Mediana del trapezoide. Material sobre geometría sobre el tema "trapezoide y sus propiedades".

20.11.2023 | Educación Secundaria

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

El propósito de la lección:

educativo– presentar el concepto de trapezoide, familiarizarse con los tipos de trapecio, estudiar las propiedades de un trapezoide, enseñar a los estudiantes a aplicar los conocimientos adquiridos en el proceso de resolución de problemas;
desarrollando– desarrollo de las cualidades comunicativas de los estudiantes, desarrollo de la capacidad de realizar experimentos, generalizar, sacar conclusiones, desarrollo del interés por el tema.
educativo– cultivar la atención, crear una situación de éxito, alegría al superar las dificultades de forma independiente, desarrollar en los estudiantes la necesidad de autoexpresión a través de diversos tipos de trabajo.

Formas de trabajo: frontal, baño de vapor, grupo.

Forma de organización de las actividades infantiles: la capacidad de escuchar, entablar una discusión, expresar un pensamiento, una pregunta, una adición.

Equipo: computadora, proyector multimedia, pantalla. En los escritorios de los estudiantes: corte material para hacer un trapezoide en el escritorio de cada estudiante; Tarjetas con tareas (impresiones de dibujos y tareas de las notas de la lección).

DURANTE LAS CLASES

I. Momento organizacional

Saludo, comprobando la preparación del lugar de trabajo para la lección.

II. Actualizando conocimientos

desarrollo de habilidades para clasificar objetos;
identificación de características principales y secundarias durante la clasificación.

Considere el dibujo número 1.

Luego viene una discusión sobre el dibujo.
– ¿De qué está hecha esta figura geométrica? Los chicos encuentran la respuesta en las imágenes: [de un rectángulo y triángulos].
– ¿Cómo deben ser los triángulos que forman un trapezoide?
Todas las opiniones son escuchadas y discutidas, se selecciona una opción: [los triángulos deben ser rectangulares].
– ¿Cómo se forman los triángulos y un rectángulo? [Para que los lados opuestos del rectángulo coincidan con el cateto de cada uno de los triángulos].
– ¿Qué sabes sobre los lados opuestos de un rectángulo? [Son paralelos].
- ¿Entonces este cuadrilátero tendrá lados paralelos? [Sí].
- ¿Cuántos hay? [Dos].
Después de la discusión, el maestro demuestra la "reina de la lección": el trapezoide.

III. Explicación del nuevo material.

1. Definición de trapezoide, elementos del trapezoide.

enseñar a los estudiantes a definir un trapezoide;
nombrar sus elementos;
Desarrollo de la memoria asociativa.

– Ahora intenta dar una definición completa de trapezoide. Cada estudiante piensa en una respuesta a la pregunta. Intercambian opiniones por parejas y preparan una única respuesta a la pregunta. Se da una respuesta oral a un estudiante de 2-3 parejas.
[Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos lados no son paralelos].

– ¿Cómo se llaman los lados de un trapezoide? [Los lados paralelos se llaman bases del trapezoide y los otros dos se llaman lados laterales].

El profesor sugiere doblar las formas cortadas en trapecios. Los estudiantes trabajan en parejas y suman figuras. Es bueno si las parejas de estudiantes son de diferentes niveles, entonces uno de los estudiantes es un consultor y ayuda a un amigo en caso de dificultad.

– Construyan un trapezoide en sus cuadernos, escriban los nombres de los lados del trapezoide. Hazle preguntas a tu vecino sobre el dibujo, escucha sus respuestas y cuéntale tus opciones de respuesta.

Referencia histórica

"Trapezoide"- una palabra griega que en la antigüedad significaba "mesa" (en griego "trapedzion" significa mesa, mesa de comedor. La figura geométrica recibió su nombre debido a su parecido externo con una mesa pequeña.
En los Elementos (griego Στοιχεῖα, latín Elementa): la obra principal de Euclides, escrita alrededor del 300 a.C. mi. y dedicado a la construcción sistemática de la geometría), el término "trapezoide" no se usa en el sentido moderno, sino en un sentido diferente: cualquier cuadrilátero (no un paralelogramo). El "trapecio" en nuestro sentido se encuentra por primera vez en el antiguo matemático griego Posidonio (siglo I). En la Edad Media, según Euclides, cualquier cuadrilátero (no paralelogramo) se llamaba trapezoide; sólo en el siglo XVIII. esta palabra adquiere un significado moderno.

Construir un trapezoide a partir de sus elementos dados. Los chicos completan las tareas de la tarjeta número 1.

Los estudiantes tienen que construir trapecios en una variedad de arreglos y formas. En el paso 1 necesitas construir un trapezoide rectangular. En el punto 2 es posible construir un trapezoide isósceles. En el punto 3, el trapezoide estará “acostado de lado”. En el párrafo 4, el dibujo consiste en construir un trapezoide en el que una de las bases resulta ser inusualmente pequeña.
Los estudiantes “sorprenden” al profesor con diferentes figuras que tienen un nombre común: trapezoide. El profesor demuestra posibles opciones para construir trapecios.

Problema 1. ¿Serán dos trapecios iguales si una de las bases y dos lados son respectivamente iguales?
Discutir la solución al problema en grupos y demostrar la exactitud del razonamiento.
Un alumno del grupo hace un dibujo en la pizarra y explica el razonamiento.

2. Tipos de trapezoide

desarrollo de la memoria motora, habilidades para dividir un trapezoide en figuras conocidas necesarias para resolver problemas;
desarrollo de habilidades para generalizar, comparar, definir por analogía y plantear hipótesis.

Veamos la imagen:

– ¿En qué se diferencian los trapecios que se muestran en la imagen?
Los chicos notaron que el tipo de trapezoide depende del tipo de triángulo ubicado a la izquierda.
- Completa la oración:

Un trapezoide se llama rectangular si...
Un trapezoide se llama isósceles si...

3. Propiedades de un trapezoide. Propiedades de un trapecio isósceles.

proponer, por analogía con un triángulo isósceles, una hipótesis sobre la propiedad de un trapezoide isósceles;
desarrollo de habilidades analíticas (comparar, plantear hipótesis, probar, construir).

El segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la mitad de la diferencia de las bases.
Un trapecio isósceles tiene ángulos iguales en cualquier base.
Un trapecio isósceles tiene diagonales iguales.
En un trapezoide isósceles, la altura descendida desde el vértice hasta la base mayor lo divide en dos segmentos, uno de los cuales es igual a la mitad de la suma de las bases y el otro a la mitad de la diferencia de las bases.

Tarea 2. Demuestre que en un trapezoide isósceles: a) los ángulos en cada base son iguales; b) las diagonales son iguales. Para demostrar estas propiedades de un trapezoide isósceles, recordemos los signos de igualdad de los triángulos. Los estudiantes completan la tarea en grupos, discuten y escriben la solución en sus cuadernos.
Un estudiante del grupo realiza una prueba en la pizarra.

4. Ejercicio de atención

5. Ejemplos de uso de formas trapezoidales en la vida cotidiana:

en interiores (sofás, paredes, falsos techos);
en diseño de paisajes (bordes de césped, estanques artificiales, piedras);
en la industria de la moda (ropa, calzado, complementos);
en el diseño de objetos cotidianos (lámparas, platos, utilizando formas trapezoidales);
en arquitectura.

Trabajo practico(según opciones).

– En un sistema de coordenadas, construya trapecios isósceles basándose en los tres vértices dados.

Opción 1: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…;…) y (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…;…).
Opción 2: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…;…) y (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …;

– Determinar las coordenadas del cuarto vértice.
La solución es revisada y comentada por toda la clase. Los estudiantes indican las coordenadas del cuarto punto encontrado y verbalmente intentan explicar por qué las condiciones dadas determinan solo un punto.

Una tarea interesante. Dobla un trapezoide a partir de: a) cuatro triángulos rectángulos; b) de tres triángulos rectángulos; c) de dos triángulos rectángulos.

IV. Tarea

fomentar una correcta autoestima;
creando una situación de “éxito” para cada estudiante.

p.44, conocer la definición, elementos de un trapezoide, sus tipos, conocer las propiedades de un trapecio, poder demostrarlas, No. 388, No. 390.

v. Resumen de la lección. Al final de la lección se entrega a los niños. cuestionario, que le permite realizar un autoanálisis, dar una valoración cualitativa y cuantitativa de la lección .

Definición

trapezoide es un cuadrilátero $A B C D$, dos lados del cual son paralelos y los otros dos no son paralelos (Fig. 1).

Los lados paralelos de un trapezoide ($B C$ y $A D$) se llaman bases trapezoidales, no paralelo ($A B$ y $C D$) - lados. Una perpendicular ($B H$) trazada desde cualquier punto de una base a otra base o su extensión se llama altura del trapezoide.

propiedad trapezoidal

La suma de los ángulos adyacentes al lado lateral es $180^(\circ)$:

$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle C+\angle D=180^(\circ)$ (Figura 1)

El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales del trapezoide se llama línea media del trapezoide. La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma:

$$M N=\frac(A D+B C)(2)$$

Entre todos los trapecios, puedes elegir dos clases especiales de trapecios: trapecios rectangulares e isósceles.

Definición

Rectangular Se llama trapezoide cuando uno de los ángulos es recto.

isolateral llamado trapezoide cuyos lados son iguales.

Propiedades de un trapezoide isósceles

En un trapecio isósceles, los ángulos en la base son iguales en pares a $\angle A=\angle D, \angle B=\angle C$.
Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales a $A C=B D$.

Signos de un trapezoide isósceles

Si los ángulos en la base de un trapezoide son iguales, entonces el trapezoide es isósceles.
Si las diagonales de un trapezoide son iguales, entonces es isósceles.

Área trapezoidal:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

donde $a$ y $b$ son las bases del trapecio y $h$ es su altura.

Ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo

Ejercicio. La altura de un trapezoide isósceles trazada desde un ángulo obtuso divide la base en segmentos de 5 cm y 11 cm de largo. Calcula el perímetro del trapezoide si su altura es de 12 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig.3)

$ABCD$ - trapecio isósceles, $BH$ - altura, $BH = 12$ cm, $AH = 5$ cm, $HD = 11$ cm.

Considere $\Delta A B H$, es rectangular ($\angle H=90^(\circ)$). Según el teorema de Pitágoras

$$A B=\sqrt(B H^(2)+A H^(2))$$

sustituyendo los datos originales obtenemos

$A B=\sqrt(12^(2)+5^(2))$

$A B=\sqrt(144+25)=\sqrt(169) \Rightarrow A B=13$ (cm)

Como el trapecio $A B C D$ es isósceles, sus lados son iguales: $A B=C D=13$ cm La base mayor del trapezoide es igual a: $A D=A H+H D$, $A D=5+11=16. $ (cm). La base más pequeña del trapezoide será igual a: $B C=A D-2 A H, B C=16-2 \cdot 5=6$ (cm). El perímetro de un trapezoide es:

$P_(A B C D)=A B+B C+C D+A D$

$P_(A B C D)=13+6+13+16$

$P_(A B C D) = 48 $ (cm)

Respuesta.$P_(A B C D) = 48 $ cm

Ejemplo

Ejercicio. En un trapezoide rectangular, los dos lados más pequeños miden 2 dm y uno de los ángulos mide $45^(\circ)$. Encuentra el área del trapezoide.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig.4)

$K L M N$ - trapezoide rectangular, $K L=L M=2$ dm, $L K \perp K N$, $\angle M L K=45^(\circ)$. Desde el vértice $M$ bajamos la altura $MP$ hasta la base $KN$. Considere $\Delta M N P$, es rectangular ($\angle M P N=90^(\circ)$). Dado que $\angle M L K=45^(\circ)$, entonces

$\angle N M P=180^(\circ)-\angle M P N-\angle M L K$

$\angulo N M P=180^(\circ)-90^(\circ)-45^(\circ)=45^(\circ)$

Por lo tanto, $\angle M L K=\angle N M P$ y $\Delta M N P$ también son isósceles. Por lo tanto, $M P=P N$. Dado que $L K=M P=2$ dm, por lo tanto $P N=2$ dm. La base más grande $K N=K P+P N$, ya que $L M=K P$, obtenemos $K N=2+2=4$ (dm).

Calculamos el área del trapecio mediante la fórmula:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

En nuestro caso, tomará la forma:

$$S_(K L M N)=\frac(L M+K N)(2) \cdot M P$$

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos

$S_(K L M N)=\frac(2+4)(2) \cdot 2=6$ (dm 2)

Respuesta.$S_(K L M N)=6$ dm 2

Por eso llamaremos a uno de ellos. grande , segundo - base pequeña trapecios. Altura Se puede llamar trapezoide a cualquier segmento perpendicular trazado desde los vértices hasta el lado correspondientemente opuesto (para cada vértice hay dos lados opuestos), encerrado entre el vértice tomado y el lado opuesto. Pero podemos distinguir un “tipo especial” de alturas.
Definición 8. La altura de la base de un trapezoide es un segmento de línea recta perpendicular a las bases, encerrado entre las bases.
Teorema 7 . La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.
Prueba. Dejemos que se den el trapezoide ABCD y la línea media KM. Dibujemos una línea recta que pase por los puntos B y M. Continúemos por el lado AD por el punto D hasta que se cruce con BM. Los triángulos ВСм y МРD son iguales en lados y dos ángulos (SM=MD, ∠ ВСМ=∠ МДР - transversalmente, ∠ ВСМ=∠ DМР - vertical), por lo tanto ВМ=МР o el punto M es el centro de BP. KM es la línea media del triángulo ABP. Según la propiedad de la línea media del triángulo, KM es paralelo a AP y en particular a AD y es igual a la mitad de AP:

Teorema 8 . Las diagonales dividen el trapecio en cuatro partes, dos de las cuales, adyacentes a los lados, son del mismo tamaño.
Permítanme recordarles que las figuras se llaman de igual tamaño si tienen la misma área. Los triángulos ABD y ACD tienen el mismo tamaño: tienen alturas iguales (indicadas en amarillo) y una base común. Estos triángulos tienen una parte común AOD. Su área se puede descomponer de la siguiente manera:

Tipos de trapecios:
Definición 9. (Figura 1) Un trapezoide de ángulo agudo es un trapezoide cuyos ángulos adyacentes a la base más grande son agudos.
Definición 10. (Figura 2) Un trapezoide obtuso es un trapezoide en el que uno de los ángulos adyacentes a la base mayor es obtuso.
Definición 11. (Figura 4) Un trapezoide se llama rectangular si un lado es perpendicular a las bases.
Definición 12. (Figura 3) Un isósceles (isosceles, isósceles) es un trapezoide cuyos lados son iguales.

Propiedades de un trapezoide isósceles:
Teorema 10 . Los ángulos adyacentes a cada una de las bases de un trapecio isósceles son iguales.
Prueba. Demostremos, por ejemplo, la igualdad de los ángulos A y D para la base mayor AD del trapezoide isósceles ABCD. Para ello trazamos una línea recta que pasa por el punto C paralela al lado AB. Intersecará a la base grande en el punto M. El cuadrilátero ABCM es un paralelogramo, porque por construcción tiene dos pares de lados paralelos. En consecuencia, el segmento CM de una recta secante encerrada dentro del trapezoide es igual a su lado: CM = AB. De aquí queda claro que CM = CD, el triángulo CMD es isósceles, ∠ CMD = ∠ CDM y, por tanto, ∠ A = ∠ D. Los ángulos adyacentes a la base más pequeña también son iguales, porque son para los que se encuentran internos unilaterales y tienen dos líneas en total.
Teorema 11 . Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.
Prueba. Considere los triángulos ABD y ACD. Son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos (AB=CD, AD es común, los ángulos A y D son iguales según el Teorema 10). Por lo tanto AC=BD.

Teorema 13 . Las diagonales de un trapezoide isósceles se dividen por el punto de intersección en segmentos correspondientemente iguales. Considere los triángulos ABD y ACD. Son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos (AB=CD, AD es común, los ángulos A y D son iguales según el Teorema 10). Por lo tanto, ∠ OAD = ∠ ODA, por lo tanto, los ángulos OBC y OCB son iguales ya que se cruzan respectivamente para los ángulos ODA y OAD. Recordemos el teorema: si dos ángulos en un triángulo son iguales, entonces es isósceles, por lo tanto los triángulos OBC y OAD son isósceles, lo que significa OC=OB y OA=OD, etc.
Un trapezoide equilátero es una figura simétrica.
Definición 13. El eje de simetría de un trapezoide isósceles es la recta que pasa por los puntos medios de sus bases.
Teorema 14 . El eje de simetría de un trapezoide isósceles es perpendicular a sus bases.
En el teorema 9, demostramos que la línea que conecta los puntos medios de las bases del trapezoide pasa por el punto de intersección de las diagonales. A continuación (Teorema 13) demostramos que los triángulos AOD y BOC son isósceles. OM y OK son las medianas de estos triángulos, respectivamente, por definición. Recordemos la propiedad de un triángulo isósceles: la mediana de un triángulo isósceles, bajada hasta la base, es también la altura del triángulo. Debido a la perpendicularidad de las partes de la recta CM a las bases, el eje de simetría es perpendicular a las bases.
Signos que distinguen un trapezoide isósceles de todos los trapecios:
Teorema 15 . Si los ángulos adyacentes a una de las bases de un trapecio son iguales, entonces el trapezoide es isósceles.
Teorema 16 . Si las diagonales de un trapezoide son iguales, entonces el trapezoide es isósceles.
Teorema 17 . Si los lados laterales de un trapezoide, extendidos hasta intersectarse, forman, junto con su base grande, un triángulo isósceles, entonces el trapezoide es isósceles.
Teorema 18 . Si un trapezoide puede inscribirse en una circunferencia, entonces es isósceles.
Signo de un trapezoide rectangular:
Teorema 19 . Cualquier cuadrilátero que tenga solo dos ángulos rectos con vértices adyacentes es un trapezoide rectángulo (obviamente, dos lados son paralelos, ya que los de un lado son iguales. En el caso de que tres ángulos rectos sean un rectángulo)
Teorema 20 . El radio de un círculo inscrito en un trapezoide es igual a la mitad de la altura de la base.
La demostración de este teorema consiste en explicar que los radios trazados hacia las bases se encuentran a la altura del trapezoide. Desde el punto O, el centro del círculo ABCD inscrito en un trapezoide dado, dibujamos radios hasta los puntos donde lo tocan las bases del trapezoide. Como se sabe, el radio trazado hasta el punto de tangencia es perpendicular a la tangente, por lo tanto OK^ BC y OM^ AD. Recordemos el teorema: si una recta es perpendicular a una de las paralelas, entonces también lo es a la segunda. Esto significa que la línea OK también es perpendicular a AD. Así, por el punto O pasan dos rectas perpendiculares a la recta AD, la cual no puede ser, por lo tanto estas rectas coinciden y constituyen una perpendicular común KM, que es igual a la suma de dos radios y es el diámetro del círculo inscrito, por lo tanto r= KM/2 o r=h/2.
Teorema 21 . El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de las bases por la altura de las bases.

Prueba: Sean ABCD un trapezoide dado y AB y CD sus bases. Sea también AH la altura bajada desde el punto A hasta la línea CD. Entonces S ABCD = S ACD + S ABC.
Pero S ACD = 1/2AH·CD, y S ABC = 1/2AH·AB.
Por tanto, S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Q.E.D.

La segunda fórmula provino del cuadrilátero.

Un polígono es parte de un plano delimitado por una línea discontinua cerrada. Los ángulos de un polígono están indicados por los puntos de los vértices del polígono. Los vértices de las esquinas de un polígono y los vértices de un polígono son puntos coincidentes.

Definición. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Propiedades de un paralelogramo

1. Los lados opuestos son iguales.
En la Fig. once AB = CD; ANTES DE CRISTO. = ANUNCIO.

2. Los ángulos opuestos son iguales (dos ángulos agudos y dos obtusos).
En la Fig. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 diagonales (segmentos de línea que conectan dos vértices opuestos) se cruzan y se dividen por la mitad por el punto de intersección.

En la Fig. 11 segmentos A.O. = JEFE.; B.O. = SOBREDOSIS..

Definición. Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados opuestos son paralelos y los otros dos no.

Lados paralelos se llaman ella razones, y los otros dos lados - lados.

Tipos de trapecios

1. trapezoide, cuyos lados no son iguales,
llamado versátil(Figura 12).

2. Un trapezoide cuyos lados son iguales se llama isósceles(Figura 13).

3. Un trapezoide en el que un lado forma un ángulo recto con las bases se llama rectangular(Figura 14).

El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales del trapezoide (Fig.15) se llama línea media del trapezoide ( Minnesota). La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.

Un trapezoide se puede llamar triángulo truncado (Fig. 17), por lo que los nombres de los trapecios son similares a los nombres de los triángulos (los triángulos son escalenos, isósceles, rectangulares).

Área de paralelogramo y trapezoide

Regla. Área de un paralelogramo igual al producto de su lado por la altura trazada hacia este lado.

Un trapecio es un caso especial de cuadrilátero en el que un par de lados son paralelos. El término "trapezoide" proviene de la palabra griega τράπεζα, que significa "mesa", "mesa". En este artículo veremos los tipos de trapezoide y sus propiedades. Además, descubriremos cómo calcular elementos individuales de este. Por ejemplo, la diagonal de un trapezoide isósceles, la línea central, el área, etc. El material se presenta en el estilo de la geometría popular elemental, es decir, en una forma de fácil acceso. .

información general

Primero, averigüemos qué es un cuadrilátero. Esta figura es un caso especial de un polígono que contiene cuatro lados y cuatro vértices. Dos vértices de un cuadrilátero que no son adyacentes se llaman opuestos. Lo mismo puede decirse de dos lados no adyacentes. Los principales tipos de cuadriláteros son paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapezoide y deltoides.

Entonces volvamos a los trapecios. Como ya hemos dicho, esta figura tiene dos lados paralelos. Se llaman bases. Los otros dos (no paralelos) son los lados laterales. En los materiales de los exámenes y diversas pruebas, a menudo se pueden encontrar problemas relacionados con los trapecios, cuya solución a menudo requiere que el estudiante tenga conocimientos no previstos en el programa. El curso de geometría escolar presenta a los estudiantes las propiedades de los ángulos y las diagonales, así como la línea media de un trapezoide isósceles. Pero, además de esto, la mencionada figura geométrica tiene otras características. Pero hablaremos de ellos un poco más adelante...

Tipos de trapezoide

Hay muchos tipos de esta figura. Sin embargo, la mayoría de las veces se acostumbra considerar dos de ellos: isósceles y rectangular.

