Nombra formas de resolver desigualdades logarítmicas y da ejemplos. Desigualdades logarítmicas – Hipermercado del conocimiento
¿Crees que todavía queda tiempo antes del Examen Estatal Unificado y tendrás tiempo para prepararte? Quizás esto sea así. Pero en cualquier caso, cuanto antes comience un estudiante a prepararse, con mayor éxito aprobará los exámenes. Hoy decidimos dedicar un artículo a las desigualdades logarítmicas. Esta es una de las tareas, lo que significa una oportunidad de obtener crédito adicional.
¿Ya sabes qué es un logaritmo? Realmente lo esperamos. Pero incluso si no tienes una respuesta a esta pregunta, no es un problema. Entender qué es un logaritmo es muy sencillo.
¿Por qué 4? Necesitas elevar el número 3 a esta potencia para obtener 81. Una vez que comprendas el principio, puedes proceder a cálculos más complejos.
Usted atravesó desigualdades hace unos años. Y desde entonces los habéis encontrado constantemente en matemáticas. Si tienes problemas para resolver desigualdades, consulta la sección correspondiente.
Ahora que nos hemos familiarizado con los conceptos individualmente, pasemos a considerarlos en general.
La desigualdad logarítmica más simple.
Las desigualdades logarítmicas más simples no se limitan a este ejemplo; hay tres más, solo que con signos diferentes. ¿Por qué es esto necesario? Comprender mejor cómo resolver desigualdades con logaritmos. Ahora demos un ejemplo más aplicable, todavía bastante simple, dejaremos las desigualdades logarítmicas complejas para más adelante.
¿Cómo solucionar esto? Todo comienza con ODZ. Vale la pena saber más al respecto si quieres resolver siempre fácilmente cualquier desigualdad.
¿Qué es ODZ? ODZ para desigualdades logarítmicas
La abreviatura representa el rango de valores aceptables. Esta formulación aparece a menudo en las tareas del Examen Estatal Unificado. ODZ le resultará útil no sólo en el caso de desigualdades logarítmicas.
Mire nuevamente el ejemplo anterior. Consideraremos el ODZ en base a él, para que comprenda el principio y la resolución de desigualdades logarítmicas no genere preguntas. De la definición de logaritmo se deduce que 2x+4 debe ser mayor que cero. En nuestro caso esto significa lo siguiente.
Este número, por definición, debe ser positivo. Resuelve la desigualdad presentada arriba. Esto se puede hacer incluso oralmente; aquí está claro que X no puede ser menor que 2. La solución a la desigualdad será la definición del rango de valores aceptables.
Pasemos ahora a resolver la desigualdad logarítmica más simple.
Descartamos los logaritmos mismos de ambos lados de la desigualdad. ¿Qué nos queda como resultado? Desigualdad simple.
No es difícil de resolver. X debe ser mayor que -0,5. Ahora combinamos los dos valores obtenidos en un sistema. De este modo,
Este será el rango de valores aceptables para la desigualdad logarítmica considerada.
¿Por qué necesitamos ODZ? Esta es una oportunidad para eliminar respuestas incorrectas e imposibles. Si la respuesta no está dentro del rango de valores aceptables, entonces la respuesta simplemente no tiene sentido. Vale la pena recordar esto durante mucho tiempo, ya que en el Examen Estatal Unificado a menudo es necesario buscar ODZ, y no se trata solo de desigualdades logarítmicas.
Algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas.
La solución consta de varias etapas. Primero, necesita encontrar el rango de valores aceptables. Habrá dos significados en ODZ, lo discutimos anteriormente. A continuación debemos resolver la desigualdad misma. Los métodos de solución son los siguientes:
- método de reemplazo del multiplicador;
- descomposición;
- método de racionalización.
Dependiendo de la situación, vale la pena utilizar uno de los métodos anteriores. Pasemos directamente a la solución. Revelemos el método más popular, que es adecuado para resolver las tareas del Examen Estatal Unificado en casi todos los casos. A continuación veremos el método de descomposición. Puede resultar útil si te encuentras con una desigualdad particularmente complicada. Entonces, un algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas.
Ejemplos de soluciones :
¡No en vano tomamos exactamente esta desigualdad! Presta atención a la base. Recuerde: si es mayor que uno, el signo sigue siendo el mismo al encontrar el rango de valores aceptables; de lo contrario, deberás cambiar el signo de desigualdad.
Como resultado, obtenemos la desigualdad:
Ahora reducimos el lado izquierdo a la forma de la ecuación igual a cero. En lugar del signo “menor que” ponemos “igual” y resolvemos la ecuación. Así, encontraremos la ODZ. Esperamos que no tengas problemas para resolver una ecuación tan simple. Las respuestas son -4 y -2. Eso no es todo. Debes visualizar estos puntos en el gráfico, colocando “+” y “-”. ¿Qué hay que hacer para esto? Sustituye los números de los intervalos en la expresión. Donde los valores son positivos, ponemos “+”.
Respuesta: x no puede ser mayor que -4 ni menor que -2.
