که برای همه از فیلم "رمز داوینچی" شناخته شده است - مجموعه ای از اعداد که در قرن سیزدهم توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو پیزا که بیشتر با نام مستعار فیبوناچی شناخته می شود در قالب یک معما توصیف شده است. خلاصه اصل معما:

شخصی یک جفت خرگوش را در یک فضای بسته قرار داد تا بفهمد در طول سال چند جفت خرگوش به دنیا می‌آیند، اگر ماهیت خرگوش‌ها به گونه‌ای باشد که هر ماه یک جفت خرگوش یک جفت دیگر به دنیا بیاورد و آنها توانایی پیدا کنند. تولید فرزندان زمانی که به سن دو ماهگی می رسند.

نتیجه یک سری اعداد مانند زیر است: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ، که در آن تعداد جفت خرگوش ها در هر دوازده ماه نشان داده شده است که با کاما از هم جدا شده اند. می توان به طور نامحدود ادامه داد. ماهیت آن این است که هر عدد بعدی مجموع دو عدد قبلی است.

این مجموعه دارای چندین ویژگی ریاضی است که قطعا باید به آنها دست زد. به طور مجانبی (که بیشتر و آهسته تر به آن نزدیک می شود) به یک نسبت ثابت تمایل دارد. با این حال، این نسبت غیر منطقی است، یعنی عددی است با یک دنباله بی نهایت و غیرقابل پیش بینی از ارقام اعشاری در قسمت کسری. بیان دقیق آن غیرممکن است.

بنابراین، نسبت هر یک از اعضای یک سری به یکی از اعضای قبل از آن در اطراف عدد در نوسان است 1,618 ، گاهی اوقات فراتر از آن، گاهی اوقات عدم دستیابی به آن. نسبت به زیر به طور مشابه به عدد نزدیک می شود 0,618 ، که نسبت معکوس دارد 1,618 . اگر عناصر را بر یک تقسیم کنیم اعداد به دست می آید 2,618 و 0,382 ، که با هم نسبت عکس دارند. اینها به اصطلاح نسبت های فیبوناچی هستند.

این همه برای چیست؟ اینگونه است که به یکی از مرموزترین پدیده های طبیعی نزدیک می شویم. لئوناردو باهوش اساساً چیز جدیدی کشف نکرد ، او به سادگی چنین پدیده ای را به جهان یادآوری کرد نسبت طلایی، که از نظر اهمیت کمتر از قضیه فیثاغورث نیست.

ما همه اشیای اطراف خود را با شکل آنها تشخیص می دهیم. ما بعضی ها را بیشتر دوست داریم، بعضی ها را کمتر، بعضی ها را کاملاً بی ارزش می کنیم. گاهی اوقات علاقه می تواند توسط موقعیت زندگی دیکته شود، و گاهی اوقات با زیبایی شی مشاهده شده. شکل متقارن و متناسب بهترین ادراک بصری را ارتقا می دهد و احساس زیبایی و هماهنگی را القا می کند. یک تصویر کامل همیشه از قسمت هایی با اندازه های مختلف تشکیل شده است که در رابطه معینی با یکدیگر و کل هستند. نسبت طلایی- عالی ترین تجلی کمال کل و اجزاء آن در علم و هنر و طبیعت.

برای استفاده از یک مثال ساده، نسبت طلایی تقسیم یک بخش به دو قسمت است به طوری که قسمت بزرگتر به قسمت کوچکتر مربوط می شود، زیرا مجموع آنها (کل بخش) به قسمت بزرگتر است.

اگر کل بخش را بگیریم ج پشت 1 ، سپس بخش آ برابر خواهد بود 0,618 ، بخش خط ب - 0,382 ، تنها در این صورت شرط نسبت طلایی محقق می شود (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . نگرش ج به آ برابر است 1,618 ، آ با به ب 2,618 . اینها همه همان نسبت های فیبوناچی هستند که قبلاً برای ما آشنا هستند.

البته یک مستطیل طلایی، یک مثلث طلایی و حتی یک مکعب طلایی وجود دارد. نسبت بدن انسان از بسیاری جهات به بخش طلایی نزدیک است.

تصویر: marcus-frings.de

اما لذت زمانی شروع می شود که دانشی را که به دست آورده ایم ترکیب کنیم. شکل به وضوح رابطه بین دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی را نشان می دهد. با دو مربع از اندازه اول شروع می کنیم. یک مربع اندازه دوم در بالا اضافه کنید. در کنار آن مربعی با ضلع برابر با مجموع اضلاع دو، اندازه سوم بکشید. بر اساس قیاس، یک مربع به اندازه پنج ظاهر می شود. و به همین ترتیب تا زمانی که خسته شوید، نکته اصلی این است که طول ضلع هر مربع بعدی برابر با مجموع طول اضلاع دو مربع قبلی باشد. ما مجموعه‌ای از مستطیل‌ها را می‌بینیم که طول ضلع‌های آنها اعداد فیبوناچی است و به طرز عجیبی به آنها مستطیل فیبوناچی می‌گویند.