1. Un trapecio rectangular es una figura en la que uno de los lados es perpendicular a las bases. Sus dos ángulos siempre son iguales a noventa grados.

2. Un trapecio isósceles es una figura geométrica cuyos lados son iguales entre sí. Esto significa que los ángulos en las bases también son iguales en pares.

Los principios fundamentales de la metodología para estudiar las propiedades de un trapezoide.

El principio fundamental incluye el uso del llamado enfoque de tareas. De hecho, no es necesario introducir nuevas propiedades de esta figura en el curso teórico de geometría. Pueden descubrirse y formularse en el proceso de resolución de diversos problemas (preferiblemente sistémicos). Al mismo tiempo, es muy importante que el docente sepa qué tareas deben asignarse a los estudiantes en un momento u otro del proceso educativo. Además, cada propiedad de un trapecio se puede representar como una tarea clave en el sistema de tareas.

El segundo principio es la llamada organización en espiral del estudio de las propiedades "notables" del trapezoide. Esto implica un retorno en el proceso de aprendizaje a las características individuales de una figura geométrica determinada. Esto hace que sea más fácil para los estudiantes recordarlos. Por ejemplo, la propiedad de cuatro puntos. Se puede demostrar tanto al estudiar la similitud como posteriormente al utilizar vectores. Y la equivalencia de los triángulos adyacentes a los lados laterales de una figura se puede probar aplicando no solo las propiedades de los triángulos con alturas iguales dibujados a los lados que se encuentran en la misma línea recta, sino también usando la fórmula S = 1/2( ab*sinα). Además, puedes trabajar sobre un trapecio inscrito o un triángulo rectángulo sobre un trapezoide inscrito, etc.

El uso de características "extracurriculares" de una figura geométrica en el contenido de un curso escolar es una tecnología basada en tareas para enseñarlas. Hacer referencia constante a las propiedades que se estudian mientras se analizan otros temas permite a los estudiantes obtener un conocimiento más profundo del trapezoide y garantiza el éxito en la resolución de los problemas asignados. Entonces, comencemos a estudiar esta maravillosa figura.

Elementos y propiedades de un trapecio isósceles.

Como ya hemos señalado, esta figura geométrica tiene lados iguales. También se le conoce como trapezoide correcto. ¿Por qué es tan notable y por qué recibió ese nombre? La peculiaridad de esta figura es que no solo los lados y ángulos en las bases son iguales, sino también las diagonales. Además, la suma de los ángulos de un trapezoide isósceles es 360 grados. ¡Pero eso no es todo! De todos los trapecios conocidos, sólo el isósceles puede describirse como un círculo. Esto se debe al hecho de que la suma de los ángulos opuestos de esta figura es igual a 180 grados, y sólo bajo esta condición se puede describir un círculo alrededor de un cuadrilátero. La siguiente propiedad de la figura geométrica considerada es que la distancia desde el vértice de la base hasta la proyección del vértice opuesto sobre la recta que contiene esta base será igual a la línea media.

Ahora descubramos cómo encontrar los ángulos de un trapezoide isósceles. Consideremos una solución a este problema, siempre que se conozcan las dimensiones de los lados de la figura.

Solución

Por lo general, un cuadrilátero suele denotarse con las letras A, B, C, D, donde BS y AD son las bases. En un trapecio isósceles los lados son iguales. Supondremos que su tamaño es igual a X, y que los tamaños de las bases son iguales a Y y Z (menor y mayor, respectivamente). Para realizar el cálculo es necesario trazar la altura H desde el ángulo B. El resultado es un triángulo rectángulo ABN, donde AB es la hipotenusa y BN y AN son los catetos. Calculamos el tamaño del cateto AN: restamos el menor a la base mayor, y dividimos el resultado entre 2. Lo escribimos en forma de fórmula: (Z-Y)/2 = F. Ahora, para calcular el cateto AN ángulo del triángulo, usamos la función cos. Obtenemos la siguiente entrada: cos(β) = X/F. Ahora calculamos el ángulo: β=arcos (X/F). Además, conociendo un ángulo, podemos determinar el segundo, para ello realizamos una operación aritmética elemental: 180 - β. Todos los ángulos están definidos.

Hay una segunda solución a este problema. Primero lo bajamos desde la esquina hasta la altura H. Calculamos el valor del cateto BN. Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Obtenemos: BN = √(X2-F2). A continuación usamos la función trigonométrica tg. Como resultado, tenemos: β = arctan (BN/F). Se ha encontrado un ángulo agudo. A continuación, lo definimos de manera similar al primer método.

Propiedad de las diagonales de un trapezoide isósceles

Primero, escribamos cuatro reglas. Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, entonces:

La altura de la figura será igual a la suma de las bases dividida por dos;

Su altura y línea media son iguales;

El centro del círculo es el punto en el que ;

Si el lado lateral se divide por el punto de tangencia en los segmentos H y M, entonces es igual a la raíz cuadrada del producto de estos segmentos;

El cuadrilátero que está formado por los puntos tangentes, el vértice del trapezoide y el centro del círculo inscrito es un cuadrado cuyo lado es igual al radio;

El área de una figura es igual al producto de las bases por el producto de la mitad de la suma de las bases y su altura.

Trapecios similares

Este tema es muy conveniente para estudiar las propiedades de este. Por ejemplo, las diagonales dividen un trapezoide en cuatro triángulos, y las adyacentes a las bases son similares y las adyacentes a los lados son iguales en tamaño. Esta afirmación se puede llamar propiedad de los triángulos en que se divide el trapezoide por sus diagonales. La primera parte de esta afirmación se prueba mediante el signo de semejanza en dos ángulos. Para probar la segunda parte, es mejor utilizar el método que se indica a continuación.

Prueba del teorema

Aceptamos que la figura ABSD (AD y BS son las bases del trapezoide) se divide por las diagonales VD y AC. El punto de su intersección es O. Obtenemos cuatro triángulos: AOS - en la base inferior, BOS - en la base superior, ABO y SOD en los lados. Los triángulos SOD y BOS tienen una altura común si los segmentos BO y OD son sus bases. Encontramos que la diferencia entre sus áreas (P) es igual a la diferencia entre estos segmentos: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Por lo tanto, PSOD = PBOS/K. De manera similar, los triángulos BOS y AOB tienen una altura común. Tomamos como base los segmentos CO y OA. Obtenemos PBOS/PAOB = CO/OA = K y PAOB = PBOS/K. De esto se deduce que PSOD = PAOB.

Para consolidar el material, se recomienda a los estudiantes encontrar la conexión entre las áreas de los triángulos resultantes en los que se divide el trapezoide por sus diagonales resolviendo el siguiente problema. Se sabe que los triángulos BOS y AOD tienen áreas iguales; es necesario encontrar el área del trapezoide. Dado que PSOD = PAOB, significa PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. De la similitud de los triángulos BOS y AOD se deduce que BO/OD = √(PBOS/PAOD). Por lo tanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Obtenemos PSOD = √(PBOS*PAOD). Entonces PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Propiedades de similitud

Continuando desarrollando este tema, podemos probar otras características interesantes de los trapecios. Así, mediante la semejanza se puede demostrar la propiedad de un segmento que pasa por el punto formado por la intersección de las diagonales de esta figura geométrica, paralelo a las bases. Para ello, resolvamos el siguiente problema: necesitamos encontrar la longitud del segmento RK que pasa por el punto O. De la similitud de los triángulos AOD y BOS se deduce que AO/OS = AD/BS. De la semejanza de los triángulos AOP y ASB se deduce que AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=BS*BP/(BS+BP). De manera similar, de la similitud de los triángulos DOC y DBS, se deduce que OK = BS*AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=OK y RK=2*BS*AD/(BS+AD). Un segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales, paralelo a las bases y que conecta dos lados laterales, se divide por la mitad por el punto de intersección. Su longitud es la media armónica de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de un trapecio, que se llama propiedad de los cuatro puntos. Los puntos de intersección de las diagonales (O), la intersección de la continuación de los lados (E), así como los puntos medios de las bases (T y F) siempre se encuentran en la misma línea. Esto se puede demostrar fácilmente mediante el método de semejanza. Los triángulos resultantes BES y AED son semejantes, y en cada uno de ellos las medianas ET y EJ dividen el ángulo del vértice E en partes iguales. Por tanto, los puntos E, T y F se encuentran en la misma recta. De la misma manera, los puntos T, O y Zh se ubican en la misma línea recta. Todo esto se desprende de la similitud de los triángulos BOS y AOD. De aquí concluimos que los cuatro puntos (E, T, O y F) estarán en la misma línea recta.

Usando trapecios similares, puedes pedir a los estudiantes que encuentren la longitud del segmento (LS) que divide la figura en dos similares. Este segmento debe ser paralelo a las bases. Dado que los trapecios resultantes ALFD y LBSF son similares, entonces BS/LF = LF/AD. De ello se deduce que LF=√(BS*AD). Encontramos que el segmento que divide el trapecio en dos similares tiene una longitud igual a la media geométrica de las longitudes de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de similitud. Se basa en un segmento que divide el trapezoide en dos figuras iguales. Suponemos que el trapezoide ABSD está dividido por el segmento EH en dos similares. Desde el vértice B se omite una altura, que se divide por el segmento EN en dos partes: B1 y B2. Obtenemos: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 y PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. A continuación, componemos un sistema cuya primera ecuación es (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 y la segunda (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. De ello se deduce que B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) y BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Encontramos que la longitud del segmento que divide el trapezoide en dos iguales es igual a la raíz cuadrática media de las longitudes de las bases: √((BS2+AD2)/2).