Hemos encontrado el rango de valores aceptables solo para el lado izquierdo; ahora necesitamos encontrar el rango de valores aceptables para el lado derecho. Esto es mucho más fácil. Respuesta: -2. Cruzamos ambas áreas resultantes.
Y sólo ahora estamos empezando a abordar la desigualdad misma.
Simplifiquémoslo tanto como sea posible para que sea más fácil de resolver.
Usamos nuevamente el método del intervalo en la solución. Saltemos los cálculos; todo está claro en el ejemplo anterior. Respuesta.
Pero este método es adecuado si la desigualdad logarítmica tiene las mismas bases.
Resolver ecuaciones logarítmicas y desigualdades con diferentes bases requiere una reducción inicial a la misma base. A continuación, utilice el método descrito anteriormente. Pero hay un caso más complicado. Consideremos uno de los tipos más complejos de desigualdades logarítmicas.
Desigualdades logarítmicas con base variable
¿Cómo resolver desigualdades con tales características? Sí, y esas personas se pueden encontrar en el Examen Estatal Unificado. Resolver las desigualdades de la siguiente manera también tendrá un efecto beneficioso en tu proceso educativo. Veamos la cuestión en detalle. Descartemos la teoría y vayamos directo a la práctica. Para resolver desigualdades logarítmicas, basta con familiarizarse una vez con el ejemplo.
Para resolver una desigualdad logarítmica de la forma presentada, es necesario reducir el lado derecho a un logaritmo con la misma base. El principio se parece a transiciones equivalentes. Como resultado, la desigualdad se verá así.
En realidad, sólo queda crear un sistema de desigualdades sin logaritmos. Utilizando el método de racionalización, pasamos a un sistema equivalente de desigualdades. Comprenderá la regla en sí cuando sustituya los valores apropiados y realice un seguimiento de sus cambios. El sistema tendrá las siguientes desigualdades.
Cuando utilice el método de racionalización para resolver desigualdades, debe recordar lo siguiente: se debe restar uno de la base, x, según la definición del logaritmo, se resta de ambos lados de la desigualdad (de derecha a izquierda), se multiplican dos expresiones y puesto bajo el signo original en relación con cero.
La solución adicional se lleva a cabo mediante el método de intervalos, aquí todo es sencillo. Es importante que comprenda las diferencias en los métodos de solución, así todo empezará a funcionar fácilmente.
Hay muchos matices en las desigualdades logarítmicas. Los más simples son bastante fáciles de resolver. ¿Cómo puedes resolver cada uno de ellos sin problemas? Ya has recibido todas las respuestas en este artículo. Ahora tienes una larga práctica por delante. Practica constantemente resolviendo una variedad de problemas en el examen y podrás obtener la puntuación más alta. ¡Buena suerte en tu difícil tarea!
Desigualdades logarítmicas
En lecciones anteriores nos familiarizamos con las ecuaciones logarítmicas y ahora sabemos qué son y cómo resolverlas. La lección de hoy estará dedicada al estudio de las desigualdades logarítmicas. ¿Cuáles son estas desigualdades y cuál es la diferencia entre resolver una ecuación logarítmica y una desigualdad?
Las desigualdades logarítmicas son desigualdades que tienen una variable que aparece debajo del signo del logaritmo o en su base.
O también podemos decir que una desigualdad logarítmica es una desigualdad en la que su valor desconocido, como en una ecuación logarítmica, aparecerá bajo el signo del logaritmo.
Las desigualdades logarítmicas más simples tienen la siguiente forma:
donde f(x) y g(x) son algunas expresiones que dependen de x.
Veamos esto usando este ejemplo: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Resolver desigualdades logarítmicas
Antes de resolver desigualdades logarítmicas, vale la pena señalar que una vez resueltas son similares a desigualdades exponenciales, a saber:
Primero, al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo de logaritmo, también debemos comparar la base del logaritmo con uno;
En segundo lugar, al resolver una desigualdad logarítmica usando un cambio de variables, necesitamos resolver desigualdades con respecto al cambio hasta obtener la desigualdad más simple.
Pero tú y yo hemos considerado aspectos similares de la resolución de desigualdades logarítmicas. Ahora prestemos atención a una diferencia bastante significativa. Usted y yo sabemos que la función logarítmica tiene un dominio de definición limitado, por lo tanto, al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo de logaritmo, debemos tener en cuenta el rango de valores permitidos (ADV).
Es decir, hay que tener en cuenta que al resolver una ecuación logarítmica, tú y yo primero podemos encontrar las raíces de la ecuación y luego verificar esta solución. Pero resolver una desigualdad logarítmica no funcionará de esta manera, ya que al pasar de logaritmos a expresiones bajo el signo de logaritmo, será necesario anotar la ODZ de la desigualdad.
Además, conviene recordar que la teoría de las desigualdades se compone de números reales, que son números positivos y negativos, así como el número 0.
Por ejemplo, cuando el número "a" es positivo, entonces necesitas usar la siguiente notación: a >0. En este caso, tanto la suma como el producto de estos números también serán positivos.
El principio fundamental para resolver una desigualdad es reemplazarla por una desigualdad más simple, pero lo principal es que sea equivalente a la dada. Además, también obtuvimos una desigualdad y nuevamente la reemplazamos por una que tiene una forma más simple, etc.
Al resolver desigualdades con una variable, es necesario encontrar todas sus soluciones. Si dos desigualdades tienen la misma variable x, entonces dichas desigualdades son equivalentes, siempre que sus soluciones coincidan.
Al realizar tareas para resolver desigualdades logarítmicas, debes recordar que cuando a > 1, entonces la función logarítmica aumenta, y cuando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Métodos para resolver desigualdades logarítmicas.
Ahora veamos algunos de los métodos que se utilizan al resolver desigualdades logarítmicas. Para una mejor comprensión y asimilación, intentaremos comprenderlos mediante ejemplos concretos.
Todos sabemos que la desigualdad logarítmica más simple tiene la siguiente forma:
En esta desigualdad, V – es uno de los siguientes signos de desigualdad:<,>, ≤ o ≥.
Cuando la base de un logaritmo dado es mayor que uno (a>1), haciendo la transición de logaritmos a expresiones bajo el signo del logaritmo, entonces en esta versión se conserva el signo de desigualdad, y la desigualdad tendrá la siguiente forma:
que es equivalente a este sistema:
En el caso de que la base del logaritmo sea mayor que cero y menor que uno (0 Esto es equivalente a este sistema: Veamos más ejemplos de cómo resolver las desigualdades logarítmicas más simples que se muestran en la siguiente imagen: Ejercicio. Intentemos resolver esta desigualdad: Resolver el rango de valores aceptables. Ahora intentemos multiplicar su lado derecho por: Veamos qué se nos ocurre: Ahora pasemos a convertir expresiones sublogarítmicas. Debido a que la base del logaritmo es 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Y de esto se deduce que el intervalo que obtuvimos en su totalidad pertenece a la ODZ y es una solución a tal desigualdad. Aquí está la respuesta que obtuvimos: Ahora intentemos analizar qué necesitamos para resolver con éxito desigualdades logarítmicas. Primero, concentra toda tu atención y trata de no equivocarte al realizar las transformaciones que se dan en esta desigualdad. Además, debe recordarse que al resolver tales desigualdades, es necesario evitar expansiones y contracciones de las desigualdades, lo que puede conducir a la pérdida o adquisición de soluciones extrañas. En segundo lugar, al resolver desigualdades logarítmicas, es necesario aprender a pensar lógicamente y comprender la diferencia entre conceptos como un sistema de desigualdades y un conjunto de desigualdades, de modo que pueda seleccionar fácilmente soluciones a la desigualdad, mientras se guía por su DL. En tercer lugar, para resolver con éxito tales desigualdades, cada uno de ustedes debe conocer perfectamente todas las propiedades de las funciones elementales y comprender claramente su significado. Tales funciones incluyen no solo logarítmicas, sino también racionales, potencias, trigonométricas, etc., en una palabra, todas aquellas que estudiaste durante los años de álgebra escolar. Como puede ver, habiendo estudiado el tema de las desigualdades logarítmicas, no hay nada difícil en resolver estas desigualdades, siempre que sea cuidadoso y persistente en el logro de sus objetivos. Para evitar problemas al resolver desigualdades, es necesario practicar tanto como sea posible, resolviendo varias tareas y al mismo tiempo recordar los métodos básicos para resolver dichas desigualdades y sus sistemas. Si no logras resolver desigualdades logarítmicas, debes analizar cuidadosamente tus errores para no volver a repetirlos en el futuro. Para comprender mejor el tema y consolidar el material tratado, resuelva las siguientes desigualdades: Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta. La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica. Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros. A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información. Qué información personal recopilamos: Cómo usamos tu información personal: No revelamos la información que recibimos de usted a terceros. Excepciones: Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como contra acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción. Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad. Una desigualdad se llama logarítmica si contiene una función logarítmica. Los métodos para resolver desigualdades logarítmicas no son diferentes, excepto por dos cosas. En primer lugar, al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, se debe seguir el signo de la desigualdad resultante. Obedece la siguiente regla. Si la base de la función logarítmica es mayor que $1$, entonces al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, el signo de la desigualdad se conserva, pero si es menor que $1$, entonces cambia al opuesto . En segundo lugar, la solución a cualquier desigualdad es un intervalo y, por lo tanto, al final de resolver la desigualdad de funciones sublogarítmicas es necesario crear un sistema de dos desigualdades: la primera desigualdad de este sistema será la desigualdad de funciones sublogarítmicas, y el segundo será el intervalo del dominio de definición de las funciones logarítmicas incluidas en la desigualdad logarítmica. Resolvamos las desigualdades: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \en (-3;+\infty)$ La base del logaritmo es $2>1$, por lo que el signo no cambia. Usando la definición de logaritmo, obtenemos: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \en )
Ejemplos de resolución
3x > 24;
x > 8. 
¿Qué se necesita para resolver desigualdades logarítmicas?
Tarea
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Protección de información personal
Respetando su privacidad a nivel de empresa
Práctica.
