Παραδείγματα λύσεων λογαρίθμων ανισότητας. Όλα για τις λογαριθμικές ανισότητες

Ανάμεσα σε όλη την ποικιλία των λογαριθμικών ανισώσεων, οι ανισώσεις με μεταβλητή βάση μελετώνται χωριστά. Επιλύονται χρησιμοποιώντας μια ειδική φόρμουλα, η οποία για κάποιο λόγο σπάνια διδάσκεται στο σχολείο:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Αντί για το πλαίσιο ελέγχου "∨", μπορείτε να βάλετε οποιοδήποτε σύμβολο ανισότητας: περισσότερο ή λιγότερο. Το κυριότερο είναι ότι και στις δύο ανισότητες τα ζώδια είναι ίδια.

Έτσι απαλλαγούμε από τους λογάριθμους και ανάγουμε το πρόβλημα σε μια ορθολογική ανισότητα. Το τελευταίο είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί, αλλά κατά την απόρριψη λογαρίθμων, μπορεί να εμφανιστούν επιπλέον ρίζες. Για να τα κόψετε, αρκεί να βρείτε το εύρος των αποδεκτών τιμών. Εάν έχετε ξεχάσει το ODZ ενός λογάριθμου, συνιστώ ανεπιφύλακτα να το επαναλάβετε - δείτε «Τι είναι ο λογάριθμος».

Όλα όσα σχετίζονται με το εύρος των αποδεκτών τιμών πρέπει να γράφονται και να επιλύονται ξεχωριστά:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Αυτές οι τέσσερις ανισότητες αποτελούν ένα σύστημα και πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα. Όταν βρεθεί το εύρος των αποδεκτών τιμών, το μόνο που μένει είναι να το τέμνουμε με τη λύση της ορθολογικής ανισότητας - και η απάντηση είναι έτοιμη.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Αρχικά, ας γράψουμε το ODZ του λογάριθμου:

Οι δύο πρώτες ανισότητες ικανοποιούνται αυτόματα, αλλά η τελευταία θα πρέπει να διαγραφεί. Εφόσον το τετράγωνο ενός αριθμού είναι μηδέν αν και μόνο αν ο ίδιος ο αριθμός είναι μηδέν, έχουμε:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογάριθμου είναι όλοι οι αριθμοί εκτός από το μηδέν: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Τώρα λύνουμε την κύρια ανισότητα:

Κάνουμε τη μετάβαση από τη λογαριθμική ανισότητα στην ορθολογική. Η αρχική ανισότητα έχει πρόσημο "λιγότερο από", που σημαίνει ότι η προκύπτουσα ανισότητα πρέπει επίσης να έχει πρόσημο "λιγότερο από". Εχουμε:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

Τα μηδενικά αυτής της έκφρασης είναι: x = 3; x = −3; x = 0. Επιπλέον, το x = 0 είναι ρίζα της δεύτερης πολλαπλότητας, που σημαίνει ότι κατά τη διέλευση από αυτήν, το πρόσημο της συνάρτησης δεν αλλάζει. Εχουμε:

Παίρνουμε x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Αυτό το σύνολο περιέχεται πλήρως στο ODZ του λογαρίθμου, που σημαίνει ότι αυτή είναι η απάντηση.

Μετατροπή λογαριθμικών ανισώσεων

Συχνά η αρχική ανισότητα είναι διαφορετική από την παραπάνω. Αυτό μπορεί εύκολα να διορθωθεί χρησιμοποιώντας τους τυπικούς κανόνες για την εργασία με λογάριθμους - βλέπε «Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων». Και συγκεκριμένα:

1. Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος με δεδομένη βάση.
2. Το άθροισμα και η διαφορά των λογαρίθμων με τις ίδιες βάσεις μπορούν να αντικατασταθούν από έναν λογάριθμο.