Hallazgos de similitud

Así, hemos demostrado que:

1. El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales de un trapezoide es paralelo a AD y BS y es igual a la media aritmética de BS y AD (la longitud de la base del trapezoide).

2. La recta que pasa por el punto O de la intersección de las diagonales paralelas a AD y BS será igual a la media armónica de los números AD y BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. El segmento que divide el trapezoide en otros semejantes tiene la longitud de la media geométrica de las bases BS y AD.

4. Un elemento que divide una figura en dos iguales tiene la longitud de la raíz cuadrática media de los números AD y BS.

Para consolidar el material y comprender la conexión entre los segmentos considerados, el estudiante necesita construirlos para un trapezoide específico. Puede representar fácilmente la línea media y el segmento que pasa por el punto O, la intersección de las diagonales de la figura, paralelo a las bases. ¿Pero dónde estarán ubicados el tercero y el cuarto? Esta respuesta llevará al estudiante al descubrimiento de la relación deseada entre valores medios.

Un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales de un trapezoide.

Considere la siguiente propiedad de esta figura. Suponemos que el segmento MH es paralelo a las bases y biseca las diagonales. Llamemos a los puntos de intersección Ш y Ш. Este segmento será igual a la mitad de la diferencia de las bases. Veamos esto con más detalle. MS es la línea media del triángulo ABS, es igual a BS/2. MSH es la línea media del triángulo ABD, es igual a AD/2. Entonces obtenemos que ShShch = MSh-MSh, por lo tanto, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centro de gravedad

Veamos cómo se determina este elemento para una figura geométrica determinada. Para ello, es necesario extender las bases en direcciones opuestas. ¿Qué significa? Debe agregar la base inferior a la base superior, en cualquier dirección, por ejemplo, hacia la derecha. Y extendemos el inferior a lo largo del superior hacia la izquierda. A continuación, los conectamos en diagonal. El punto de intersección de este segmento con la línea media de la figura es el centro de gravedad del trapezoide.

Trapecios inscritos y circunscritos

Enumeremos las características de tales figuras:

1. Un trapecio puede inscribirse en una circunferencia sólo si es isósceles.

2. Se puede describir un trapezoide alrededor de un círculo, siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de los lados.

Corolarios del círculo:

1. La altura del trapezoide descrito es siempre igual a dos radios.

2. El lado del trapezoide descrito se observa desde el centro del círculo en ángulo recto.

El primer corolario es obvio, pero para demostrar el segundo es necesario establecer que el ángulo SOD es recto, lo cual, de hecho, tampoco es difícil. Pero el conocimiento de esta propiedad le permitirá utilizar un triángulo rectángulo al resolver problemas.

Ahora especifiquemos estas consecuencias para un trapezoide isósceles inscrito en un círculo. Encontramos que la altura es la media geométrica de las bases de la figura: H=2R=√(BS*AD). Mientras practica la técnica básica para resolver problemas de trapecios (el principio de dibujar dos alturas), el alumno debe resolver la siguiente tarea. Suponemos que BT es la altura de la figura isósceles ABSD. Es necesario encontrar los segmentos AT y TD. Usando la fórmula descrita anteriormente, esto no será difícil de hacer.

Ahora descubramos cómo determinar el radio de un círculo usando el área del trapezoide circunscrito. Bajamos la altura desde el vértice B hasta la base AD. Como el círculo está inscrito en un trapezoide, entonces BS+AD = 2AB o AB = (BS+AD)/2. Del triángulo ABN encontramos senα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Obtenemos PABSD = (BS+BP)*R, se deduce que R = PABSD/(BS+BP).

Todas las fórmulas para la línea media de un trapezoide.

Ahora toca pasar al último elemento de esta figura geométrica. Averigüemos a qué es igual la línea media del trapezoide (M):

1. Por las bases: M = (A+B)/2.

2. Por altura, base y esquinas:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. A través de la altura, las diagonales y el ángulo entre ellas. Por ejemplo, D1 y D2 son las diagonales de un trapezoide; α, β - ángulos entre ellos:

M = D1*D2*senα/2Н = D1*D2*senβ/2Н.

4. Área pasante y altura: M = P/N.