اگر خطوط صاف را در گوشه های مربع خود بکشیم، چیزی جز یک مارپیچ ارشمیدس که افزایش آن همیشه یکنواخت است، به دست نمی آوریم.

شما را به یاد چیزی نمی اندازد؟

عکس: اتان هاییندر فلیکر

و نه تنها در پوسته یک نرم تن می‌توانید مارپیچ‌های ارشمیدس را پیدا کنید، بلکه در بسیاری از گل‌ها و گیاهان نیز چندان آشکار نیستند.

آلوئه چند برگ:

عکس: کتاب های آبجودر فلیکر

عکس: beart.org.uk
عکس: esdrascalderanدر فلیکر
عکس: manj98در فلیکر

و اکنون زمان آن است که بخش طلایی را به خاطر بسپارید! آیا برخی از زیباترین و هماهنگ ترین خلاقیت های طبیعت در این عکس ها به تصویر کشیده شده اند؟ و این تمام نیست. اگر دقت کنید، می توانید الگوهای مشابه را در اشکال مختلف پیدا کنید.

البته، این جمله که همه این پدیده ها بر اساس دنباله فیبوناچی هستند، خیلی بلند به نظر می رسد، اما روند واضح است. و علاوه بر این، او خودش از کامل بودن دور است، مانند همه چیز در این دنیا.

این فرض وجود دارد که سری فیبوناچی تلاشی از سوی طبیعت برای انطباق با یک دنباله لگاریتمی نسبت طلایی بنیادی تر و کامل تر است، که تقریباً یکسان است، فقط از هیچ شروع می شود و به ناکجا می رود. طبیعت قطعاً به نوعی آغاز کامل نیاز دارد که بتواند از آن شروع کند. نسبت های اولین جمله های دنباله فیبوناچی از نسبت طلایی فاصله زیادی دارد. اما هر چه بیشتر در امتداد آن حرکت کنیم، این انحرافات بیشتر هموار می شوند. برای تعریف هر سریال کافی است سه اصطلاح آن را که یکی پس از دیگری می آیند بدانیم. اما نه برای دنباله طلایی، دو تا برای آن کافی است، این یک پیشرفت هندسی و حسابی است. ممکن است کسی فکر کند که پایه و اساس تمام سکانس های دیگر است.

هر جمله از دنباله لگاریتمی طلایی توانی از نسبت طلایی است ( z). بخشی از سریال چیزی شبیه به این است: ... z -5 ; z -4 ; z -3 ; z -2 ; z -1 ; z 0 ; z 1 ; z 2 ; z 3 ; z 4 ; z 5 ...اگر مقدار نسبت طلایی را به سه رقم اعشار گرد کنیم، به دست می آید z=1.618، سپس سریال به شکل زیر است: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... هر جمله بعدی را می توان نه تنها با ضرب قبلی در 1,618 ، بلکه با اضافه کردن دو مورد قبلی. بنابراین، رشد نمایی به سادگی با افزودن دو عنصر مجاور به دست می آید. این یک سری بدون آغاز یا پایان است، و دنباله فیبوناچی سعی می کند شبیه آن باشد. او با داشتن یک شروع بسیار مشخص، برای ایده آل تلاش می کند و هرگز به آن نمی رسد. زندگی همینه.

و با این حال، در رابطه با همه چیزهایی که دیده و خوانده ایم، سؤالات کاملاً منطقی پیش می آید:
این اعداد از کجا آمده اند؟ این معمار جهان کیست که سعی کرده آن را ایده آل کند؟ آیا همیشه همه چیز آنطور که او می خواست بود؟ و اگر چنین است، چرا اشتباه شده است؟ جهش؟ انتخاب آزاد؟ بعدی چه خواهد بود؟ آیا مارپیچ پیچ می خورد یا باز می شود؟

با یافتن پاسخ یک سوال، سوال بعدی را دریافت خواهید کرد. اگر آن را حل کنید، دو مورد جدید دریافت خواهید کرد. پس از برخورد با آنها، سه مورد دیگر ظاهر می شوند. با حل آنها نیز، پنج مورد حل نشده خواهید داشت. سپس هشت، سپس سیزده، 21، 34، 55...

منابع: ; ; ;