Ξεχωριστά, θα ήθελα να σας υπενθυμίσω το εύρος των αποδεκτών τιμών. Δεδομένου ότι μπορεί να υπάρχουν αρκετοί λογάριθμοι στην αρχική ανισότητα, απαιτείται να βρεθεί η VA καθενός από αυτούς. Έτσι, το γενικό σχήμα για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων έχει ως εξής:

1. Βρείτε το VA κάθε λογάριθμου που περιλαμβάνεται στην ανισότητα.
2. Μειώστε την ανισότητα σε τυπική χρησιμοποιώντας τους τύπους για την πρόσθεση και την αφαίρεση λογαρίθμων.
3. Λύστε την προκύπτουσα ανισότητα σύμφωνα με το σχήμα που δίνεται παραπάνω.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Ας βρούμε το πεδίο ορισμού (DO) του πρώτου λογάριθμου:

Λύνουμε με τη μέθοδο του διαστήματος. Βρίσκοντας τα μηδενικά του αριθμητή:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Τότε - τα μηδενικά του παρονομαστή:

x − 1 = 0;
x = 1.

Σημειώνουμε μηδενικά και σημάδια στο βέλος συντεταγμένων:

Παίρνουμε x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Ο δεύτερος λογάριθμος θα έχει το ίδιο VA. Αν δεν με πιστεύετε, μπορείτε να το ελέγξετε. Τώρα μετασχηματίζουμε τον δεύτερο λογάριθμο έτσι ώστε η βάση να είναι δύο:

Όπως βλέπετε, τα τριάρια στη βάση και μπροστά από τον λογάριθμο έχουν μειωθεί. Πήραμε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση. Ας τα αθροίσουμε:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Λάβαμε την τυπική λογαριθμική ανισότητα. Απαλλαγούμε από τους λογάριθμους χρησιμοποιώντας τον τύπο. Εφόσον η αρχική ανισότητα περιέχει ένα πρόσημο "λιγότερο από", η προκύπτουσα ορθολογική έκφραση πρέπει επίσης να είναι μικρότερη από το μηδέν. Εχουμε:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Έχουμε δύο σετ:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Απάντηση υποψηφίου: x ∈ (−1; 3).

Απομένει να διασταυρωθούν αυτά τα σύνολα - παίρνουμε την πραγματική απάντηση:

Μας ενδιαφέρει η τομή των συνόλων, επομένως επιλέγουμε διαστήματα που είναι σκιασμένα και στα δύο βέλη. Παίρνουμε x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - όλα τα σημεία είναι τρυπημένα.

Μια ανισότητα ονομάζεται λογαριθμική αν περιέχει μια λογαριθμική συνάρτηση.

Οι μέθοδοι επίλυσης λογαριθμικών ανισώσεων δεν διαφέρουν, εκτός από δύο πράγματα.

Πρώτον, όταν μεταβαίνουμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, θα πρέπει να ακολουθήστε το πρόσημο της προκύπτουσας ανισότητας. Υπακούει στον ακόλουθο κανόνα.

Εάν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από $1$, τότε όταν μεταβαίνουμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται, αλλά αν είναι μικρότερο από $1$, τότε αλλάζει στο αντίθετο .

Δεύτερον, η λύση σε οποιαδήποτε ανισότητα είναι ένα διάστημα και, επομένως, στο τέλος της επίλυσης της ανισότητας των υπολογαριθμικών συναρτήσεων είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί ένα σύστημα δύο ανισώσεων: η πρώτη ανισότητα αυτού του συστήματος θα είναι η ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων. και το δεύτερο θα είναι το διάστημα του πεδίου ορισμού των λογαριθμικών συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στη λογαριθμική ανισότητα.

Πρακτική.

Ας λύσουμε τις ανισότητες:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0,$

$x \in (-3;+\infty)$

Η βάση του λογάριθμου είναι $2>1$, οπότε το πρόσημο δεν αλλάζει. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου, παίρνουμε:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )